1696 年 6 月，約翰?伯努利在《教師學(xué)報》上提出了一個非常精彩的問題：物體沿怎樣的曲線下滑最快,？接受答案的最后期限最終設(shè)定在了 1697 年的復(fù)活節(jié),。結(jié)果如何呢？來看看死理性派的復(fù)活節(jié)閑扯吧,。

最速降線問題

“想象一個小球,，僅受重力，從點 A 出發(fā)沿著一條沒有摩擦的斜坡滾至點 B,。怎樣設(shè)計這條斜坡,，才能讓小球在最短的時間內(nèi)到達(dá)點 B？”

這個在數(shù)學(xué)史上被稱為“最速降線”的知名問題,，最早是由著名的意大利科學(xué)家伽利略（Galileo Galilei）于 1630 年提出來的,。他在研究后認(rèn)為最速降線應(yīng)該是圓弧，但可惜的是這個答案并不是正確的,。時間又過了 60 多年,，1696 年 6 月，來自瑞士巴塞爾（Barsel,，這座城市不僅是數(shù)學(xué)世家伯努利的故鄉(xiāng),，也是歐拉的故鄉(xiāng)，有一個由歐拉解決的著名數(shù)論問題就是以這座城市命名的）的約翰?伯努利（Johann Bernoulli）在《教師學(xué)報》（Acta Eruditorum）上又重新提出這個問題,，并向全歐洲的數(shù)學(xué)家提出公開挑戰(zhàn),。這個別出心裁卻又十分容易理解的問題吸引了當(dāng)時全歐洲的數(shù)學(xué)家，而最后給出了正確解答的人也都是數(shù)學(xué)史上赫赫有名的巨人,。這也讓這次挑戰(zhàn)成為了數(shù)學(xué)史上最激動人心的一場公開挑戰(zhàn),。

數(shù)學(xué)家之間公開挑戰(zhàn)的傳統(tǒng)要追溯到 16 世紀(jì)在意大利的博洛尼亞（Bologna）,。16 世紀(jì)初的博洛尼亞曾是歐洲數(shù)學(xué)思想的大熔爐,，全歐洲的學(xué)生都會來到博洛尼亞大學(xué)。他們甚至還“發(fā)明”了一項新的觀賞運動——數(shù)學(xué)比賽,。這聽起來有些匪夷所思,，但在當(dāng)時確實有大批的觀眾從各地涌來，圍觀數(shù)學(xué)家們互相之間用數(shù)學(xué)斗法,。其中最有名的一次,，是在塔塔里亞（Tartaglia）和費奧（Fior）間上演的，是一場關(guān)于求出一元三次方程通解的世紀(jì)智力大戰(zhàn),。

言歸正傳,，在約翰?伯努利發(fā)出挑戰(zhàn)后的半年里，他收到的唯一一份答案來自《教師學(xué)報》的主編，他的老師萊布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz）,。在萊布尼茨的要求下,，他將接受答案的最后期限推遲到 1697 年的復(fù)活節(jié)，以便有更多的數(shù)學(xué)家能參與到這場挑戰(zhàn)中來,。

我們都知道,，過兩點的直線段是兩點間的最短路徑。但使質(zhì)點的運動時間最短的運動軌跡,，卻不是那么的顯而易見,。這個問題和以往人們見過的那些求極值的問題是有本質(zhì)區(qū)別的。借助微積分,，人們可以求出一個函數(shù)的極值,；但最速降線問題要求的并不是某個傳統(tǒng)函數(shù)的極值點，而是要在一簇曲線（過 A,、B 兩點的所有曲線）中,，求出能讓質(zhì)點運動時間最短的那條。這是一個以函數(shù)（小球的運動軌跡）為自變量,，以實數(shù)（小球運動的時間）為函數(shù)值的函數(shù),，也就是所謂的泛函。我們要求的就是這樣一個泛函的極值,。正如后文將要介紹的那樣,，這類問題形成了一個全新的數(shù)學(xué)分支——變分學(xué)。

1697 年的復(fù)活節(jié)很快就到了,，約翰?伯努利一共收到了五份正確答案,。這五份答案分別來自他自己，他的老師萊布尼茨,，他的哥哥雅各布?伯努利（Jakob Bernoulli）,，他的學(xué)生洛必達(dá)（Guillaume Francois Antonie de L'Hospital），還有一位來自英國的匿名數(shù)學(xué)家,。最后這份答案雖然沒有署名,，但顯然出自赫赫有名的牛頓（Issac Newton）之手。雖然五人的解法各不相同,，但他們的答案全都一樣——最速降線就是擺線,。

同一個答案

所謂擺線（cycloid），就是當(dāng)圓沿一條直線運動時,，圓周上一定點所形成的軌跡,。其實當(dāng)時的數(shù)學(xué)家對這種曲線并不陌生，帕斯卡和惠更斯都曾研究過這一重要的曲線,。但大部分人都沒有想到,，這條線同時也是人們苦苦追尋的最速降線,。

而我們大家對擺線也不陌生。還記得小時候玩過的那種能夠畫出各種漂亮曲線的玩具嗎,？一塊塑料板上開著幾個圓形的大洞,，還有幾塊較小的圓形塑料片，不同半徑處留有一些孔,。把這些看似普通的小圓片放進(jìn)大圓孔中,，再將圓珠筆插在小孔里并帶動小圓片沿著大圓的圓周運動，就能在紙上留下各種美麗的曲線,。這些曲線也都是擺線,，只不過是另一種被稱為“內(nèi)擺線”（hypocycloid）的擺線。它們是由給定圓在另一個圓內(nèi)運動時,，圓周上一定點形成的軌跡,。

不同的解法

讓我們回到眾人給出的最速降線的解法上。萊布尼茨,、牛頓,、洛比達(dá)都是用他們擅長的微積分來解決這個問題的。伯努利兄弟的解法就值得特別地說一說了,。

約翰的解法應(yīng)該是最漂亮的解法了,。他利用了費馬原理（Fermat's principle），將小球的運動類比成光線的運動,。費馬原理又叫做“最短光時”原理,，說的是光線在傳播時總會選擇光程極短的那條路徑。那么,，“最速降線”就是在光速隨高度下降而增加（加速度恒為重力加速度 g）的介質(zhì)里光線傳播的路徑,。用這樣的類比思想，約翰成功地算出了這條曲線就是前面提到的擺線,。

這種解法出人意料地用到了費馬原理,，實在是太巧妙了！在物理學(xué)中,，費馬原理被認(rèn)為是“最小作用量原理”（principle of least action）在幾何光學(xué)中的特例,。 而最小作用量原理則是物理學(xué)定律普遍遵循的規(guī)律，甚至被稱為“物理定律的定律”,。

不知你想過沒有,，當(dāng)我們將一個小球拋出后，它為什么會沿著所謂的拋物線運動,？你可能會說，因為小球只受重力作用,，根據(jù)牛頓第一定律,，它在水平方向上速度恒定不變,；而根據(jù)牛頓第二定律，它在豎直方向上做勻變速運動,。這兩個運動合起來就使得小球的運動軌跡成了一條拋物線,。

這確實不錯，但現(xiàn)在讓我們換一個角度來考慮這個問題,。從整體的角度考慮,，小球在被拋出后，為什么不沿著其他的路徑運動,，卻總是沿著拋物線運動呢,？同樣，我們在考察了連接小球起點和終點的所有曲線后,，會發(fā)現(xiàn)只有在沿著拋物線運動時,，小球的動能和勢能的差在運動過程中對時間的積分（這就是所謂的“作用量”）才是最小的。注意,，在這里我們同樣是在一簇曲線中,，求出一條曲線使得某個量達(dá)到極值。這種在一簇曲線中,，求出某條曲線使得函數(shù)取到極值的思想就是變分的核心思想,。也就是說，我們又是在用變分求泛函的極值,。

再回過頭來看看約翰?伯努利的哥哥——雅各布?伯努利的解法,。雖然雅各布的解法相對于約翰的解法來說更復(fù)雜更麻煩，但他的解法更具有一般性,，體現(xiàn)了變分的思想,。約翰的學(xué)生，偉大的數(shù)學(xué)家歐拉吸收了這一思想,，并從 1726 年開始發(fā)表相關(guān)的論文,，最終于 1744 年首先給出了這類問題的解法，并創(chuàng)立了變分學(xué)這一新的數(shù)學(xué)分支,。投資者用它來計算最大利潤,，工程師用它來計算最小損耗，建筑師用它來優(yōu)化架構(gòu),。它成為了微積分理論中最強(qiáng)大的工具之一,。