最近小編接到線報,，說讀者對于前些日子的一篇雞湯文頗有微詞,，很多讀者表示看著文章都是含淚點贊的表情。今天小編來放放解藥,，各位干了雞湯的看官來感受一下吃了藥的小編的日常畫風(fēng),，啊不對，是文風(fēng),。

說的就是這個最速曲線啦,，別問我是哪一條，直接看圖,。

學(xué)了那么多年幾何,，“兩點之間直線最短”都熟吧。當(dāng)小藍(lán)球以為自己在距離最短的斜坡上必將一馬當(dāng)先率先抵達(dá)終點的時候,，卻驚奇地發(fā)現(xiàn),，居然被小紅球在速度上完全碾壓！事實告訴你,，什么叫欲速而不達(dá),！小藍(lán)大呼：這不科學(xué)！

Ok,，那么我們來說說,，這是不是科學(xué)？

這個問題我們得從17世紀(jì)說起,。當(dāng)時瑞典涌現(xiàn)了一個伯（學(xué)）努（霸）利家族,，什么伯努利原理和伯努利微分方程都是他們一家人的杰作。據(jù)說當(dāng)時歐洲數(shù)學(xué)家們閑著沒事,，就喜歡自己琢磨難題,，折磨自己也難為一下別人,。最早的城會玩要數(shù)伯努利兄弟雅各布和約翰，哥倆分別提出了懸鏈線問題——兩端固定的繩子（或鏈條）由于重力而自由下垂形成的曲線到底是什么形狀和最速曲線問題——小球從一個給定點到不在它垂直下方的另一點,，如果不計摩擦力,，問沿著什么曲線滑下所需時間最短。

哥哥的問題來了,，懸鏈線問題到底是個什么形狀,？是雙曲線還是拋物線，你猜錯了,，是雙曲余弦函數(shù),。懸鏈線問題看似簡單，但是要解答出來可得利用微積分費一番功夫（學(xué)霸可通過傳送門自行求證：https://en./wiki/Catenary.）,。

如此低調(diào)奢華有內(nèi)涵的求解就為了讓數(shù)學(xué)家們打發(fā)時間玩兒,？圖樣圖森破，你也太小看數(shù)學(xué)的應(yīng)用了,。工程上架設(shè)高壓輸電線和懸索橋,，就常常用到懸鏈線，而倒懸鏈線也是拱頂設(shè)計的常用配備,。騷年們,，這下知道學(xué)建筑為什么要學(xué)好數(shù)理化了吧！

弟弟的最速曲線問題更是吸引了一眾大神前來圍觀解答：英國的牛頓,，德國的萊布尼茨以及法國的洛必塔,，但約翰還是覺得自己的方法最簡潔。他通過費馬原理（好眼熟,，光學(xué)里面學(xué)過啊,，就是光程最短原理）的啟發(fā)，把光換成質(zhì)點,，短短幾個公式,，就解出了答案——最速曲線實際上就是倒過來的擺線! （注意，文末有彩蛋!）擺線是啥,，直接看圖,。

看見沒，擺線就是圓上一個點在圓作勻速直線運動時的軌跡,。最速曲線問題被視為數(shù)學(xué)史上第一個被仔細(xì)研究的變分問題,，它導(dǎo)致了變分法的誕生，之后更開辟出“泛函分析”這一嶄新廣闊的數(shù)學(xué)領(lǐng)域,。

老話說的好,，獨樂樂不如眾樂樂。機(jī)智的人類可是把最速曲線這個數(shù)學(xué)家才能玩的游戲推廣到了娛樂領(lǐng)域。大伙沒玩過也應(yīng)該見過過山車吧,，為啥上坡的一段是直斜坡,，而下降的時候都是曲線呢？就是因為上坡不追求速度,，只追求最短的路徑,，但是下降的時候為了讓玩家享受風(fēng)馳電掣的感覺，就必須盡量加速,。

另一個實例就是水上公園里的競速滑道，現(xiàn)在你知道為啥這些滑道,，包括常見的滑滑梯為什么都是曲面了吧,。如果有哪家游樂園弄出個直道，那一定是初級滑道不解釋,。

在更加追求速度與激情的極限滑雪和滑板運動中,，你也應(yīng)該見不著直道，哪個設(shè)計師如果設(shè)計出直道的滑道,，他一定是故意招黑,，不僅不專業(yè)還不懂科學(xué)。真是設(shè)計不學(xué)數(shù)理化,，造出個啥都可怕啊,。

最后獻(xiàn)給學(xué)霸們的彩蛋來了，最速曲線的推導(dǎo)公式奉上,。（這還不叫彩蛋,，那留著給你做個作業(yè)唄？）

由能量守恒定律,，可知小球的動能來源于重力勢能的轉(zhuǎn)化,，因此有

其中m, v, y分別表示小球的質(zhì)量，速度和下落高度,，g為重力加速度,。取一小段軌跡ds，并作如下圖的坐標(biāo)分解,，利用費馬原理,，則有

其中θ為軌道切線與水平軸的夾角，vm為常數(shù),。假設(shè)小球從原點開始經(jīng)過一段高度為D的垂直降落,，則有

將以上三式聯(lián)立求解，并利用近似條件下

的關(guān)系,，即可得到表達(dá)式

這正是半徑為D的球的倒擺線的微分表達(dá)式,。

我們?yōu)榇蠹伊信e的是約翰的推導(dǎo)過程，當(dāng)然思路不止這一種，同學(xué)們可以參看參考文獻(xiàn)1,、2和4,，嘗試不同的求解方法。殊途同歸,，事實上很多事情是沒有標(biāo)準(zhǔn)答案的,，過程往往比結(jié)果更重要哦！

好了,，主編喊小編吃藥了,，下回見~~！

參考文獻(xiàn)：

1.     《數(shù)理同源》-3-哪條路徑最快,？http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-774914.html.

2.      維基百科：https://en./wiki/Brachistochrone_curve.

3.       維基百科：https://en./wiki/Catenary.

數(shù)學(xué)之美：兩點之間最快的路徑http://jandan.net/2014/04/21/beauty-in-math.html/page-4

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