線性代數(shù)知識點框架（一）

線性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點：線性方程組,。換言之,，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對象的過程中建立起來的學(xué)科。

線性方程組的特點：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個數(shù)n可以相同,，也可以不同,。

關(guān)于線性方程組的解，有三個問題值得討論：（1）,、方程組是否有解,，即解的存在性問題；（2）,、方程組如何求解,，有多少個解；（3）,、方程組有不止一個解時,，這些不同的解之間有無內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問題,。

高斯消元法,，最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：（1）,、把某個方程的k倍加到另外一個方程上去,；（2）、交換某兩個方程的位置,；（3）,、用某個常數(shù)k乘以某個方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換,。

任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組,。

由具體例子可看出，化為階梯形方程組后,，就可以依次解出每個未知數(shù)的值,，從而求得方程組的解。

對方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對位置,，所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項按原來的位置提取出來,，形成一張表，通過研究這張表,，就可以判斷解的情況,。我們把這樣一張由若干個數(shù)按某種方式構(gòu)成的表稱為矩陣。

可以用矩陣的形式來表示一個線性方程組,，這至少在書寫和表達上都更加簡潔,。

系數(shù)矩陣和增廣矩陣。

高斯消元法中對線性方程組的初等變換,，就對應(yīng)的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應(yīng)的是階梯形矩陣,。換言之,，任意的線性方程組，都可以通過對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣,，求得解,。

階梯形矩陣的特點：左下方的元素全為零，每一行的第一個不為零的元素稱為該行的主元,。

對不同的線性方程組的具體求解結(jié)果進行歸納總結(jié)（有唯一解,、無解、有無窮多解）,，再經(jīng)過嚴格證明,，可得到關(guān)于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現(xiàn)0=d這一項,，則方程組無解,，若未出現(xiàn)0=d一項，則方程組有解,；在方程組有解的情況下,，若階梯形的非零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解,，若r<n,，則方程組有無窮多解。

在利用初等變換得到階梯型后,，還可進一步得到最簡形,，使用最簡形，最簡形的特點是主元上方的元素也全為零,，這對于求解未知量的值更加方便,，但代價是之前需要經(jīng)過更多的初等變換。在求解過程中,，選擇階梯形還是最簡形,，取決于個人習(xí)慣。

常數(shù)項全為零的線性方程稱為齊次方程組,，齊次方程組必有零解,。

齊次方程組的方程組個數(shù)若小于未知量個數(shù)，則方程組一定有非零解,。

利用高斯消元法和解的判別定理,，以及能夠回答前述的基本問題（1）解的存在性問題和（2）如何求解的問題，這是以線性方程組為出發(fā)點建立起來的最基本理論,。

對于n個方程n個未知數(shù)的特殊情形,，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來表示其解,，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱為一個線性方程組（或矩陣）的行列式。行列式的特點：有n!項,，每項的符號由角標排列的逆序數(shù)決定,，是一個數(shù)。

通過對行列式進行研究,，得到了行列式具有的一些性質(zhì)（如交換某兩行其值反號,、有兩行對應(yīng)成比例其值為零、可按行展開等等）,，這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計算行列式,。

用系數(shù)行列式可以判斷n個方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則,。

總而言之,，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時引出的一部分內(nèi)容。

    線性代數(shù)知識點框架（二）

在利用高斯消元法求解線性方程組的過程中,，涉及到一種重要的運算,，即把某一行的倍數(shù)加到另一行上，也就是說,，為了研究從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項判斷它有沒有解,，有多少解的問題，需要定義這樣的運算,，這提示我們可以把問題轉(zhuǎn)為直接研究這種對n元有序數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運算,。

數(shù)域上的n元有序數(shù)組稱為n維向量。設(shè)向量a=(a1,a2,...,an),，稱ai是a的第i個分量,。

n元有序數(shù)組寫成一行，稱為行向量,，同時它也可以寫為一列,，稱為列向量。要注意的是,，行向量和列向量沒有本質(zhì)區(qū)別,，只是元素的寫法不同。

矩陣與向量通過行向量組和列向量組相聯(lián)系,。

對給定的向量組,，可以定義它的一個線性組合。線性表出定義的是一個向量和另外一組向量之間的相互關(guān)系,。

利用矩陣的列向量組,，我們可以把一個線性方程組有沒有解的問題轉(zhuǎn)化為一個向量能否由另外一組向量線性表出的問題。同時要注意這個結(jié)論的雙向作用,。

從簡單例子（如幾何空間中的三個向量）可以看到,，如果一個向量a1能由另外兩個向量a2,、a3線性表出，則這三個向量共面,，反之則不共面,。為了研究向量個數(shù)更多時的類似情況，我們把上述兩種對向量組的描述進行推廣,，便可得到線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。

通過一些簡單例子體會線性相關(guān)和線性無關(guān)（零向量一定線性無關(guān),、單個非零向量線性無關(guān),、單位向量組線性無關(guān)等等）。

從多個角度（線性組合角度,、線性表出角度,、齊次線性方程組角度）體會線性相關(guān)和線性無關(guān)的本質(zhì)。

部分組線性相關(guān),，整個向量組線性相關(guān),。向量組線性無關(guān)，延伸組線性無關(guān),。

回到線性方程組的解的問題,，即一個向量b在什么情況下能由另一個向量組a1,a2,...,an線性表出？如果這個向量組本身是線性無關(guān)的,，可通過分析立即得到答案：b, a1, a2, ..., an線性相關(guān),。如果這個向量組本身是線性相關(guān)的，則需進一步探討,。

任意一個向量組,，都可以通過依次減少這個向量組中向量的個數(shù)找到它的一個部分組，這個部分組的特點是：本身線性無關(guān),，從向量組的其余向量中任取一個進去,，得到的新的向量組都線性相關(guān)，我們把這種部分組稱作一個向量組的極大線性無關(guān)組,。

如果一個向量組A中的每個向量都能被另一個向量組B線性表出,，則稱A能被B線性表出。如果A和B能互相線性表出,，稱A和B等價,。

一個向量組可能又不止一個極大線性無關(guān)組，但可以確定的是,，向量組和它的極大線性無關(guān)組等價,，同時由等價的傳遞性可知，任意兩個極大線性無關(guān)組等價,。

注意到一個重要事實：一個線性無關(guān)的向量組不能被個數(shù)比它更少的向量組線性表出,。這是不難理解的,，例如不共面的三個向量（對應(yīng)線性無關(guān)）的確不可能由平面內(nèi)的兩個向量組成的向量組線性表出。

一個向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組所含的向量個數(shù)相等,，我們將這個數(shù)目r稱為向量組的秩,。

向量線性無關(guān)的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的數(shù)目。等價的向量組有相同的秩,。

有了秩的概念以后,，我們可以把線性相關(guān)的向量組用它的極大線性無關(guān)組來替換掉，從而得到線性方程組的有解的充分必要條件：若系數(shù)矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等,，則有解,，若不等，則無解,。

向量組的秩是一個自然數(shù),，由這個自然數(shù)就可以判斷向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，由此可見,，秩是一個非常深刻而重要的概念,，故有必要進一步研究向量組的秩的計算方法

   線性代數(shù)知識點框架（三）

為了求向量組的秩，我們來考慮矩陣,。矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩,，行向量組的秩稱為行秩。

對階梯形矩陣進行考察,，發(fā)現(xiàn)階梯形矩陣的行秩等于列秩,，并且都等于階梯形的非零行的數(shù)目，并且主元所在的列構(gòu)成列向量組的一個極大線性無關(guān)組,。

矩陣的初等行變換不會改變矩陣的行秩,，也不會改變矩陣的列秩。

任取一個矩陣A,，通過初等行變換將其化成階梯形J,，則有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即對任意一個矩陣來說,，其行秩和列秩相等,，我們統(tǒng)稱為矩陣的秩。

通過初等行變換化矩陣為階梯形,，即是一種求矩陣列向量組的極大線性無關(guān)組的方法,。

考慮到A的行秩和A的轉(zhuǎn)置的列秩的等同性，則初等列變換也不會改變矩陣的秩,?？偠灾醯茸儞Q不會改變矩陣的秩,。因此如果只需要求矩陣A的秩,，而不需要求A的列向量組的極大無關(guān)組時,，可以對A既作初等行變換，又作初等列變換,，這會給計算帶來方便,。

矩陣的秩，同時又可定義為不為零的子式的最高階數(shù),。

滿秩矩陣的行列式不等于零,。非滿秩矩陣的行列式必為零。

既然矩陣的秩和矩陣的列秩相同,，則可以把線性方程組有解的充分必要條件更加簡單的表達如下：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,。另外，有唯一解和有無窮多解的條件也可從秩的角度給出回答：系數(shù)矩陣的秩r等于未知量數(shù)目n,，有唯一解，r<n,，有無窮多解,。

齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)問題，可以用基礎(chǔ)解系來表示,。當齊次線性方程組有非零解時,，基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)等于n-r，用基礎(chǔ)解系表示的方程組的解的集合稱為通解,。

通過對具體實例進行分析,，可以看到求基礎(chǔ)解系的方法還是在于用初等行變換化階梯形。

非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu),，是由對應(yīng)的齊次通解加上一個特解,。

  線性代數(shù)知識點框架（四）

在之前研究線性方程組的解的過程當中，注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應(yīng)用,，故還有必要對矩陣及其運算進行專門探討,。

矩陣的加法和數(shù)乘，與向量的運算類同,。

矩陣的另外一個重要應(yīng)用：線性變換（最典型例子是旋轉(zhuǎn)變換）,。即可以把一個矩陣看作是一種線性變換在數(shù)學(xué)上的表述。

矩陣的乘法,，反映的是線性變換的疊加,。如矩陣A對應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個角度a，矩陣B對應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個角度b,，則矩陣AB對應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個角度a+b,。

矩陣乘法的特點：若C=AB，則C的第i行,、第j列的元素是A的第i行與B的第j列的元素對應(yīng)乘積之和,；A的列數(shù)要和B的行數(shù)相同,；C的行數(shù)是A的行數(shù)，列數(shù)是B的列數(shù),。需要主義的是矩陣乘法不滿足交換律,，滿足結(jié)合律。

利用矩陣乘積的寫法,，線性方程組可更簡單的表示為：Ax=b,。

對于C=AB，還可作如下分析：將左邊的矩陣A寫成列向量組的形式,，即意味著C的列向量組能由A的列向量組表示,，從而推知C的列秩小于等于A的列秩；將右邊的矩陣B寫成行向量組的形式,，即意味著C的行向量組能由B的行向量組表示,，從而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考慮到矩陣的行秩等于列秩等于矩陣的秩,，最終可得到結(jié)論,，C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩,，即矩陣乘積的秩總不超過任一個因子的秩,。

關(guān)于矩陣乘積的另外一個重要結(jié)論：矩陣乘積的行列式等于各因子的行列式的乘積。

一些特殊的矩陣：單位陣,、對角陣,、初等矩陣。尤其要注意,，初等矩陣是單位陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣,。

每一個初等矩陣對應(yīng)一個初等變換，因為左乘的形式為PA（P為初等矩陣）,，將A寫成行向量組的形式,，PA意味著對A做了一次初等行變換；同理,，AP意味著對A做了一次初等列變換,，故左乘對應(yīng)行變換，右乘對應(yīng)列變換,。

若AB=E,，則稱A為可逆矩陣，B是A的逆陣,，同樣,，這時的B也是可逆矩陣，注意可逆矩陣一定是方陣。

第一種求逆陣的方法：伴隨陣,。這種方法的理論依據(jù)是行列式的按行（列）展開,。

矩陣可逆，行列式不為零,，行（列）向量組線性無關(guān),，滿秩，要注意這些結(jié)論之間的充分必要性,。

單位陣和初等矩陣都是可逆的,。

若矩陣可逆，則一定可以通過初等變換化為單位陣,，這是不難理解的,，因為初等矩陣滿秩，故最后化成的階梯型（最簡形）中非零行數(shù)目等于行數(shù),，主元數(shù)目等于列數(shù),，這即是單位陣。進一步,，既然可逆矩陣可以通過初等變換化為單位陣,，而初等變換對應(yīng)的是初等矩陣，即意味著：可逆矩陣可以通過左（右）乘一系列初等矩陣化為單位陣,，換言之可逆矩陣可看作是一系列初等矩陣的乘積，因為單位陣在乘積中可略去,。

可逆矩陣作為因子不會改變被乘（無論左乘右乘）的矩陣的秩,。

由于可逆矩陣可以看作是一系列初等矩陣的乘積，可以想象,，同樣的這一系列初等矩陣作用在單位陣上,，結(jié)果是將這個單位陣變?yōu)樵瓉砭仃嚨哪骊嚕纱艘銮竽骊嚨牡诙N方法：初等變換,。需要注意的是這個過程中不能混用行列變換,，且同樣是左乘對應(yīng)行變換，右乘對應(yīng)列變換,。

矩陣分塊,，即可把矩陣中的某些行和列的元素看作一個整體，對這些被看作是整體的對象構(gòu)成的新的矩陣,，運算法則仍然適用,。將矩陣看成一些列行向量組或列向量組的形式，實際也就是一種最常見的對矩陣進行分塊的方式,。

     線性代數(shù)知識點框架（五）

由矩陣乘法的特點可知,，計算一個矩陣A的n次方，相對于數(shù)乘運算來說要繁瑣得多。我們注意到,，如果存在可逆矩陣P和對角矩陣∧,，使得A=P*∧*P逆，那么有：
A^n=（P*∧*P逆）^n=（P*∧*P逆）（P*∧*P逆）…（P*∧*P逆）=P*∧^n*P逆
由于對角矩陣的乘方容易計算,，從而問題得到大幅簡化,。

對矩陣A、B來說,，如果存在著可逆矩陣P,，使得A=P *B*P逆，我們稱A與B是相似的,。特別地,，如果A與對角矩陣∧相似，則稱A可對角化,。由此可見,，如果矩陣A可對角化，那么A^n的計算將變得簡單許多,。故可把相似的說法理解為一個在尋找矩陣乘方簡便運算的過程中提出來的概念,。

相似的矩陣有許多共同的性質(zhì)，如有相同的秩和相同的行列式值,，相似的矩陣或者都可逆,，或者都不可逆，等等,。

設(shè)矩陣A相似于對角矩陣∧,，那么：
A=P*∧*P逆
＜＝＞ AP=P∧，其中P為可逆矩陣
＜＝＞ A*（a1, a2, …, an）=（a1, a2, …, an）*∧,，其中a1, a2, …, an分別為可逆矩陣P的列向量,，λ1, λ2, …, λn分別為對角矩陣∧的主對角線上元素
＜＝＞ A*a1=λ1*a1，A*a2=λ2*a2,，…,，A*an=λn*an
也就是說，矩陣A能對角化的關(guān)鍵,，在于找到n個常數(shù)λ1, λ2, …, λn和n個線性無關(guān)的向量a1, a2, …, an（因為這些向量構(gòu)成的矩陣可逆,，這也決定了零向量不是特征向量），使得A*ai=λi*ai（i=1,，2,，3，…,，n）,。
我們把滿足條件A*ai=λi*ai的λi稱為矩陣A的特征值,，ai稱為矩陣A對應(yīng)特征值λi的特征向量。換句話說,，一個矩陣能夠相似于對角矩陣的充分必要條件是：存在n個線性無關(guān)的特征向量,。

接下來的問題是如何求矩陣的特征值和特征向量？一個方案是從定義A*ai=λi*ai出發(fā),，直接尋找滿足這樣要求的λi 和ai,，但這一般是不容易做到的，故還有必要去建立一種更為普遍的方法,。

設(shè)A*ai=λi*ai
＜＝＞（A-λi*E）*ai=0
＜＝＞ 對λi來說,，ai是齊次線性方程組（A-λi*E）*X=0的一個非零解（因為ai構(gòu)成的向量組線性無關(guān)）
＜＝＞ 方程組的系數(shù)行列式det（A-λi*E）=0
由此可見，每一個特征值λi都是多項式det（A-λ*E）在指定數(shù)域（一般是實數(shù)域）上的根,，我們稱這個多項式為矩陣A的特征多項式,，不難驗證，它是一個λ的n次多項式,。依據(jù)特征方程det（A-λ*E）=0,，即可求出矩陣A的全部特征值。

對矩陣A的每個特征值λi,，求齊次線性方程組（A-λi*E）*X=0的解,，得到的全部非零解（一般可用基礎(chǔ)解系表示）就是A的屬于特征值λi的全部特征向量。由此可得到兩點啟示：對同一個特征值來說,，特征向量不唯一,；對同一特征值來說，特征向量的線性組合仍為特征向量,。

相似的矩陣有相同的特征多項式和特征值,，但有相同特征多項式的兩個矩陣不一定相似。相似的矩陣有相同的秩,，故一個可對角化矩陣的非零特征值的數(shù)目即為其秩,。

在求出矩陣的全部特征值和全部特征向量以后,，剩下的問題就是判斷這些所有的特征向量中有沒有n個是線性無關(guān)的,？如果有，意味著矩陣可對角化,，如果沒有,，則矩陣不可對角化。

對一個矩陣A來說,，考慮到其n個特征值可能相同也可能不同,，故最一般的情況應(yīng)該是把A的這n個特征值分為m組，分別為λ1, λ2, …, λm,，每組的個數(shù)分別為j1,，j2，…，jm（注意有j1+j2+…+jm=n）,，對每個λi（i=1,，2，…,，m）,，齊次線性方程組（A-λi*E）*X=0的基礎(chǔ)解系解向量的個數(shù)分別為r1，r2,，…,，rm，這些基礎(chǔ)解系各自當然都是A的線性無關(guān)的特征向量,，自然會進一步聯(lián)想,，把這m組共r1+r2+…+rm個向量合在一起情況如何，是否仍線性無關(guān),？

經(jīng)過考察發(fā)現(xiàn),，矩陣A的屬于不同的特征值的特征向量一定線性無關(guān)。故上述r1+r2+…+rm個來自不同特征值的特征向量構(gòu)成的向量組確實是線性無關(guān)的,。于是不難有如下結(jié)論,，若r1+r2+…+rm=n，則A有n個線性無關(guān)的特征向量,，從而A可對角化,，若r1+r2+…+rm<n，則A沒有n個線性無關(guān)的特征向量,，從而A不可對角化,。

若矩陣A具有n個不同的特征值，則A可對角化,。

由此可見,，要判斷一個矩陣是否可對角化，通常需要求出其全部特征值（相當于解代數(shù)方程的問題）,，再求出每個特征值所對應(yīng)的特征向量（相當于解齊次線性方程組的問題）并考察其相互之間的線性無關(guān)性,。亦即我們應(yīng)當建立起這樣的認識：相似變換，尤其是相似對角變換,，并不是對任何一個矩陣來說都可以進行的,，這其中關(guān)鍵在于能否找到一個可逆矩陣P來為兩者提供聯(lián)系，換言之就是應(yīng)當滿足某些對應(yīng)的條件,。當然,，可以想象，也許對于具有某些特點的矩陣來說,，它們本身就滿足這種既定條件,，從而必可以對角化,。

實對稱矩陣就是這樣一種特殊的矩陣，它一定存在著n個線性無關(guān)的特征向量,，即一定可對角化,。實對稱矩陣屬于不同特征值得特征向量是正交的，而之前已經(jīng)提到過,，對同一特征值來說,，其特征向量的線性組合仍是其特征向量，故可利用施密特正交化方法（本質(zhì)是線性組合）來構(gòu)造出一組屬于同一特征值的正交特征向量,，這些正交化單位化后的特征向量就決定了實對稱矩陣一定可以正交對角化,。要注意到正交矩陣當然是可逆的，正交的向量組當然是線性無關(guān)的,，這是實對稱矩陣對于一般矩陣來說在相似變換性質(zhì)上更為優(yōu)越的地方,。