第三講 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

一,、基本概念和知識

1.公約數(shù)和最大公約數(shù)

幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù),；其中最大的一個,，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。 例如：12的約數(shù)有：1,，2,，3，4,，6,，12；

18的約數(shù)有：1,，2,，3，6,，9,，18。

12和18的公約數(shù)有：1,，2,，3，6.其中6是12和18的最大公約數(shù),，記作（12,，18）=6。

2.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)

幾個數(shù)公有的倍數(shù),，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù),；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù),。 例如：12的倍數(shù)有：12,，24，36,，48，60,，72,，84，?

18的倍數(shù)有：18，36,，54,，72，90,，?

12和18的公倍數(shù)有：36,，72，?.其中36是12和18的最小公倍數(shù),，記作[12,，18]=36。

3.互質(zhì)數(shù)

如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,，那么這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù),。

二、例題

例1 用一個數(shù)去除30,、60,、75，都能整除,，這個數(shù)最大是多少,？

分析 ∵要求的數(shù)去除30、60,、75都能整除,，

∴要求的數(shù)是30、60,、75的公約數(shù),。

又∵要求符合條件的最大的數(shù)，

∴就是求30,、60,、75的最大公約數(shù)。

（30,，60,，75）=533=15

這個數(shù)最大是15。

例2 一個數(shù)用3,、4,、5除都能整除，這個數(shù)最小是多少,？

分析 由題意可知,，要求的數(shù)是3、4,、5的公倍數(shù),，且是最小的公倍數(shù)。

解：∵［3，4,，5］=33435=60,，

∴用3、4,、5除都能整除的最小的數(shù)是60,。

例3 有三根鐵絲，長度分別是120厘米,、180厘米和300厘米.現(xiàn)在要把它們截成相等的小段,，每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米,？一共可以截成多少段,？

分析 ∵要截成相等的小段，且無剩余,，

∴每段長度必是120,、180和300的公約數(shù)。

又∵每段要盡可能長,，

∴要求的每段長度就是120,、180和300的最大公約數(shù).

（120，180,，300）=3032=60

∴每小段最長60厘米,。

120÷60+180÷60+300÷60

=2＋3＋5=10（段）

答：每段最長60厘米,，一共可以截成10段,。

例4 加工某種機器零件，要經(jīng)過三道工序.第一道工序每個工人每小時可完成3個零件,，第二道工序每個工人每小時可完成10個,，第三道工序每個工人每小時可完成5個,，要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個工人,？

分析 要使加工生產(chǎn)均衡,，各道工序生產(chǎn)的零件總數(shù)應是3、10和5的公倍數(shù).要求三道工序“至少”要多少工人,，要先求3,、10和5的最小公倍數(shù)。

［3,，10,，5］=53332=30

∴各道工序均應加130個零件。

30÷3=10（人）

30÷10=3（人）

30÷5=6（人）

答：第一道工序至少要分配10人,，第二道工序至少要分配3人,，第三道工序至少要分配6人,。

例5 一次會餐供有三種飲料.餐后統(tǒng)計,，三種飲料共用了65瓶,；平均每2個人飲用一瓶A飲料，每3人飲用一瓶B飲料,，每4人飲用一瓶C飲料.問參加會餐的人數(shù)是多少人,？

分析 由題意可知，參加會餐人數(shù)應是2,、3,、4的公倍數(shù)。

解：∵[2,，3,，4]=12

∴參加會餐人數(shù)應是12的倍數(shù)。

又∵12÷2+12÷3+12÷4

=6+4+3=13（瓶）,，

∴可見12個人要用6瓶A飲料,，4瓶B飲料，3瓶C飲料,，共用13瓶飲料,。

又∵65÷13=5，

∴參加會餐的總?cè)藬?shù)應是12的5倍,，

1235=60（人）,。

答：參加會餐的總?cè)藬?shù)是60人。

例6 一張長方形紙,，長2703厘米,，寬1113厘米.要把它截成若干個同樣大小的正方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大.問：這樣的正方形的邊長是多少厘米,？

分析 由題意可知,，正方形的邊長即是2703和1113的最大公約數(shù).在學校，我們已經(jīng)學過用短除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù),，但有時會遇到類似此題情況,，兩個數(shù)除了1以外的公約數(shù)一下不好找到.但又不能輕易斷定它們是互質(zhì)數(shù).怎么辦？在此,，我們以例6為例介紹另一種求最大公約數(shù)的方法,。

對于例6，可做如下圖解：

從圖中可知：在長2703厘米,、寬1113厘米的長方形紙的一端,，依次裁去以寬（1113厘米）為邊長的正方形2個.在裁后剩下的長1113厘米，寬477厘米的長方形中,，再裁去以寬（477厘米）為邊長的正方形2個.然后又在裁剩下的長方形（長477厘米,，寬159厘米）中,，以159厘米為邊長裁正方形，恰好裁成3個,，且無剩余.因此可知,，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的約數(shù).所以裁成同樣大的,，且邊長盡可能長的正方形的邊長應是159厘米.所以,，159厘米是2703和1113的最大公約數(shù)。

讓我們把圖解過程轉(zhuǎn)化為計算過程,，即：

2703÷1113,，商2余477；

1113÷477,，商2余159,；

477÷159，商3余0,。

或者寫為

2703=231113+477,，

1113=23477+159，

477=33159,。

當余數(shù)為0時,，最后一個算式中的除數(shù)159就是原來兩個數(shù)2703和1113的最大公約數(shù).

可見，477=15933,，

1113=1593332+159=15937,，

2703=1593732+477

=1593732+15933=159317。

又∵7和17是互質(zhì)數(shù),，

∴159是2703和1113的最大公約數(shù),。

我們把這種求最大公約數(shù)的方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法.輾轉(zhuǎn)相除法的優(yōu)點在于它能在較短的時間內(nèi)求出任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)。

例7 用輾轉(zhuǎn)相除法求4811和1981的最大公約數(shù),。

解：∵4811=231981+849,，

1981=23849+283，

849=33283,，

∴（4811,，1981）=283。

補充說明：如果要求三個或更多的數(shù)的最大公約數(shù),，可以先求其中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù),，再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的最大公約數(shù)，這樣求下去,，直至求得最后結(jié)果.也可以直接觀察,，依次試公有的質(zhì)因數(shù)。

例8 求1008,、1260,、882和1134四個數(shù)的最大公約數(shù)是多少,？

解：∵（1260，1008）=252,，

（882,，1134）=126，

6）=126,，

∴（1008,，1260,，882,，1134）=126。

求兩個數(shù)的最小公倍數(shù),，除了用短除法外,，是否也有其他方法呢？請看例9.

例9 兩個數(shù)的最大公約數(shù)是4,，最小公倍數(shù)是252,，其中一個數(shù)是28，另一個數(shù)是多少,？

∴x=43y28=437

∴28x=43y3437

又∵4是x和28的最大公約數(shù),，（y，7）=1,，

∴43y37是x和28的最小公倍數(shù),。

∴x328=43252

∴x=43252÷28=36

∴要求的數(shù)是36。

通過例9的解答過程,，不難發(fā)現(xiàn)：如果用a和b表示兩個自然數(shù),，那么這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：

（a，b）3[a,，b]=a3b,。

這樣，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的問題,，即可轉(zhuǎn)化成先求兩個數(shù)的最大公約數(shù),，再用最大公約數(shù)除兩個數(shù)的積，其結(jié)果就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù),。

例10 求21672和11352的最小公倍數(shù),。

解：∵（21672，11352）=1032

（1032可以用輾轉(zhuǎn)相除法求得）

∴[21672,，11352]=21672311352÷1032

=238392,。

答：21672和11352的最小公倍數(shù)是238392.

習題三

1.甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是54,，甲數(shù)是多少,？乙數(shù)是多少,？

2.一塊長方形地面，長120米,，寬60米,，要在它的四周和四角種樹，每兩棵之間的距離相等,，最少要種樹苗多少棵,？每相鄰兩棵之間的距離是多少米？

3.已知兩個自然數(shù)的積是5766,，它們的最大公約數(shù)是31.求這兩個自然數(shù),。

4.兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次,，二哥8天回家一次,，小弟12天回家一次.兄弟三人同時在十月一日回家，下一次三人再見面是哪一天,？

5.將長25分米,，寬20分米，高15分米的長方體木塊鋸成完全一樣的盡可能大的立方體,，不能有剩余,，每個立方體的體積是多少？一共可鋸多少塊,？

6.一箱地雷,，每個地雷的重量相同，且都是超過1的整千克數(shù),，去掉箱子后地雷凈重201千克,，拿出若干個地雷后，凈重183千克.求一個地雷的重量,？