如果說有一種平面圖形,，它的面積是有限的而周長卻是無限的,，你相信嗎？“雪花曲線”就是這樣,。那么,，什么是“雪花曲線”呢？

“雪花曲線”是從一個等邊三角形(如圖)開始,，一步一步作出來的,。

　　第一步：把等邊三角形的各邊三等分，從每條邊三等分后的中段,，向外作小等邊三角形,，再去掉與原來等邊三角形重疊的邊(如圖)。

  

　　為了便于敘述,，以后把這個過程簡稱為“變化”,。

　　第二步：對上一步得到的小等邊三角形，重復(fù)上面的變化(如圖),。

第五步,、第六步……照這樣一直進行下去,，就得到“雪花曲線”。

現(xiàn)在來計算“雪花曲線”(所圍成的圖形)的面積和周長。

從以上過程可以看出，“雪花曲線”是一個邊長,、邊數(shù)不斷變化,，同一圖形邊長相等的對稱圖形,。所以,，必須首先研究一下圖形的邊數(shù),、邊長和面積的變化規(guī)律,。

觀察發(fā)現(xiàn)：

規(guī)律一：每次變化后,，原來等邊三角形的一條邊,，所形成的折線包括4條線段,，所以,，新圖形的邊數(shù)是原圖形的4倍,，而邊長是原圖形的1/3；

規(guī)律二：每次變化后,，原來等邊三角形的一條邊上，所作的小等邊三角形的面積,，是原來等邊三角形面積的1/9(參看下圖)。

為了便于計算,，設(shè)原來等邊三角形的面積為“1”,。

第一步以后，因為原來的邊數(shù)是3,，向外作了3個小等邊三角形,；每個小等邊三角形的面積是1/9,，增加的面積是3×1/9,。

第二步以后，邊數(shù)變成3×4,，向外作了3×4個小等邊三角形,；每個小等邊三角形的面積是(1/9)2,，增加的面積是3×4×(1/9)2,。

第三步以后,，邊數(shù)變成3×42,，向外作了3×42個小等邊三角形,；每個小等邊三角形的面積是(1/9)3，增加的面積是3×42×(1/9)3,。

第四步以后，邊數(shù)變成3×43,，向外作了3×43個小等邊三角形,；每個小等邊三角形的面積是(1/9)4，增加的面積是3×43×(1/9)4,。

依次類推,，第n步以后，邊數(shù)變成3×4n-1,，向外作了3×4n-1個小等邊三角形,；每個小等邊三角形的面積是(1/9)n，增加的面積是3×4n-1×(1/9)n,。

于是,，“雪花曲線”的面積

S雪＝1＋3×1/9＋3×4×(1/9)2＋3×42×(1/9)3＋3×43×(1/9)4＋…＋3×4n-1×(1/9)n＋…

化簡,，由第3項開始，從每項的最后一個因數(shù)中,，拿出1個1/9,，與前面的3乘在一起，于是：

S雪＝1＋3×1/9＋(3×1/9)×(4×1/9)＋(3×1/9)×(4×1/9)2＋(3×1/9)×(4×1/9)3＋…＋(3×1/9)×(4×1/9)n-1＋…

＝1＋1/3＋1/3×4/9＋1/3×(4/9)2＋1/3×(4/9)3＋…＋1/3×(4/9)n-1＋…

＝1＋1/3[1＋4/9＋(4/9)2＋(4/9)3＋…＋(4/9)n-1]＋…

中括號里面是一個首項為1,，公比為4/9的無窮等比數(shù)列,。

根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，首項為a,，公比為q時,，等比數(shù)列前n項的和

Sn＝a(1－qn)/(1－q)。

對于q＜1的無窮等比數(shù)列來說,，qn趨于0,，

S＝a/(1－q),。

這里,，a＝1,，q＝4/9＜1，所以,，中括號里面的和等于1/(1－4/9)＝9/5,。于是，“雪花曲線”的面積是

S雪＝1＋1/3×9/5＝1＋3/5＝8/5,。

即,，“雪花曲線”的面積是原來等邊三角形的8/5倍。

二,、“雪花曲線”的周長：

因為,，周長＝邊長×邊數(shù)，而每次變化后,，邊長是原來的1/3,，邊數(shù)是原來的4倍，所以,，周長是原來的1/3×4＝4/3,。也就是說，每次變化后,，邊長都比原來增加1/3,。隨著變化的持續(xù)進行，周長會變得越來越大,，以至無窮,。

這就是“雪花曲線”的非同尋常之處：

它的面積是有限的；

它的周長卻是無限的,。

是不是“不可思議”,？！