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【摘 要】 本文主要通過結合美國在2000年頒布的《原則和標準》,，對美國加州的小學數學教材――California Mathematics的教材編寫特色進行分析,。其中，筆者單以“數與運算”部分的內容為主要研究對象,。本文以靜態(tài)研究為主要研究方式,，采用文獻研究法、內容分析法,、統(tǒng)計法等方法,，對該教材中“數與運算”知識的編寫理念、內容和呈現形式進行定性和定量分析,。從研究中筆者發(fā)現,，California Mathematics版教材的編寫特色主要在于：嚴格按照《原則和標準》的要求進行編寫；知識內容的編排上符合布魯姆“螺旋式上升”的教材編寫要求,，整套教材的內容循序漸進,，符合兒童認知發(fā)展規(guī)律；素材選擇重視知識的實際運用和問題解決,，并以問題解決為主線進行整章的編寫,；在文本設計、圖片選取方面，文字與圖片比重協(xié)調,，配圖考究,。總的來說,，整套教材的編寫嚴謹細致,，具有實際效用。 中國論文網 http://www./9/view-6921695.htm 【關 鍵 詞】 CM版小學數學教材 ,； 數與運算,；編寫特點 【作者簡介】 牛夢雪，天津市津南區(qū)小站第六小學教師,。 一,、導論 “為什么我們的學校總是培養(yǎng)不出杰出人才,？”著名的錢學森之問困擾著一代代的教育工作者,。教材作為教師進行教學的好幫手，在教學過程中扮演著重要的角色,。筆者欲通過對美國小學數學教材的研究來探索：到底美國的小學教材有何特點,？其在編寫過程中能否達到“螺旋上升式”的教材編寫要求？ 筆者認為,，從1989年美國出臺《學校數學的課程與評價標準》,，歷經1991年《數學教學專業(yè)標準》，1995年《學校數學教育的評估標準》,，再到2000年《原則和標準》的正式出版,，美國小學數學教材在編寫中所面臨的問題，以及美國數學教育改革走過的風雨歷程或能為我國的課程改革提供一定的借鑒作用,。雖然我國對教材的研究和評價已日趨成熟,，但由于各國各地區(qū)在不斷進行著課程的改革和教材的優(yōu)化，故對教材的研究始終是一個富有探索空間的領域,。 在《原則和標準》中,，將數學教育的標準歸納為以下幾個部分：數與運算、代數,、幾何,、度量、數據分析與概率,、問題解決,、推理與證明、交流,、關聯和表征,，共十個大類,。筆者在研究的過程中以我國2011版新課標為隱性參考對象，從其中選取“數與運算”這一部分作為主要研究對象,，期望能對我國小學數學教科書的相關部分改革有所啟示,。 在我國課程改革如火如荼進行的大背景下，許多專家和學者也對東西方的數學課程教材設計懷有極高的研究熱情,，這也為本研究的開展提供了較全面的參考和指引,。 二、CM版教材中“數與運算”內容的教材編寫概述 美國大多數州的學制為“五三四制”,，即小學五年,、初中三年、高中四年,?！对瓌t和標準》中根據美國的學制也對“數與運算”做出明確的具體要求：①理解數、表征的方法,、數量關系及數系,；②理解運算的意義及各運算間的聯系；③熟練地計算并進行合理的估算,。也就是說,，數與運算既包含對數的認識，分類和性質,，同時也包括數和算數的深刻理解和熟練運算,。在CM版教材中，每一冊書都將數感（Number Sense）作為第一章,，足以見得數感在兒童最初接觸數學中所應占有的重要地位,。我國將數感納入到課程標準是在2001年，但是在教材的編寫過程之中卻沒有像CM版的教科書一樣,，在目錄上很明確地將其標識出來，當做一個基礎的章節(jié)來學習,。數學的學習是兒童生活經驗的延伸和提高,。根據皮亞杰的認知發(fā)展階段理論來看，小學階段的兒童處于具體運算階段（7～11歲）,，該時期的兒童在認知結構上已經發(fā)生很大的重組和改造,，具有一定的思維彈性，對質量守恒概念圖1目錄中用紅色標識出的“代數學”的掌握也已趨近成熟和穩(wěn)定,。CM版教材在內容的比例安排上符合兒童的認識和思維水平發(fā)展的特征,，有利于培養(yǎng)兒童的抽象思維、空間想象思維和創(chuàng)新意識,。 僅次于“數與運算”的是代數,，這是因為代數的基本概念和模型的學習是跟數與運算的學習密不可分的。在該版教材的目錄上，都明確的將教材中涉及到代數內容的部分標注出來（如圖1）,。 數和數的運算的學習貫穿于整個小學階段,，學生對于它的學習重點在于：發(fā)展數感、理解數和運算以及進行熟練的算數運用,。其中,，“發(fā)展數感”是CM版教材中“數與運算”部分在教材編寫中應重視的“核心概念”，主要包含有以下幾個方面： 1. 數的理解,。包含對自然數,、分數、小數和百分數的理解,。在對自然數的理解中主要為對1000以內的數的理解,，并在理解數的表征的過程中提升學生的數感。以Grade1 Chapter1的Patterns and Number Sense（模式和數感）為例進行分析結果如下： CM版教材運用“數蘋果”的方式開門見山的引入0～10的數字表征,。其既呈現“蘋果”這一具體的物象,，同時直觀地列出各數間的大小關系，便于學生感受數字之間的大小關系,，產生0到10之間是逐次遞增的數字邏輯（如圖2）,。 數學符號的學習，是學生打開數學學習大門的至關重要的一把鑰匙,。除要理解自然數的意義外,，也要掌握數的認、讀,、寫的方式,。因此，筆者將我國人教版（2011版）與CM版在數的書寫的教材表現上進行了對比（如圖3）,。 可以看出兩者之間的相同點在于：（1）有具體實物呈現,；（2）數字的表征都給出書寫的表格，要求書寫規(guī)范,；（3）給出范例描摹,。不同在于：（1）取圖：人教版采用鄉(xiāng)村生活的情境，符合我國的基本國情,。而CM版采用的是與導入中相同的實物,，有利于建立量和表征之間的聯系；（2）人教版是順序書寫,，CM版的采用的是亂序書寫,；（3）前者循序漸進地體現由具體的實物到圖形到點數再到抽象的數字符號的過程，在數字符號的下方還有對應的珠子,。筆者認為,，該配圖再現出思維的發(fā)展進程,，便于兒童抽象思維的發(fā)展，但是排版不夠直觀,；（4）人教版呈現多個的示范數字,，便于學生在書寫時養(yǎng)成規(guī)范書寫的習慣。而CM版則只給出1個范例,，給學生以展現自我個性的空間,。總之,，兩版教科書在數的書寫的教材展現上各有所長,。 與自然數的學習區(qū)別較大的是分數、小數和百分數的理解,。該部分主要集中于中高年級,。主要原因是，這類數的學習需要建立在對基本的“自然數”的學習之上,。對不同年級的學習要求也是層層遞進,。在Grade2中，對于分數的學習在于掌握分數的書寫方法,，要求掌握“1/2到1/12”的簡單分數,，并能夠進行大小判斷。而Grade3對分數的學習著重對分數意義的理解,、對“單位1”概念的初步感知和靈活的運用（包括同分母的加減運算和與小數的轉換）,。Grade4逐漸側重于分數的通分、約分等分數的基本性質的學習,，以及運算,。 “單位1”對小學生來說是比較不容易理解的抽象概念。故該書安排在Grade3,，其引入“Models（模型）”來幫助學生掌握“單位1”的概念（如圖4）,。并且，在例題中也分別用三角形,、四邊形等來代表,。由于其基本采用的是“規(guī)―例”的知識呈現方式，不夠直觀和明顯,，我認為類似于此的概念應當使用更加具體形象的圖示來呈現，這樣才更適應學生的認知情況,。 2. 位值和估算,。數的理解和數感的培養(yǎng)，離不開對位值知識的理解和掌握,，在CM版教科書中有以上的三章是著重于對“位值”概念的理解和實際應用,。 Estimate（估算）一詞最早出現是在Grade1 Chapter8,，其以Key Vocabulary（關鍵概念）的形式出現。 在學生掌握位值之間的關系之后的鞏固練習中,，有一題為“Estimate about how many. Circle the answer. （估算并選擇答案）”此題結合估算能力的考察,，并引入100以內數的大小比較。在對100以內的數的學習中,，其重點除了在與對個位（ones）和十位（tens）的意義的理解外,，還在于整十的估算（estimating with groups of ten）。如要求以10為一個群組來畫圈,，并估計總共有多少（如圖5）,。 由位值的意義學習到100以內數的大小的比較的內容安排來說，其充分考慮上下知識點之間的銜接,，做到“位值”知識的承前啟后,。承前體現在本章的最開始鞏固數的位值關系，是對Grade1 Chapter13： Place Value（位值）一章的回憶和深化,，夯實基礎,。啟后體現在為Grade3 Chapter1：Place Value and Number Sense（位值和數感）的學習做出鋪墊。對100以內數的估算和比較實際上蘊含的就是位值和數感之間的關系,。有了本章的學習,，在Grade3的學習會更加有條不紊，有利于之后對三位數的學習,。 3. 運算與數感,。該部分是“數與運算”知識內容的核心部分，主要將其細化為對運算的理解和對運算的熟練化,。運算的學習劃分為四部分：整數加減法的學習,、整數乘除法的學習、分數和小數加減法的學習,、分數和小數乘除法的學習,。以下是以年級為劃分，從以上四個部分的角度和對運算的理解以及對運算的熟練化兩個維度來進行分析,。 【Grade1】 整數加減法理解,，主要通過圖示來建立。圖6為Grade1 Chapter2在對數的理解的呈現過程,，先看圖編故事,，并用球來表示螃蟹的數量關系。接著引入部分整體板,，讓學生理解“Part（加數）”和“Whole（和）”的意義,。最后用骰子抽象到加法等式和豎式的書寫（加法的逆運算――減法，與之同理）,。 在對運算策略的學習過程中,，其重點強調運算定律的學習和“一題多解”的重要性,。培養(yǎng)學生運用多種不同的方法來進行運算，并掌握適合自己的方法,。在對12以內的數的計算中其主要呈現的方法有：數數法（count on 1,，2 or3）、數軸法（use a number line to add）,、倍數法（doubles）,。在對20以內的數的加減法策略學習中，重點強調同一結果的不同運算過程和倍數法,。 【Grade2】 Grade2在知識的編排上趁熱打鐵,，首先進行加減法運算策略的教學。其重點為交換律,，在加/減法的運算策略中,，呈現了數軸數數法（count on to add/count back to subtract）；倍數法（doubles/use doubles to subtract）例如：6+6=12,、5+5=10,；近似倍數法（near doubles）例如：6+6=12+（doubles） 6+7=13（doubles plus1） 6+5=11（doubles minus1）；湊10法（make 10）,。變式練習采用：三個數相加如何進行簡便運算,，其中暗含加法結合律的使用。 對于運算的理解,，教材在編排時選擇的對象為：整十數的相加（add tens）,；湊整為十法（regroup ones to tens），如：27+5=20+10+2=32,；只加十位或個位（count on tens and ones）,，如26+3=29、26+30=56,。對三位數的加減法計算強調對運算結果的估算的學習,，要求學生在計算三位數的加減法之前進行估算，以此來提升學生數感和對數量關系的把握,。在乘法概念的學習中,，其由平均分（equal groups）引入，進而建立起乘法與加法之間的聯系――重溫加法（repeated addition）,，最后以“數組（Arrays）”這一乘法模型來進行乘法的運算過程演示,，同時教授乘法交換律。緊隨其后的是除法概念的學習,，在該部分的學習中,，其主要是在除法與減法之間建立聯系，之后通過平均分（find equal share）和與同班進行平均分（equal groups with remainders）兩個環(huán)節(jié)，加深對除法的理解,，同時促進學生的合作意識，也為下一章節(jié)學習分數做出良好的準備,。在本章中并沒有出現“九九乘法表”,。 【Grade3】 第三冊的學習重點為加減法的熟練應用和乘除法運算的進一步理解和熟練應用。 加法的學習重點在運算定律的學習和多位數加法的和的估算,。本冊書的核心概念中提出：加法交換律,、加法結合律的運算定律模型，同時提出計算最優(yōu)化數學思想,；再以具體的情境為題,，考察學生的問題解決能力；最重要的是涉及到對多位數加法的和的估算（將加數化為整十整百的數進行運算）,；貫穿在其中的一節(jié)是專門解決錢的加法問題（add money）,；最后是較大數的加法（add greater numbers），也是整部書中四位數的運算第一次被提到,。而對于減法的學習,，其重點在加減法豎式的驗算和多位數減法的差的估算。對乘法概念的理解和Grade1一樣,，采用“數組”的形式進行,，并加入對乘法的應用。依序學習一位數乘以0～10的結果,，總結一個10以內的數乘以0～10的結果,，并用“乘法表”表示出來，該部分也涉及乘法結合律和交換律的學習,。反之,，對于除法的學習和應用，其主要是以“平均分”為抓手,，力求采取多種計算方法來進行運算,，并采取引入乘法和除法的關系來加深學生對“除法是乘法的逆運算”的理解。主要采用的模型是數軸,，在整章的學習中涵蓋以1～9為除數的除法的計算,。 【Grade4】 本冊書的學習的重點明顯由加減法轉向乘除法，對于數感的學習也由“數”轉向“運算”,，內容涉及整數和小數的加減法,，重難點是借位減法。對于分數和小數的學習,，本冊書分別用兩個獨立的章節(jié),。分數學習方面，教材著重強調“單位1”的概念,，并用多種例子來呈現（如圖7）,。 同時,，對于通分和約分的學習把握“等值”這一概念，幫助學生理解“分數的分子和分母同時乘以或除以同一個非0的數,，分數的大小不變”,。教材也將帶分數的書寫和計算編入，并突出通過數的大小的比較來培訓學生的數感,。在該部分的練習題中還穿插著一元一次不等式的計算,。本書最為重要的是對乘除法的學習，集中于對一位,、兩位乘數或除數的學習,。在準備階段，其運用數軸和區(qū)域圖的模型來進行乘法的理解和計算的引入（如圖8）,，接著便是大量的鞏固練習,。在這基礎之上，用“乘法表”強調乘法和除法之間的關系,，并借用大量的問題解決題來強化對乘除法的應用,。學習上，也對學生提出更高的要求,。從內容上看,，更傾向于對計算值的估算的學習和對問題解決策略的選擇，從Grade4中可以明顯的體會到,，CM版教材更注重的是學生反復的練習和鞏固,，以及在問題解決中學會用多種方解決實際問題。鼓勵學生運用不同的計算方法進行計算,，并選取適合自己的方法掌握,，向學生滲透“最優(yōu)化”的數學思想。 【Grade5】 本冊書的重點內容在于分數和小數的加減運算和乘除運算,，以及分數和小數直接的轉換,，還加入對百分數的理解和運用，但在運算部分并不做較高要求,。 在小數的加減法中,，其主要運用數軸和位值的數學模型學習數的大小比較、用四舍五入的方法進行加減法的估算,、將小數加減法運用到問題中解決,；對于小數和分數的關系，主要通過將分數條和數軸相對應的方式將分數在數軸上表示出來,、強化對通分和約分的理解,、對非正常分數（帶分數）進行介紹、最重要的是對分數和小數的互換進行重點的練習。本章的學習中,，異分母分數（含帶分數）的相加減是一個重難點,，圖9為異分母分數加法的模型，通過分數條和通分的方法來計算,；同樣的,，對于分數與小數的乘除法，其主要也是采用引入模型的方法來教學,，之后運用大量的例習題來鞏固運用。并且在分數和小數乘除法的學習過程中,，重點強調計算過程中對計算結果估計的重要性,。 總的來說在“數與運算”部分教材內容的選取上，我們可以總結出――下幾個特點：①內容選取上：對數的理解選擇常見的萬以內的自然數,、分數,、小數、百分數,，運算主要針對數的加減運算和乘除運算,；②強調對數的整體感知、對數的性質的理解,、不同數的不同使用場所,、數與數之間的相互轉化；③教材編排中,，傾向于學生位值的理解,、對數大小的比較和估算在數的理解中的重要作用；④數的運算的學習,，也是由淺入深,，層層遞進：由整數到分數、小數,，由加減法到乘除法,，由1位數之間的計算到多位數的計算；⑤大量運用數軸,、矩陣,、分數條等數學模型，加深對數的理解和對運算的掌握,，強調對運算結果估算的重要性,；⑥計算過程中，強調對結果的估算,。 CM版教材的編寫重點在提升學生對數學的理解能力上,。雖然應用類的題目所占比重并不很高，但是“問題解決三部曲”模塊很好地彌補了這一漏洞，甚至可以說是錦上添花,。開放性問題的比重也很小,，但Grade3-Grade5每一章都至少有一道開放性題目。足以見得,，開放性題目的不可替代的地位,。單純的從運算的角度來說，該教材對一步運算和無運算十分重視,，對二步及以上的運算要求極低,，從這個角度來說，CM版教材對運算的難度略低于我國,。筆者還發(fā)現,，各個章節(jié)中的無運算的題目中，除了對概念的考察之外,，重要的是對“估算”技能的考察,，在習題的編寫過重中也十分重視對“數感”的培養(yǎng)。 四,、CM版教材編寫的總體特點概述 通過分析,，我們看到在CM版嚴格按照《原則和標準》的要求，循序漸進地安排學習內容,。在此基礎之上,，結合學生認知發(fā)展水平和理解水平的發(fā)展規(guī)律進行教學內容的編排，并且相同維度的學習內容在不同年級都有出現（詳見附錄一）,。例如,，Grade2-Grade4中都有“Fractions（分數）”。顯而易見的,，在不同的學習階段,，其所學的內容和難度逐步提升，根據各階段兒童知識和能力的發(fā)展水平也提出不同的標準,，從而呈現一種“螺旋式上升”趨勢,，符合布魯納“螺旋式課程編寫”的思想。這些學科的基本知識隨著學生年齡的增長不斷的拓展深化,，能夠更有效地把握學生的最近發(fā)展區(qū),，促進學習能力的提升。 CM版教材的習題類型豐富多樣,，正式課文中的例題和隨堂練習的圖片豐富,，用色鮮亮。課后的檢測練習中則是以題目為主,，配圖較少,，色調以簡單的綠色,、或黑白灰為主。整體上將授課內容和練習模塊明顯的區(qū)分出來,，對比鮮明,。教材很重視“數感”的培養(yǎng)和提升學生對數學概念的理解能力、問題解決的技能,。 CM版教材的編排雖然整體框架結構復雜,，但邏輯清晰，模塊分明,。最重要特征在于順序性,、整體性、協(xié)調性,。而順序性不僅僅體現在其知識內容再選取過程的循序漸進上,，同時也體現在其在教材的編寫過程中各個環(huán)節(jié)的布局。整個章節(jié)的環(huán)節(jié)安排環(huán)環(huán)相扣,，有利于知識的掌握和學習。 通過對CM版教材編寫特點的分析與總結,，筆者體會到：一本精心編寫的教材就是一本不會說話的老師,，是學習過程中十分重要的工具。當下,，“教師與教科書”的關系已經超出傳統(tǒng)的教師僅僅用教科書教書的含義,，更多的是將教科書作為教學資源，綜合利用各種課程資源進行有效且高效的教學,。不可否認的,，教科書在我國的教育過程中發(fā)揮著舉足輕重的作用，尤其是教育資源匱乏的邊遠地區(qū),，教課書甚至成為唯一的教育資源,。作為一名教師，我們應心懷感恩的對待我們手中的教材,，盡己所能的去認識它,，讀懂它，運用它,。這樣才能讓無聲的教材有聲,，讓知識成為力量！ |
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