http://tanglizeng.blog.163.com/blog/static/83142094201171673124150/

雞兔同籠問題的解法集錦- 我行我素的日志- 網(wǎng)易博客

雞兔同籠問題是中國古代著名的數(shù)學(xué)問題,。那是已知雞兔的總頭數(shù)和總足數(shù),，求雞兔各有多少只的一類典型應(yīng)用題（本博前面曾多次介紹,，為便于閱讀在本文最后加了鏈接，有興趣可點擊查看）,。它的題型雖然固定,，但解題思路方法卻多種多樣，如假設(shè)法,、削補法,、轉(zhuǎn)化法、分組法,、盈虧法、倍比法,、設(shè)零法,、代數(shù)法等等，且解法還在不斷創(chuàng)新,。下面舉一例給出幾種解法供參考,。    

例：雞兔同籠，上有40個頭,，下有100只足,。雞兔各有多少只？  

1,、極端假設(shè)

解法一：假設(shè)40個頭都是雞,，那么應(yīng)有足2×40=80（只），比實際少100-80=20（只）,。這是把兔看作雞的緣故,。而把一只兔看成一只雞，足數(shù)就會少4-2=2（只）,。因此兔有20÷2=10（只）,，雞有40-10=30（只）。

解法二：假設(shè)40個頭都是兔,，那么應(yīng)有足4×40=160（只）,，比實際多160-100=60（只）。這是把雞看作兔的緣故,。而把一只雞看成一只兔,，足數(shù)就會多4-2=2（只）。因此雞有60÷2=30（只）,，兔有40-30=10（只）,。

解法三：假設(shè)100只足都是雞足，那么應(yīng)有頭100÷2=50（個）,，比實際多50-40=10（個）,。把兔足看作雞足,，兔的只數(shù)（頭數(shù)）就會擴大4÷2倍，即兔的只數(shù)增加（4÷2-1）倍,。因此兔有10÷（4÷2-1）=10（只）,，雞有40-10=30（只）。

解法四：假設(shè)100只足都是兔足,，那么應(yīng)有頭100÷4=25（個）,，比實際少40-25=15（個）。把雞足看作兔足,，雞的只數(shù)（頭數(shù)）就會縮小4÷2倍,，即雞的只數(shù)減少1-1÷（2÷4）=1/2。因此雞有15÷1/2=30（只）,，兔有40-30=10（只）,。

2、任意假設(shè)

解法五：假設(shè)40個頭中,，雞有12個（0至40中的任意整數(shù)）,，則兔有40-12=28（個），那么它們一共有足2×12+4×28=136（只）,，比實際多136-100=36（只）,。這說明有一部分雞看作兔了，而把一只雞看成一只兔,，足數(shù)就會多4-2=2（只）,，因此把雞看成兔的只數(shù)是36÷2=18（只）。那么雞實際有12+18=30（只）,，兔實際有28-18=10（只）,。

解法六：假設(shè)100只足中，有雞足80只（0至100中的任意整數(shù),，最好是2的倍數(shù)）,，則兔足有100-80=20（只），那么它們一共有頭80÷2+20÷4=45（個）,，比實際多45-40=5（個）,。這說明把一部分兔足看作雞足了，而把兔足看成雞足,，兔的只數(shù)（頭數(shù)）就會增加（4÷2-1）倍,。因此把兔看作雞的只數(shù)是5÷（4÷2-1）=5（只），那么兔實際有20÷4+5=10（只）,，雞實際有40-10=30（只）,。

通過比較可知：任意假設(shè)是極端假設(shè)的一般形式，而極端假設(shè)是任意假設(shè)的特殊形式,，也是簡便解法,。

3,、除減法

解法七：用腳的總數(shù)除以2，也就是100÷2=50（只）,。這里我們可以設(shè)想為,，每只雞都是一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿,，像人一樣用兩只腳站著,。這樣在50這個數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次,，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次.因此從50減去總頭數(shù)40,，剩下的就是兔子頭數(shù)10只。有10只兔子當(dāng)然雞就有30只,。

這種解法就是《孫子算經(jīng)》中記載的：做一次除法和一次減法,，馬上能求出兔子數(shù)，多簡單,！

 4、盈虧法

解法八：把總足數(shù)100看作標準數(shù),。假設(shè)雞有25只,，兔則有40-25=15（只），那么它們有足2×25+4×15=110（只）,，比標準數(shù)盈余110-100=10（只）,；再假設(shè)雞有32只，兔則有40-32=8（只）,，那么它們有足2×32+4×8=96（只）,，比標準數(shù)不足100-96=4（只）。根據(jù)盈不足術(shù)公式,，可以求出雞的只數(shù),。即雞有（25×4+32×10）÷（4+10）=30（只），兔則有40-30=10（只）,。

5,、比例分配

解法九：40個頭一共100只足，平均每個頭有足100÷40=2.5（只）,。而一只雞比平均數(shù)少（2.5-2）只足,，一只兔比平均數(shù)多（4-2.5）只足。根據(jù)平均問題的“移多補少”思想：超出總數(shù)等于不足總數(shù),，故知：（2.5-2）×雞的只數(shù)=（4-2.5）×兔的只數(shù),。因此，

雞的只數(shù)︰兔的只數(shù)=（4-2.5）︰（2.5-2）=1.5︰0.5=3︰1

按比例分配可以求出雞兔各有多少只,。即雞有40×3/（3+1）=30（只）,，而兔則有40×1/（3+1）=10（只）,。

6、布列方程

解法十：設(shè)雞有x只,，那么兔有（40-x）只,。根據(jù)題意列方程：

2x+4（40-x）=100

解這個方程得：x=30  40-x=40-30=10那么雞有30只，兔有10只,。

 雞兔的頭數(shù)關(guān)系除了“和”的形式外,，還可以把“差”和“倍數(shù)”作為已知條件。同樣,，雞兔的足數(shù)關(guān)系除了“和”的形式外,，也可以把“差”和“倍數(shù)”作為已知條件。如果把雞兔頭數(shù)關(guān)系的三種條件與足數(shù)關(guān)系的三種條件交叉組合,，除了上面的例題,，還可以形成以下變式練習(xí)題。

1,、雞兔同籠,，它們一共有100只，而雞足比兔足多80只,。雞兔各有多少只,？

2、雞兔同籠,，它們一共有84只,，而雞足是兔足的3倍。雞兔各有多少只,？

3,、雞兔同籠，雞比兔多26只,，它們一共有274只足,。雞兔各有多少只？

4,、雞兔同籠,，雞比兔多3只，兔比雞多28只足,。雞兔各有多少只,？

5、雞兔同籠,，雞比兔少10只,，兔足是雞足的3倍。雞兔各有多少只？

6,、雞兔同籠,，雞的只數(shù)是兔的3倍，它們一共有120只足,。雞兔各有多少只,？

7、雞兔同籠,，雞的只數(shù)是兔的3倍,，雞足比兔足多120只,。雞兔各有多少只,？

8、雞兔同籠,，雞比兔的3倍多6只,，雞足比兔足的2倍少24只,。雞兔各有多少只,？

附：  雞兔同籠變式題組的參考答案

以上題組，每道題都有多種解法。下面提供的僅僅是參考答案,，其思想方法，還需要讀者作進一步的探討明晰,。

1,、解一：（2×100-80）÷（4+2）=20（只）----（兔）

解二：（4×100+80）÷（4+2）=80（只）----（雞）

解三：（100-80÷2）÷（4÷2+1）=20（只）----（兔）

解四：（100+80÷4）÷（4÷2+1）-80÷4=20（只）----（兔）

2,、解一：84÷（4×3÷2+1）=12（只）----（兔）

   解二：2×84÷（4×3+2）=12（只）----（兔）

3,、解一：（274-2×26）÷（4+2）=37（只）----（兔）

   解二：（274+4×26）÷（4+2）=63（只）----（雞）

   解三：（274÷2-26）÷（4÷2+1）=37（只）----（兔）

4、解一：（28+2×3）÷（4-2）=17（只）----（兔）

   解二：（28+4×3）÷（4-2）=20（只）----（雞）

   解三：（3+28÷2）÷（4÷2-1）=17（只）----（兔）

   解四：（3+28÷4）÷（1-2÷4）=20（只）----（雞）

5,、解一：10÷（2×3÷4-1）=20（只）----（雞）

   解二：4×10÷（3-2）÷2=20（只）----（雞）

6,、解一：120÷（4+2×3）=12（只）----（兔）

   解二：120÷（2×3÷4+1）÷4=12（只）----（兔）

7、解一：120÷（2×3-4）=60（只）----（兔）

解二：120÷2÷（3-2）=60（只）----（兔）

解三：120÷4×3÷（3-2）-120÷4=60（只）----（兔）

8,、解一：（24÷2+6）÷（2×2-3）=18（只）----（兔）

解二：（6×2+24）÷（2-3÷2）÷4=18（只）----（兔） 

例1,、 雞與兔共100只,，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28，問雞與兔各幾只,？

分析與解答：假如再補上28只雞腳,，也就是再有雞28÷2＝14（只），雞與兔腳數(shù)就相等,，兔的腳是雞的腳4÷2＝2（倍）,，于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.

兔的只數(shù)是：（100＋28÷2）÷（2＋1）＝38（只）.

雞是：100－38＝62（只）.

答：雞62只，兔38只.

當(dāng)然也可以去掉兔28÷4＝7（只）這時雞與兔腳數(shù)就相等,，兔的腳是雞的腳4÷2＝2（倍）,，于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍，所以原來兔的只數(shù)是（100－28÷4）÷（2＋1）＋7＝38（只）

例2,、買一些4分和8分的郵票,，共花6元8角,。已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩種郵票各買了多少張,？

   分析與解答： 如果拿出40張8分的郵票,，余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多。

 （680－8×40）÷（8＋4）＝30（張）,，即余下的郵票中,，8分和4分的各有30張。

  因此8分郵票有40＋30＝70（張）.

答：買了8分的郵票70張,，4分的郵票30張.

   另外,，還存在下面這樣的問題：總頭數(shù)換成“兩數(shù)之差”，總腳數(shù)也換成“兩數(shù)之差”.

   例3,、古詩中,，五言絕句是四句詩，每句都是五個字,；七言絕句是四句詩,，每句都是七個字。有一詩選集,，其中五言絕句比七言絕句多13首,，總字數(shù)卻反而少了20個字。問兩種詩各多少首,？

   分析與解答：如果去掉13首五言絕句,，兩種詩首數(shù)就相等，此時字數(shù)相差

      5×4×13＋20＝280（字）.

      每首字數(shù)相差：7×4－5×4＝8（字）.

      因此,，七言絕句有：280÷8＝35（首）.

      五言絕句有：35＋13＝48（首）.

答：五言絕句48首,，七言絕句35首.

      對于上述例1、例2和例3三個問題,，我們也可以像前面兩篇博文那樣解答,，假設(shè)都是兔，或者都是雞,。如下面的做法：

 例1假設(shè)都是兔,，雞的只數(shù)是（100×4－28）÷（4＋2）＝62（只）

例2假設(shè)都是8分郵票，4分郵票張數(shù)是（680－8×40）÷（8＋4）＝30（張）.

例3假設(shè)都是五言絕句,，七言絕句的首數(shù)是（20×13＋20）÷（28－20）＝35（首）.

 請大家注意觀察剛才列出的三個算式,，把它們與“雞兔同籠”公式（可點擊本文開始列舉的兩篇查看）對照一下，就會發(fā)現(xiàn)非常有趣的事,。這三個算式與“雞兔同籠”公式比較,，只是有一處“－”成了“＋”。其奧妙何在呢,？當(dāng)你繼續(xù)學(xué)習(xí)時,，就會明白了,。

根據(jù)上面的探討，請你想一想,，下面這道題屬于“雞兔同籠”同一類型的問題嗎？

題目：有一輛貨車運輸2000只玻璃瓶,，運費按到達時完好的瓶子數(shù)目計算,，每只2角，如有破損,，破損瓶子不給運費,，還要每只賠償1元.結(jié)果得到運費379.6元，問這次搬運中玻璃瓶破損了幾只,？

解：如果沒有破損,，運費應(yīng)是2000×0.2＝400元。但破損一只要減少1＋0.2＝1.2（元）.因此破損只數(shù)是（400－379.6）÷（1＋0.2）＝17（只）.

答：這次搬運中破損了17只玻璃瓶,。

玻璃廠委托運輸公司運2000塊玻璃,每塊0.4元,損壞1塊賠償7元,共得711.2元,損壞多少塊?

優(yōu)酷05:05

正方體展開圖規(guī)律