力的概念早在漢密爾頓力學(xué)的框架內(nèi)就失去了存在的合理性,，但它卻一直貫穿于我們處理力學(xué)問題的思維并在教科書中快樂地存在著,。本文（發(fā)表在 Physics Today 2004年10月號）中，2004 年度諾貝爾物理學(xué)獎得主,、MIT 物理學(xué)教授弗蘭克·維爾切克從科學(xué)發(fā)展史,、科學(xué)方法論以及文化與心理學(xué)的角度研究了這一悖論，讀來令人有茅塞頓開之感,。

本文轉(zhuǎn)載自微信號中國物理學(xué)會期刊網(wǎng)（ID： cpsjournals）,，有部分刪改。

撰文 弗蘭克·維爾切克（Frank Wilczek）

翻譯 黃嬈 

審校 曹則賢 

來源 《物理》雜志

在我的學(xué)生時代,，經(jīng)典力學(xué)是最讓我費神的一門課。這常常讓我覺得很奇怪,，因為在我學(xué)習(xí)那些通常認為更難的高級課程時,，并不覺得有什么困難。現(xiàn)在我想我已經(jīng)找到答案了,。這是“文化沖擊”的一個例子,。從數(shù)學(xué)的角度，我期望得到一個運算法則,。結(jié)果我遇到的是一些完全不同的東西——實際上是某種“文化”,。下面讓我來解釋。

有關(guān) F=ma 的一些問題

牛頓第二定律 F=ma 是經(jīng)典力學(xué)的靈魂。和其他堪稱靈魂的東西一樣,，它并不那么牢靠,。方程的右邊是有確切意義的兩項之積。加速度是一個純運動學(xué)的概念,，可以根據(jù)空間和時間來定義,。質(zhì)量很直接地反映了物體的可測量性質(zhì)（重量、反沖速度）,。另一方面,，方程的左邊卻沒有獨立的意義。然而,，即便用最高的標(biāo)準(zhǔn)來衡量,，牛頓第二定律顯然意義重大：它在很多特定的情形下都十分有用。外觀富麗堂皇,、花里胡哨的橋梁,，比如天鵝橋（Erasmus bridge， 以“鹿特丹的天鵝”之名而聞名于世）,，確實能夠承重；宇宙飛船確實能夠抵達土星,。

當(dāng)我們以現(xiàn)代物理的觀點去考察“力”的時候,，就會進一步加深這個悖論,。事實上，力的概念在很多基本定律的高級表達方式中是不存在的。它不出現(xiàn)在薛定諤方程中,，不出現(xiàn)在量子場論的任何合理的公式中，廣義相對論的建立也不需要用到它,。早在相對論和量子力學(xué)產(chǎn)生之前,，目光敏銳的人就觀察到一個趨勢：消除力的概念,。 

尤為驚人是,，羅素在他1925年出版的相對論普及讀物《相對論入門》中寫道：“如果人們試著用新的方式看待這個世界，消除‘力’的概念將不僅僅影響到我們物理上的觀念，而且可能還包括道義上和政治上的……在關(guān)于太陽系的牛頓理論看來,，太陽似乎是一個發(fā)號施令的君主，行星則必須遵守這些命令,；而愛因斯坦構(gòu)造的世界里與之相比要多一些個人主義，少一些專制獨裁,?！边@種想法是如此的特別而且顛覆傳統(tǒng)。

羅素那本書第14章的題目就是“力的剔除”,。

如果 F=ma 形式上是空洞的,，精確推敲起來則模糊晦澀,，甚至道義上是可疑的,，那么它的不可否認的力量又是從哪里來的呢,？

力的文化

為了弄清它的來源,，我們看看這個公式是怎樣應(yīng)用的,。

一類很普遍的問題是給定一個力然后求解運動，或者相反。這看起來像是物理,，但實際上只是微分方程和幾何的練習(xí)題，加了一點偽裝而已。為了與物理事實聯(lián)系起來,，我們必須對實際存在于這個世界上的力做一個聲明，各種各樣的假設(shè)被塞了進來，但經(jīng)常并不說明,。

經(jīng)典力學(xué)里關(guān)于運動的第零定律是質(zhì)量守恒。由于它過于基本所以牛頓沒有明確指出，物體的質(zhì)量被認為獨立于速度和任何施加于它的外力,，總質(zhì)量既不產(chǎn)生也不消滅,，只是在物體相互作用的時候重新分配。當(dāng)然,，如今我們知道以上內(nèi)容并不十分正確,。

牛頓第三定律指出，對于每個作用,，存在著一個大小相等方向相反的反作用,。而且，我們通常假定力不獨立于速度,。這兩個觀點也都不那么正確,。例如，它們不能解釋帶電粒子間的磁相互作用,。

當(dāng)我們引入約束力和摩擦力的時候還要做出一些其他假設(shè),。

在此我不作贅述。任何人仔細想一想就會發(fā)現(xiàn),，公式 F=ma 自身顯然并不能為構(gòu)建整個力學(xué)體系提供一個運算法則,。這個方程更像是一種用以表達力學(xué)體系里各種不同的、有用的見解之公共語言,。換句話說,，對這些符號的解釋包含了完整的文化。當(dāng)我們學(xué)習(xí)力學(xué)的時候,，我們不得不通過大量例題來領(lǐng)會力到底是什么,，這不僅僅是經(jīng)由練習(xí)培養(yǎng)技能的問題，而是我們吸收了由這許多假定構(gòu)成的一種默認的文化,。不能認同這一點就是造成我困擾的原因,。

力學(xué)的歷史發(fā)展反映了一個類似的學(xué)習(xí)過程。牛頓在解釋行星運動上獲得了巨大的成功,，他發(fā)現(xiàn)使用形式簡單的力可以解釋整個系統(tǒng)的行為,。他在《原理》第二卷中對延展物體和流體之力學(xué)的嘗試是突破性,，但卻沒有決定性的結(jié)果，而且他幾乎沒有接觸到力學(xué)中更實用的方面,。后來,，許多杰出的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家對于我們今天所理解的“力的文化”做出了重要的貢獻，他們當(dāng)中特別包括達朗貝爾（約束和接觸力）,、庫倫（摩擦）,，和歐拉（剛體、彈性物體和流體）,。

物理和心理上的來源

我們發(fā)現(xiàn),，許多根植于“力的文化”中的觀點并不完全正確。此外,，我們今天認為更正確的那一套物理定律如果要嵌入這種文化的語言框架卻不是那么容易的,。要知道產(chǎn)生這種現(xiàn)狀的原因，必須回答兩個問題：為什么這種文化能持續(xù)繁榮,？為什么它會最先出現(xiàn),？

對于物質(zhì)的行為，我們今天擁有非常完善和精確的定律來描述,，大體上涵蓋了經(jīng)典力學(xué)和更大范圍內(nèi)的現(xiàn)象,。量子電動力學(xué)和量子色動力學(xué)為構(gòu)建物質(zhì)以及它們之間的非引力作用提供了基本的定律；廣義相對論則使我們對引力有了充分的描述,。從這些有利條件來看,，我們可以得到有關(guān)“力的文化”整個領(lǐng)域及其邊緣的清晰圖景。

相對于早期的觀點,，20 世紀的現(xiàn)代物質(zhì)理論更精確,、更具多視角的特點。量子電動力學(xué)和量子色動力學(xué)的方程形成了一個封閉的邏輯體系：它們告訴你什么樣的物體會出現(xiàn),，同時能預(yù)先規(guī)范它們的行為,，它們支配著你的測量設(shè)備，和你本身,。因此,，它們定義了什么樣的物理問題可以被提出，并且為這些問題提供了答案,，或者至少是得到答案的算法（我深信量子電動力學(xué)加量子色動力學(xué)不是解釋自然界的完備的理論,，而且，實際上我們并不能很好地求解那些方程）,?；闹嚨氖牵鄬τ谠缙诘牟⒉荒敲赐晟频睦碚擉w系,，現(xiàn)代物理的建立包含較少的解釋和文化,。方程僅僅提供算法,，如此而已。

同現(xiàn)代基礎(chǔ)物理相比,，“力的文化”定義很模糊,、狹隘，而且是近似的,。不過,，由于一個決定性的優(yōu)勢，它在這場競賽中生存了下來，而且持續(xù)繁榮,，那就是它容易操作,。實際上我們不希望穿越廣闊的希爾伯特空間，歸一化消除紫外發(fā)散,，解析延拓歐氏空間里的格林函數(shù)，然后計算發(fā)現(xiàn)覆蓋了電子云的核子組成原子，再聚集起來構(gòu)成固體,，??而所有這些只是為了描述兩個彈子球的碰撞。這樣的做法簡直比直接用機器代碼在沒有操作系統(tǒng)幫助的情況下進行電腦繪圖更像精神病,。這個類比的意思是：力是一個相當(dāng)于高級語言的靈活創(chuàng)造,，它使我們從不相關(guān)的細節(jié)中解脫出來，讓我們相對不那么痛苦地專心于應(yīng)用,。

為什么我們能夠?qū)⒛切┪镔|(zhì)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜封裝起來而不顧,？那是因為物質(zhì)通常處于一種穩(wěn)定的內(nèi)狀態(tài)，具有很高的能量和熵的壁壘從而限制了能夠被激發(fā)的自由度,。我們可以將注意力轉(zhuǎn)向那些數(shù)目很少的有效自由度,，其他的不過是為演員提供的舞臺而已。

雖然力本身不出現(xiàn)在現(xiàn)代物理的基本方程中,，但這些方程顯然包含著能量和動量,，而力與這二者有著緊密的聯(lián)系。所以力的概念沒有遠離現(xiàn)代物理的基礎(chǔ),。不改變經(jīng)典力學(xué)的內(nèi)容,，我們可以將力放入拉格朗日力學(xué)的語境中，只是在其中它不再是一個基礎(chǔ)的量,。但這只是一個技巧問題,；更深一層的問題是：“ 力的文化”反映出哪些基本的東西？什么樣的近似導(dǎo)致了它的出現(xiàn),？

至于心理學(xué)上的問題——為什么從邏輯的角度,，能量能解釋力所能解釋的一切，甚至比力做得更好,，而力曾經(jīng)而且仍然被引入到力學(xué)的基礎(chǔ)中去,？動量的改變——相對于力——是顯而易見的,，而能量的改變通常不易被察覺，這當(dāng)然是一個主要的因素,。另外,，在靜力學(xué)中作為一個主動的參與者，當(dāng)我們舉起重物時,，可以明顯地感覺到自己在做某件事情,。力的概念就是從這種用力時的感官體驗中提取出來的。達朗貝爾提出的替代概念,，即對微小位移響應(yīng)所做的虛功,，很難與此產(chǎn)生聯(lián)系（具有諷刺意味的是，正是不斷做實了的虛功,，解釋了我們吃力的感覺,。當(dāng)我們穩(wěn)穩(wěn)地舉起一個重物時，作為對手臂發(fā)出信號的一種回應(yīng),，肌肉纖維叢收縮,；手臂感受到了微小的位移，并在這個位移增大之前作出補償）,。類似的理由也許可以解釋為什么牛頓用“力”的概念,。“力”持續(xù)被使用的原因很大一部分是由于精神上的慣性,。

之前我論述了那些關(guān)于力和質(zhì)量的假設(shè)是怎樣為公式 F=ma 的內(nèi)涵賦予實質(zhì)的。我將這一系列的假設(shè)稱為“力的文化”,。我提到,，盡管“力的文化”中的一些元素經(jīng)常被稱為“定律”，但是用近代物理的觀點來看卻顯得非常奇怪,。在此,，我將討論其中某些假設(shè)是在什么樣的情況下如何作為近代物理基本原理之必然推論出現(xiàn)的——或者根本就不是。

第零定律批判

具有諷刺意味的是,，“力的文化”中最原始的第零定律,，也即質(zhì)量守恒定律，同近代物理基本原理之間存在著非常微妙的關(guān)系,。

經(jīng)典力學(xué)中的質(zhì)量守恒是狹義相對論中能量守恒的一個結(jié)果嗎,？表面上，這個例子或許顯得很直白,。從狹義相對論我們知道,，物體的質(zhì)量等于靜能量除以光速的平方（E=mc^2）；對于緩慢移動的物體大約來說也是這樣。因為能量是一個守恒量,，于是這個方程似乎為“力的文化”中質(zhì)量這一角色提供了一個合適的候選者,，E/c^2。

但是,，這個想法經(jīng)受不住嚴格的推敲,。考慮到我們通常是怎樣處理基本粒子之間的反應(yīng)和衰變時,，它就明顯地表現(xiàn)出邏輯上的漏洞,。

為了測定可能的運動，我們必需確定所有進出粒子的質(zhì)量,。質(zhì)量是孤立粒子的內(nèi)稟性質(zhì),，也就是說，所有的質(zhì)子都具有相同的質(zhì)量,，而所有的電子又具有另一個相同的質(zhì)量,，等等。實際上,，這些粒子的能量和動量都是由眾所周知的公式給出，運動是由能量守恒和動量守恒來約束的,。認為進入某個運動狀態(tài)的質(zhì)量的總和與離開的質(zhì)量的總和相等基本上是不正確的,。

當(dāng)然，物體速度較小時,，質(zhì)量確實減少到大致等于 E/c^2 ,。于是，質(zhì)量不守恒的問題可以藏掖起來,，因為只有不易覺察的（細小而緩慢運動的）暫時變動才昭顯它的存在,。可問題是力學(xué)問題的研究注意力就放在那些暫時變動上,。也即我們還是利用能量守恒,，減去質(zhì)能項（或者，實際上忽略它）,，而只保留動能部分 E-mc^2≌1/2mv^2,。但是你不能問心無愧地從一條（相對論能量）守恒定律擠出兩條（質(zhì)量和非相對論能量）守恒定律來。將質(zhì)量守恒歸因于它與 E/c^2 近似地相等,，這需要解釋一個關(guān)鍵的問題：為什么在各種不同的情況下,，質(zhì)能被有效地禁閉，而不是變成能量的其他形式,？

為了具體地從數(shù)學(xué)上描述這個問題,，考慮核反應(yīng) 2H+3H→4He+n，這個反應(yīng)是實現(xiàn)可控核聚變的關(guān)鍵。氘加上氚的總質(zhì)量比 α 粒子加上質(zhì)子的總質(zhì)量多出 17.6 Mev,。假設(shè)氘和氚初始時刻處在靜止?fàn)顟B(tài),，那么, α 粒子和質(zhì)子分別具有 0.4c 以及 0.17c 的速度。

在氘氚反應(yīng)中,，質(zhì)量不嚴格守恒,，雖然粒子的運動速度并不接近光速，但仍然在此過程一開始就產(chǎn)生了（非相對論的）動能,。相對論的能量當(dāng)然守恒,，可盡管如此，卻不存在有效的方法將它分成各自守恒的兩部分,。在假想實驗中,，通過調(diào)整質(zhì)量，我們能夠使這個問題在任意低速的情況下出現(xiàn),。 另外一個實現(xiàn)緩慢運動的方法是讓釋放出的質(zhì)能分配到眾多物體中去,。

重建第零定律

狹義相對論允許質(zhì)量向能量轉(zhuǎn)化，從而原則上消滅了第零定律,，但為什么大自然在是否動用這個自由的問題上卻又左顧右盼,？而拉瓦錫在開辟近代化學(xué)的歷史性實驗中，又是怎樣強化這個實際上并不正確的中心原理（質(zhì)量守恒）的呢,？

為第零定律存在合理性的適當(dāng)辯護需要求助于一些有關(guān)物質(zhì)特定的,、深奧的事實，為了解釋為什么一般物質(zhì)的大部分能量都以質(zhì)量的形式被精確地鎖定,，我們首先需要了解一些有關(guān)原子核的基本性質(zhì),，因為幾乎所有的質(zhì)量存在于原子核中。原子核最重要的性質(zhì)是其穩(wěn)定性以及動力學(xué)隔離,。單個原子核的穩(wěn)定性是重子數(shù)守恒,、電荷守恒以及核力性質(zhì)的結(jié)果，因此造就一系列的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)的同位素,。原子核之間的物理距離及它們之間的靜電排斥（庫侖阻礙）確保了它們之間近似的動力學(xué)隔離,。原子核基態(tài)與激發(fā)態(tài)之間的巨大能隙就是有效地利用了這種近似的動力學(xué)隔離。因為原子核的內(nèi)能級不能作小的改變,，所以微擾下它就一點也不變化,。

由于絕大部分質(zhì)量也即一般物質(zhì)的能量都集中在原子核，原子核的獨立和完整——它們的穩(wěn)定性以及缺乏有效的內(nèi)部結(jié)構(gòu)——都為第零定律提供了合理性依據(jù),。但注意到,，要達到這一步，我們需要量子理論和核現(xiàn)象的某些特殊性,。在量子理論中才有能隙的概念,，是核力的某些特殊性才保證了基態(tài)之上的能隙是如此大。如果原子核個頭可以很大，而且像液滴或者氣體那樣幾乎不具有結(jié)構(gòu),，能隙就會變小,，質(zhì)能也不會如此完全地被禁閉。

放射性是破壞原子核完整性的一個例外,。 更一般地說,，在核物理與粒子物理研究中遇到的那些極端情況下，動力學(xué)隔離的假設(shè)也必須擯棄,。在那些場合,，質(zhì)量守恒完全失效。例如常見的衰變反應(yīng) π0→γγ 中,，大質(zhì)量的 π0 粒子衰變成零質(zhì)量的光子,。

單個電子的質(zhì)量如同它所帶的電荷一樣，是一個普適常量,。電子不具有內(nèi)部激發(fā),，電子數(shù)也守恒（如果我們忽略弱相互作用和電子對的產(chǎn)生的話）。這些事實都根植于量子場論,。它們一起確保了電子質(zhì)能的整體性,。

在將原子核和電子組裝而成一般物質(zhì)的過程中，靜電力起到了主要的作用,。我們從量子理論知道,，活躍的外層電子以 0.07c 數(shù)量級的速度運動。這表示量級上化學(xué)能量是電子質(zhì)能的 5x10^（-5）倍,，而電子質(zhì)能只是原子核質(zhì)能的一小部分。所以化學(xué)反應(yīng)只在十億分之幾的程度上改變質(zhì)能,，于是拉瓦錫質(zhì)量守恒定律成立,！

注意到重元素的內(nèi)殼層電子以 Zα 量級的速度運動，可能具有相對論效應(yīng),。但重原子的內(nèi)核（原子核加上內(nèi)殼層電子）一般保持了它的整體性,，歸因于它是空間分離的并且具有大的能隙。于是,，盡管原子內(nèi)核的質(zhì)能不是嚴格等于組成它的電子與原子核質(zhì)能的總和,，但它是守恒的。

綜合以上討論,，我們通過考察原子核,、電子和重原子的內(nèi)核的完整性以及這些“積木”的緩慢運動，從而確立了牛頓第零定律的合理性,，導(dǎo)致大能隙的量子理論為完整性提供了的基礎(chǔ),；而精細結(jié)構(gòu)常數(shù) α 為一小數(shù)值則保證了運動的緩慢。

牛頓將質(zhì)量定義為“物質(zhì)的量”，并且假設(shè)它守恒,。這種表述的內(nèi)涵是構(gòu)造物質(zhì)的過程僅表現(xiàn)為“積木”的重新排布,，不涉及關(guān)產(chǎn)生或消滅；同時,，物體的質(zhì)量是全體“積木”質(zhì)量的總和,。我們現(xiàn)在可以明白，何以從現(xiàn)代基本理論的觀點來看,，如果“ 積木”是原子核,、重的原子內(nèi)核和電子的話，前述這些假設(shè)依然構(gòu)成絕佳的近似,。

如果我們試著用更基本的“積木”（質(zhì)子和中子）代替原子核,，會發(fā)現(xiàn)質(zhì)量并不是嚴格可加的。如果我們再前進一步到夸克和膠子層次,，則發(fā)現(xiàn)原子核的質(zhì)量很大程度上來自純能量,。

質(zhì)量和重力

表面上，對經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)量的概念進行復(fù)雜而不精確的辯護形成了一個悖論：這個搖搖晃晃的結(jié)構(gòu)怎樣成功地支撐起極其精確而又成功的天體力學(xué)的預(yù)言的呢,？答案是,，它繞開了質(zhì)量的概念。天體力學(xué)中的力是引力,，并且與質(zhì)量成正比,，于是方程 F=ma 兩邊的 m 就可以消去。 從描述引力引起的運動的方程兩邊消去質(zhì)量是廣義相對論的基本原理,。在廣義相對論中,，路徑被視為彎曲時空中的測地線，而不涉及到質(zhì)量,。

不同于粒子對重力的響應(yīng),，粒子施加的引力只是近似正比于其自身的質(zhì)量；嚴格版本的愛因斯坦場方程將時空曲率與能量-動量密度聯(lián)系起來,。就重力而言,，還沒有能繞開能量的對物質(zhì)的量的測量；一般物質(zhì)的能量由質(zhì)能關(guān)系來支配是不切實際的,。

第三和第四定律

第三和第四定律分別是動量守恒和角動量守恒的近似說法,。在近代物理的基本原理中，這些偉大的守恒律反映了物理定律在平移和旋轉(zhuǎn)下的對稱性,。因為這些守恒律比通常用來“推導(dǎo)”出力的那些假設(shè)要精確和深刻得多,，則假設(shè)就真正成了“不合時宜”。我相信它們應(yīng)該帶著應(yīng)有的榮譽退出舞臺了,。

牛頓為他的第三定律這樣爭辯：具有未被平衡的內(nèi)力的系統(tǒng)會自發(fā)地開始加速,，然而“這一現(xiàn)象從未被觀察到”,。但這種辯解實際上是直接導(dǎo)出了動量守恒定律。 類似地,，可以從物體不會自發(fā)旋轉(zhuǎn)起來這一現(xiàn)象“ 推導(dǎo)”出角動量守恒,。當(dāng)然，純粹從教學(xué)的觀點,，可以指出作用-反作用系統(tǒng)以及二體中心力是滿足守恒律的簡單途徑,。

默認的簡單性

一些關(guān)于力這個簡單事實的默認假設(shè)在我們頭腦中已經(jīng)根深蒂固了，以至于我們很容易就認為它們是理所當(dāng)然的,。然而,，它們具有深奧的基礎(chǔ)。

在計算力的時候,，我們只將臨近的物體考慮在內(nèi),。為什么可以這樣？包含了狹義相對論和量子力學(xué)基本要求的量子場論之局域性原理給出了某點上能量和動量（當(dāng)然了,，也就是力）的只依賴于臨近該點的物體位置的表達式,。 甚至，所謂的長程電相互作用和引力（實際上 1/r^2 仍然隨著距離增大而迅速減?。┮膊贿^反映了耦合規(guī)范場及其協(xié)變導(dǎo)數(shù)局域的特殊性質(zhì),。

類似地，不存在相當(dāng)大的多體作用力與恰當(dāng)?shù)模芍卣模┝孔訄稣摬荒苤С炙鼈冞@一事實相聯(lián)系,。

如我們所見，力的概念定義了一種文化,。它既包含了在適當(dāng)條件下我們可以從近代物理基礎(chǔ)得到的近似,，也包含了從經(jīng)驗中抽象出的略嫌粗放的推廣（例如關(guān)于摩擦力和彈性行為的所謂的“定律”）。

上述討論過程也讓我們清楚地明白,，關(guān)于質(zhì)量 m 也存在著一個較小的但非平凡的文化,。確實，一般物質(zhì)的質(zhì)量守恒為物理定律的呈展提供了一個絕佳而又有啟發(fā)性的例子,。一句簡單的表述就抓住了大范圍規(guī)律性的要點，而此規(guī)律性的近代物理基礎(chǔ)是堅實的但也是復(fù)雜的,。 在近代物理中,，質(zhì)量守恒的想法是非常錯誤的。 

近代量子色動力學(xué)的一大成就就是用質(zhì)量嚴格為零的膠子和質(zhì)量非常小的 u 夸克,、d 夸克構(gòu)建了在一般物質(zhì)中占質(zhì)量99%的質(zhì)子和中子,。為了用近代的觀點來解釋為什么質(zhì)量守恒通常是一個正確的近似，我們需要用到量子色動力學(xué)和量子電動力學(xué)的特別的,、深層次的性質(zhì),，包括量子色動力學(xué)中大能隙的出現(xiàn)以及量子電動力學(xué)中精細結(jié)構(gòu)常數(shù)是一個小的數(shù)值,。

當(dāng)然，牛頓和拉瓦錫對所有的這一切一無所知,。他們將質(zhì)量守恒視為一個基本的原理,。不過，他們這樣做對了,。運用這一原理,，他們得以在分析運動和化學(xué)變化中取得了非凡的進步。盡管這一原理根本不成立,，可它是（而且一直都是）許多定量應(yīng)用的一個恰當(dāng)?shù)幕A(chǔ),。拋棄這一原理是不可想像的。它本身是一件無價的文化的產(chǎn)物,，而且,，盡管（實際上部分是因為）其呈展的特性，它還提供了我們對世界運轉(zhuǎn)方式的深刻認識,。

加速度的文化

那么關(guān)于加速度呢,？加速度也同樣被附上一種文化。 為了得到加速度,，我們被教導(dǎo)去考慮物體空間位置隨時間的變化,，去求二階微商。用現(xiàn)代的觀點來看,，這個“處方”存在著嚴重的問題,。

量子力學(xué)中，物體不具有確定的位置,；量子場論中,，粒子不停地產(chǎn)生和湮滅；而在量子引力中,，空間存在漲落而時間難以定義,。顯然，就算為了讓加速度的定義不太離譜也要引入問題多多的假設(shè)和近似,。

然而,，我們卻清楚地知道這些概念的適用范圍。關(guān)于物體我們將有一個呈展的,、近似的概念,。物理空間也會用承載歐氏幾何的歐氏三維空間 R3 加以模型化。 這一非常成功的空間模型早在歐氏幾何成型以前,，在測量以及民用工程上就被持續(xù)使用了上千年,。

時間由一維的連續(xù)實數(shù) R1 進行模擬。在拓撲學(xué)的層次上來講,，時間的這一模型進入了我們原始的直覺——直覺上我們將世界分成過去和將來,。我相信,，時間具有可度量的結(jié)構(gòu)，即時間不僅可以被排序,，而且也可以被分成具有確定大小的間隔,，是一個不太久遠的創(chuàng)意。這個想法只在伽利略運用鐘擺（以及他的脈搏）的時候才開始出現(xiàn),。

相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是如此為人熟知并且發(fā)展完善,，以至于它們可以（事實也是如此）在計算機程序中被常規(guī)地使用。但這絕不意味著它們是想當(dāng)然的,?！斑B續(xù)”的概念就讓古希臘人大為苦惱。 著名的芝諾悖論就反映了這樣的思想斗爭,。古希臘人對實數(shù)的代數(shù)處理從來沒有從心里感到舒服過,。連續(xù)量通常被表示為幾何上的間隔，即使這種表示方法意味著為實施簡單的代數(shù)操作須作笨拙的幾何構(gòu)造,。

近代數(shù)學(xué)分析的奠基人（笛卡爾,、牛頓、萊布尼茲,、歐拉等）大體上都不受這樣的思想約束,，他們處理缺乏嚴格定義的無窮小量時相信自己的直覺。在現(xiàn)今普通數(shù)學(xué)課程中講授的程度上之適當(dāng)嚴密性（意指被抱怨得很多的 ε 和 δ）,，19世紀已被引入該領(lǐng)域,。

20世紀，當(dāng)實數(shù)和幾何得以建立的基本概念上升到集合論以及最終的數(shù)理邏輯的層次上時,，“不適當(dāng)”的嚴密性也被引入了,。在《數(shù)學(xué)原理》中，羅素和懷特海德在證明 1+1=2 以前展開了長達375頁的密集的數(shù)學(xué)討論,。公平地說,，如果得到那樣一個結(jié)果是最終目的的話，他們的處理可以縮減很大一部分,。但無論如何,，從數(shù)理邏輯出發(fā)，對實數(shù)做出合適的定義需要做艱苦而復(fù)雜的工作,。有了整數(shù),，下一步就該考慮有理數(shù)以及它們的排序。然后要填補他們之間的空白,，使得任何有界的遞增數(shù)列都有一個極限，那樣才算完整地構(gòu)造了實數(shù),。 最終（ 這也是最困難的部分）,，你必須證明得到的系統(tǒng)能支撐代數(shù),，并且是自洽的。

也許這種復(fù)雜性暗示著時空的實數(shù)模型是一個呈展的概念,，某一天可以籍由邏輯上簡單的為物理而提出的本源性的東西將其推導(dǎo)出來,。同時，對實數(shù)構(gòu)造的詳細考察發(fā)現(xiàn)實數(shù)的一些自然變種,，著名的有康威的包括無窮小量（比任何有理數(shù)都?。┑某瑢崝?shù)，都可以看作合法的量,。 這些形式上的,、性質(zhì)與普通實數(shù)同樣自然和優(yōu)雅的量或許會幫助我們描述自然界？時間會給出答案,。

即使是數(shù)理邏輯的這種“不適當(dāng)?shù)膰烂苄浴币矝]有達到理想的嚴密程度,。哥德爾證明了理想的嚴密程度是不可能達到的，因為不存在適度復(fù)雜的,、自洽的公理系統(tǒng)可以用來證明它自身的自洽性,。

但是，對'加速度的文化”加以定義和合理化時所遇到的不易理解的缺陷與將“力的文化”合理化時遇到的相對平庸和顯而易見的困難顯然產(chǎn)生于不同的層次,。 加速度的文化可以不太失真地轉(zhuǎn)換成 C 語言或者 Fortran 語言,。這種翻譯的完整和精確給我們設(shè)定了一個鼓舞人心的基準(zhǔn)。

污點和焦點

這篇文章的主題是公式 F=ma,，一個有時被表示成可以描述自然界運算法則的縮影,，但實際上它并不是一個可以被機械（雙關(guān)語，故意的）套用的運算法則,，它更像是一門語言,，我們可以通過它輕松地表達關(guān)于世界的重要事實。然而,，這不是暗示它缺乏內(nèi)容,。它被賦予了內(nèi)容，首先,，通過這門語言中一些強有力的一般性陳述（例如第零定律,、動量守恒定律、萬有引力定律,、力與附近源之間的必要關(guān)聯(lián)）,，然后是通過唯象的觀察。后者包括許多（雖然不是所有）有關(guān)材料科學(xué)的定律,，都是用力的語言更容易表達的,。

另一主題是說 F=ma 不是任何意義上的最終真理。從近代基礎(chǔ)物理我們能理解,，它是如何在廣泛但卻有限的情況下是作為近似出現(xiàn)的,。同樣,，這并不妨礙它特別有用：它的一個主要優(yōu)點是使我們免于承受為了追求不相關(guān)的精確而帶來的不必要的麻煩。

這樣看來,，物理定律 F=ma 要比通常認為的那樣顯得柔性一點,。它與其他律條確實具有一系列的共同之處。例如法學(xué)和道德上的律條,，其中術(shù)語的意思都是在使用中逐漸成形的,。 在那些領(lǐng)域中，宣稱最終真理都會受到廣泛的質(zhì)疑,；可是雖然如此,，我們?nèi)匀环e極地力圖把“這些律條”的明白易懂和顯而易見推向極至。 客觀地說,，我們物理學(xué)中力的文化就具有相當(dāng)克制但實際上也野心勃勃的特點,。一旦它不再被視作僵死的塑像，給它安上腿,，將之隔開來看待,，它便成為一個對更一般意義上的求知者來說非常鼓舞人心的模型?！　?/p>