奇偶性是函數(shù)的基本性質(zhì),，奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,，偶函數(shù)的圖象關于軸對稱．一般地，如果一個函數(shù)的圖象關于點中心對稱,，或者關于直線對稱,，我們稱這樣的函數(shù)具有對稱性（嚴格來說是具有廣義奇偶性）．

問題一　如果函數(shù)滿足函數(shù)方程，那么函數(shù)具有什么性質(zhì),？
問題二　如果函數(shù)的對稱中心為,，那么滿足什么樣的函數(shù)方程？
問題三　如果函數(shù)是奇函數(shù),，那么滿足什么樣的函數(shù)方程,？
問題四　函數(shù)關于對稱的函數(shù)解析式是什么？

本篇針對這四個問題一一解決,，我們先從基本的概念開始．在本篇中,，默認抽象的（即沒有給出解析式的）定義域為，且函數(shù)方程都是對定義域內(nèi)所有成立的．為了方便,，我們把“函數(shù)圖象關于的對稱”簡要說成“函數(shù)關于的對稱”．

一,、軸對稱
函數(shù)的圖象關于直線對稱，可以用圖象上的點來描述,，即若軸上的兩個點關于對稱（考慮數(shù)軸上點的對稱）,，則它們對應的函數(shù)值相等,，如圖：關于對稱的點的橫坐標滿足，所以我們通過“和”去考慮就可以很好地繞開括號內(nèi)的各種形式上的變化,，得到：

若兩個數(shù)的和為定值時,，對應的函數(shù)值相等，那么這個函數(shù)的圖象關于直線軸對稱．反之也成立．

比如：(1)若,，括號內(nèi)的和為,，所以關于直線對稱；
(2)若,，括號內(nèi)的和為，所以關于直線對稱,；
(3)如果的對稱軸為,，那么有

二、中心對稱
函數(shù)的圖象關于點對稱,，可以用圖象上的點來描述,，即若軸上的兩個點關于對稱，則它們對應的函數(shù)值關于對稱．即：
若兩個數(shù)的和為定值時,，對應的函數(shù)值的和為定值,，那么這個函數(shù)的圖象關于點中心對稱．反之也成立．

比如：(1)若，則函數(shù)關于點中心對稱,；
(2)若,，則函數(shù)關于點中心對稱．
(3)若的對稱中心為，那么有

三,、抽象復合函數(shù)的奇偶性

函數(shù)是偶函數(shù)是什么含義呢,？注意抽象復合函數(shù)的自變量仍然是．而偶函數(shù)是意思是：當自變量取相反數(shù)時，函數(shù)值不變,，即當變成時,，有同樣的，如果是奇函數(shù),，那么有如果關于對稱,，那么將自變量變成時，函數(shù)值對應不變,，即

四,、兩個函數(shù)的對稱

上面講的都是一個函數(shù)的圖象具有的對稱性，下面考慮函數(shù)的圖象關于直線對稱后的函數(shù)的解析式是什么,？考慮自變量關于對稱得到,，于是關于對稱的函數(shù)為．

簡單證明如下：我們通過點去考慮，設關于對稱的函數(shù)為,，取上任意一點,，它關于的對稱點為必然在的圖象上，于是有即關于直線的對稱函數(shù)為．

同理有關于點對稱的函數(shù)為．

最后考慮關于對稱的函數(shù)解析式．將自變量關于對稱得到，于是所求的解析式為有興趣的讀者可以通過取點去證明．

例題一　下面說法正確的有________．
(1)若,，則關于對稱,；
(2)若，則關于對稱,；
(3)若,，則關于對稱；
(4)若,，則是奇函數(shù),；
(5)若是奇函數(shù)，則,；
(6)關于對稱的函數(shù)為．

分析與解　(2)(3)(4)(6)．
(1)中關于對稱,；(5)中有．

有了這些函數(shù)對稱性的知識，我們就可以用它們?nèi)ヅ袛嘁恍┚唧w的函數(shù)是否是軸對稱或中心對稱函數(shù)．

例題二　對于下列函數(shù)：
(1),；
(2),；
(3)；
(4)．
其中是軸對稱函數(shù)的有______,，是中心對稱函數(shù)的有________．

分析與解　要判斷一個函數(shù)是否具有對稱性,，需要先估計如果它是對稱函數(shù)，對稱軸或?qū)ΨQ中心的橫坐標可能是什么,，才能去通過計算來驗證．
(1)由與時,，知這個函數(shù)不可能是中心對稱的；又因為當且僅當時,，為定值,，所以只需要驗證是不是它的對稱軸即可判斷它是否為軸對稱函數(shù)，由知是軸對稱函數(shù),；

(2)由趨于無窮時的情況知一個三次函數(shù)不可能是軸對稱的,，只可能是中心對稱的．要尋找對稱中心，可以考慮它的導函數(shù)從而我們知道這個三次函數(shù)的極值點分別為,，所以它的對稱中心的橫坐標只可能為,，下面進行驗證，計算知所以是它的對稱中心．
更多的三次函數(shù)相關的性質(zhì),，我們會在后面的導數(shù)中進行歸納總結(jié)．

(3)是函數(shù)與的差．因為函數(shù)有無窮多個對稱中心,，所以而函數(shù)的對稱中心為，即所以我們有即是函數(shù)的對稱中心．沒有對稱軸,，也沒有別的對稱中心（讀者可以思考一下怎么說明）．

(4)的定義域為．所以它的對稱軸或?qū)ΨQ中心的橫坐標只可能為取定義域內(nèi)關于對稱的兩個自變量,，因為這兩個數(shù)不相等，所以沒有對稱軸．下面去判斷是否是中心對稱函數(shù),，計算得所以有對稱中心．

最后給出兩道練習：

練習一　下列表達式中,，可以說明定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)的是_______：
(1),；
(2)；
(3),；
(4),；
(5)．

答案　(1)(3)(4)(5)．

練習二　判斷下列函數(shù)是否存在對稱軸或?qū)ΨQ中心，如果存在,，寫出一個對稱軸或?qū)ΨQ中心．
(1),；
(2)；
(3),；
(4)．

答案　(1)有對稱中心,；
(2)有對稱中心；
(3)有對稱軸,；
(4)有對稱中心．

總結(jié)　解決對稱性問題抓住一個點——考慮自變量的和,，一招搞定！

閱讀本篇文章有困難的讀者可以先閱讀暑期“每周一招[7]抽象復合函數(shù)的定義域”（在傳送門-方法技巧中找）.

關于數(shù)海拾貝

 “數(shù)海拾貝”由中國最頂尖的高中數(shù)學教研老師蘭琦和金葉梅主編,。第一個欄目《每日一題》，每天精選一道高中數(shù)學好題,，從破題的思路,，圖文并茂的講解到精辟到位的總結(jié)，同學們每天只要花上10分鐘認真閱讀和思考,，一定能在兩三個月獲得明顯的進步,，在高考中取得好成績。如果您想表達自己獨到的見解（或有意見及建議）,，請發(fā)送至[email protected],。

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