Shai Simonson and Fernando Gouvea

未經(jīng)訓(xùn)練的人是無法讀懂和理解數(shù)學(xué)的,。

      閱讀是講究方法的。欣賞詩歌的方法和小說的不同,，小說的和紀(jì)實文學(xué)的方法又有不同,。看小說時去深究主人公到底為何是身體黝黑金發(fā)飄飄是沒什么必要的，但是閱讀紀(jì)實文學(xué)時對事實真相不去究根問底就不對了,。同樣,，欣賞美術(shù)和音樂也需要相應(yīng)的方法。事實上,，文學(xué),、音樂和美術(shù)課的入門部分把大多數(shù)筆墨都花在了傳授相應(yīng)的方法上。

      數(shù)學(xué)也有自己的閱讀方法,。和我們需要學(xué)習(xí)如何閱讀文學(xué)一樣,，我們也要學(xué)習(xí)如何閱讀數(shù)學(xué)。學(xué)習(xí)閱讀數(shù)學(xué)的方法所需的功夫,，不比學(xué)習(xí)閱讀小說和詩歌,、欣賞音樂和繪畫要少。Ed Rothsteins的《Emblems of Mind》是一本關(guān)于數(shù)學(xué)和音樂的關(guān)系的非常棒的書,。它從側(cè)面闡述了閱讀數(shù)學(xué)的方法,。

      當(dāng)我們閱讀一本小說時，我們關(guān)注它的情節(jié)和人物,。我們關(guān)注各條故事線的發(fā)展和人物的變化,。這些人物在我們的腦海中栩栩如生，有的惹人喜愛,，有的讓人憎惡,。我們不會拘泥于單個的詞句，而是將它們想象成畫布上的線條,。即使有一個詞不認(rèn)識也沒關(guān)系,，我們總能把握大體的意思。我們很少停下來字斟句酌,，而是隨波逐流一直讀到最后,。這樣的閱讀讓人放松,，給你思考的空間。

      小說家們常常用精心準(zhǔn)備的逸聞趣事來描寫自己的角色,，而不是給他們冠以各種形容詞,。他們先刻畫人物的一個側(cè)面，然后是另一個,，然后再用不同的手法回到第一個,，如此反復(fù)，逐漸的將整個故事展開,。這是一種將無法準(zhǔn)確說明的復(fù)雜事物表達出來的好方法,。

      數(shù)學(xué)概念天生就是精確而完備的，因此他們的定義總是簡潔而準(zhǔn)確,。數(shù)學(xué)論文和小說都在講故事,，只是數(shù)學(xué)論文中很少用到小說中的正常的語言詞匯而已。小說的美來源于優(yōu)雅的文字和洗練的筆法,。數(shù)學(xué)論文的美則來自于用簡潔有效的方法來描述非常復(fù)雜的概念,。

人們在閱讀數(shù)學(xué)時會煩哪些常見的錯誤？應(yīng)該如何糾正,？

不要只見樹木不見森林

數(shù)學(xué)閱讀不是線性的...理解文意需要查閱引用,、精讀、思考和反復(fù)

      不要以為理解了每一句話就能通讀全文,。這就好像把鼻子尖湊到跟前一點點的欣賞一幅畫一樣,，你能看到細(xì)節(jié)、紋理和顏色,，但卻無法欣賞這幅畫,。每篇數(shù)學(xué)論文都講了一個故事。你應(yīng)該在深究細(xì)節(jié)之前先了解故事的梗概,。在有了一個整體的概念之后你就可以看得更仔細(xì)些了,，這就好像重讀一本小說一樣。

不要做一個被動的讀者

一條只需三行就能證明的定理也許意味著經(jīng)年累月的努力,，要讀懂它就必須像作者一樣思考,。

      在例子中探索模式，嘗試特殊情況,。

      一篇數(shù)學(xué)論文通常只是在一部長篇小說的一小部分,。在這個故事里，作者花費了數(shù)月的時間探索未知的小徑,，發(fā)現(xiàn)了一些東西。最后,，他把他的所有動機,、犯過的所有錯誤以及最后的結(jié)論簡潔的總結(jié)成了這篇文章,。真正理解作者原意的方法就是在腦中重建作者沒有寫出的那部分故事，從字里行間讀出東西來,。

      數(shù)學(xué)總是言簡意賅,，惜墨如金。而讀者必須置身于其中,。每時每刻,，他都應(yīng)該自省是否讀懂了文章的觀點。問問自己這些問題：

      不去考慮這些問題就好像心不在焉的看小說,。發(fā)呆了一會兒之后你會突然發(fā)現(xiàn)雖然你已經(jīng)翻了很多頁，但卻完全想不起你看了什么,。

不要讀得太快

      想要快快的閱讀數(shù)學(xué)只會讓你沮喪,。根據(jù)小說的不同和讀者的能力，一般人看小說半個小時能讀上20-60頁,。但視你的能力和文章的深度而異,，半個小時你能看懂的數(shù)學(xué)公式也許只有不到十行。努力和時間是無價的,。你可以通過練習(xí)來提高數(shù)學(xué)閱讀的技巧和速度,，但要小心。和學(xué)習(xí)任何技巧一樣,，高歌猛進也會讓你疲憊不堪,，就好像讓兩年沒鍛煉的你突然做一個小時的高強度有氧運動一樣。你也許能撐過第一節(jié)課,，但你肯定不想再來了,。看到有經(jīng)驗的同伴輕松的完成了兩倍于你的訓(xùn)練量,，而你第二天卻會因為酸痛而哀嚎一整天，這樣的挫折感是很難以承受的,。

      例如,，考慮 Levi Ben Gershons 在1321年的手稿《Maaseh Hoshev（計算的藝術(shù)）》中給出的如下定理：

將從1開始的奇數(shù)個連續(xù)整數(shù)相加的結(jié)果等于這一串?dāng)?shù)字的中數(shù)與尾數(shù)之積。

      現(xiàn)代數(shù)學(xué)家很自然的會將這個結(jié)論寫成：

消化作者的思想

      理解文意的最好辦法就是把作者的思想消化掉。這需要你回到最初的線索,，然后自己獨立推導(dǎo)出相同的結(jié)論,。數(shù)學(xué)家們常說，要理解一個問題,，先要讀懂它,，然后把它用自己的話寫出來，最后還要能把它教給別人,。每個人思考復(fù)雜問題的方式和水平都有不同,，你需要用自己的語言和經(jīng)驗來解釋這個問題。

“當(dāng)我使用這個詞時,，它的意思就是我賦予它的意思” （Humpty Dumpty 對愛麗絲說道,，引自 Carroll Lewis 的《愛麗絲鏡中奇遇記》）

“意義”從來都不是透明的，因為每一個單詞或符號都是概念和典故濃縮而成的,。

      嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)文字只會認(rèn)真的使用那些沒有歧義的詞匯來區(qū)別不同的東西,，例如組合與排列。嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義會說,，“黃色的瘋狗”和“瘋狂的黃狗”的詞語排列是不同的,，但組合是相同的。大多數(shù)講英語的人不會同意這一點,。這種極端的嚴(yán)謹(jǐn)對于以使用排比對仗反復(fù)等修辭手法為榮的詩歌和小說的創(chuàng)作是無法想象的,。

讀者應(yīng)該知道，絕對值并不是什么無法改變的數(shù)值,，而函數(shù)也和任何實用性無關(guān),。

      一個特別有名的例子是“容易得到”或是類似的話。它的實際意思是：

      任何人都可以通過一定的機械和復(fù)雜的計算驗證以下陳述的正確性,。作為作者,，我雖然可以完成這些，但這會耗費大量的紙張卻沒有什么幫助,，因為您自己通過演算來理解其中的邏輯是最好不過的了,。我保證，這其中不會用到什么新的結(jié)論。當(dāng)然,，思考與正確地把好點子組合起來是找到答案的必由之路,。

      換句話說，這種話一般意味著這里的結(jié)論背后的推導(dǎo)雖然枯燥甚至困難,，但并沒有包含什么新意。這樣讀者就可以根據(jù)自己的水平來決定他（她）是鉆進細(xì)節(jié)還是接受作者的保證：“好吧,，我相信你”,。

      關(guān)于這種話能否用在在特定的場合或是作者是否正確的使用了它，無論你的意見如何你都應(yīng)該理解它的本意,。“容易得到”并不意味著

如果這都看不出來,，那你就是個蠢貨。

      它也不意味著

兩分鐘之內(nèi)你就應(yīng)該能弄懂,。

      但不熟悉這種暗語的人可能會誤解這句話,，然后非常沮喪。某個問題對于一個人來說可能是枯燥無味的,，但對于另一個人來說則可能很有挑戰(zhàn)性,。但這種問題和“容易得到”這種話無關(guān)。因此文章的作者在使用這種話時需要考慮到他的讀者,。

認(rèn)識你自己

      文章的寫作都是有目標(biāo)受眾的,。開始閱讀之前請確認(rèn)您就是文字的目標(biāo)讀者，或是原意學(xué)習(xí)以成為一個合格的讀者,。

T.S.Eliot 的《給 Simeon 的一首歌》：

Lord, the Roman hyacinths are blooming in bowls and
The winter sun creeps by the snow hills;
The stubborn season has made stand.
My life is light, waiting for the death wind,
Like a feather on the back of my hand.
Dust in sunlight and memory in corners
Wait for the wind that chills towards the dead land.

      比如,，Eliot 的這首詩至少假設(shè)了它的讀者知道 Simeon 是誰，即使不知道也愿意去了解這個人,。它還假定其讀者有一定的欣賞詩歌的能力,，或者即使沒有也愿意去學(xué)習(xí)并得到這種能力。它假定讀者能夠讀懂或者會去研究它的典故,。這不僅包括 Simeon 是誰這樣的信息,，還比如，為什么風(fēng)信子是“羅馬的”,？這很重要么,？

      Eliot 假設(shè)讀者會慢慢的讀這首詩并勾勒出這樣一幅畫面：他把塵土與回憶放在一旁，將老去想象成寒冬,，把等待死亡比作手背上的一根羽毛,。他假設(shè)讀者能夠認(rèn)得出這是一首詩，假設(shè)讀者熟悉詩歌的形式,。讀者應(yīng)該知道隔行押韻,，但臨行不會，等等。

      最重要的是,，他假定讀者不光會用心,，還會用感情和想象來讀這首詩，在畫面中召喚出這位老人,，對生命已經(jīng)感到疲憊,，但仍在堅持等待著某個重要的事件的發(fā)生。

數(shù)學(xué)書也一樣會對讀者做一些假設(shè)：讀者應(yīng)該了解某些知識,，達到了某個“等級”什么的,。在開始閱讀之前，最好確認(rèn)你已經(jīng)擁有了作者所期望你了解的知識,。

數(shù)學(xué)寫作的一個范例

      為了實踐我剛才提到過的準(zhǔn)則,，我附上了關(guān)于“生日悖論”的一段文字。文章的第一部分用簡練的數(shù)學(xué)語言描述并解決了這個問題,。第二部分則從讀者的角度想象如何用正確的方式來嘗試讀懂這篇文章,。這篇文章主要和概率論有關(guān)，只要愿意思考,，對讀者背景沒有任何要求,。

生日悖論

      一位教授和班上30名普通學(xué)生們打賭說這個班上至少有兩個人是在同一天生的（月日相同，年不一定）,。你敢和教授打這個賭么,？如果班上的人更少一些呢？你還愿意打這個賭么,？

假設(shè) n 個人的生日均勻的分布在一年的365天之中（簡單起見不考慮閏年）,。可以證明，至少有兩個人在同一天出生的概率是：

      那么一個房間里的30個普通人,，其中至少有兩人在同月同日出生的幾率是多大呢,？對于 n = 30，答案是大約 71％,。這意味著在任意一個30人的班級之中,，賭100次的話教授能贏71次。而如果班上只有23個人,，教授贏的幾率大概是50%,。

證明：設(shè)P(n)兩個人同月同日生的概率。設(shè)Q(n) = 1 - P(n),，也就是沒有任何人是在同月同日生的概率,。現(xiàn)在我們就可以用 n 個生日不重合的組合方式除以所有可能的生日組合方式計算出 Q(n)，然后就可以得到 P(n) 了,。

不重復(fù)的 n 種生日組合方式總共有：

365 x 364 x 363 x ... x (365 - n + 1)

這是因為第一個生日有365種選擇,，而第二個生日只有364種了,，一次類推到第 n 個生日。而在沒有限制的情況下 n 個生日的組合即是 365^n 因為每個生日都有365種選擇,。因此,，Q(n) 即為：

用 P(n) = 1 - Q(n) 就可以得到結(jié)果了。

從讀者的角度理解生日悖論

      在這一節(jié)中,，一位新手想要看懂剛才的幾段話,。R 部分是讀者的想法，P 部分是專家對讀者部分的評論,。文中被居中并加黑了的文字是正確的閱讀方法,。

      我的讀者可能看起來上手挺快的。但實際上,，每一段讀者的話都意味著長時間的思考，而且我已經(jīng)略去了讀者嘗試死胡同的部分,。要和這位讀者感同身受不是只要讀過他（她）的評論這么簡單的事情,。你在試圖理解這個問題時可以把他（她）的話作為思路。

認(rèn)識你自己

讀者(R)：我一點也不懂概率論,，我能看懂這篇文章么,？

專家(P)：試試看吧。每一步可能都會反復(fù)很多次,。

R ：“30名普通學(xué)生”是什么意思,？

……

（以下沒有翻譯）