 幾何中，同學(xué)們最頭疼的就是做輔助線了,，今天收集了做輔助線的102條規(guī)律,，從此，再也不怕了,！ 如果平面上有n(n≥2)個(gè)點(diǎn),，其中任何三點(diǎn)都不在同一直線上，那么每?jī)牲c(diǎn)畫一條直線,，一共可以畫出n(n－1)條,。平面上的n條直線最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕個(gè)部分。如果一條直線上有n個(gè)點(diǎn),，那么在這個(gè)圖形中共有線段的條數(shù)為n(n－1)條,。線段（或延長(zhǎng)線）上任一點(diǎn)分線段為兩段，這兩條線段的中點(diǎn)的距離等于線段長(zhǎng)的一半,。有公共端點(diǎn)的n條射線所構(gòu)成的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一共有n(n－1)個(gè),。如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，則可構(gòu)成小于平角的角共有2n（n－1）個(gè),。如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過同一點(diǎn),，則可構(gòu)成n（n－1）對(duì)對(duì)頂角。平面上若有n（n≥3）個(gè)點(diǎn),，任意三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上,，過任意三點(diǎn)作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）個(gè)。互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角平分線所成的角的度數(shù)為90°,。平面上有n條直線相交,，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n(n－1)個(gè)。互為補(bǔ)角中較小角的余角等于這兩個(gè)互為補(bǔ)角的角的差的一半,。當(dāng)兩直線平行時(shí),，同位角的角平分線互相平行，內(nèi)錯(cuò)角的角平分線互相平行，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直,。成“8”字形的兩個(gè)三角形的一對(duì)內(nèi)角平分線相交所成的角等于另兩個(gè)內(nèi)角和的一半,。在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來,，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)造三角形,，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再利用三邊關(guān)系定理及不等式性質(zhì)證題,。注意：利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時(shí),，常通過引輔助線，把求證的量（或與求證有關(guān)的量）移到同一個(gè)或幾個(gè)三角形中去然后再證題,。三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線相交所成的銳角,，等于第三個(gè)內(nèi)角的一半。三角形的兩個(gè)內(nèi)角平分線相交所成的鈍角等于90o加上第三個(gè)內(nèi)角的一半,。三角形的兩個(gè)外角平分線相交所成的銳角等于90o減去第三個(gè)內(nèi)角的一半,。從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個(gè)角差（的絕對(duì)值）的一半,。注意：同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何時(shí),，可以把自己證完的題進(jìn)行適當(dāng)變換，從而使自己通過解一道題掌握一類題,，提高自己舉一反三,、靈活應(yīng)變的能力。在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時(shí),，如果直接證不出來,，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形,，使求證的大角在某個(gè)三角形外角的位置上,，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題,。有角平分線時(shí)常在角兩邊截取相等的線段,，構(gòu)造全等三角形。有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí),，常加倍延長(zhǎng)此線段構(gòu)造全等三角形,。在三角形中有中線時(shí),，常加倍延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形,。截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短法,。當(dāng)已知或求證中涉及到線段a,、b、c、d有下列情況之一時(shí)用此種方法：①觀察要證線段在哪兩個(gè)可能全等的三角形中,，然后證這兩個(gè)三角形全等,。②若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換,，再證它們所在的三角形全等,。③如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形,。在一個(gè)圖形中,，有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個(gè)角相等,。三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線所在的直線的距離相等,。條件不足時(shí)延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形。連接四邊形的對(duì)角線,，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題,。有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng),?？蓺w結(jié)為“角分垂等腰歸”。當(dāng)證題有困難時(shí),，可結(jié)合已知條件,，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來構(gòu)造全等三角形。當(dāng)證題缺少線段相等的條件時(shí),，可取某條線段中點(diǎn),，為證題提供條件。有角平分線時(shí),，常過角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線,，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證題。⑵有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線⑶將腰延長(zhǎng)一倍,，構(gòu)造直角三角形解題⑷常過一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線⑹常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形------等邊三角形⑴構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角有垂直平分線時(shí)常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連結(jié)起來,。有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線,。當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時(shí)常構(gòu)造直角三角形,，利用勾股定理證題。條件中出現(xiàn)特殊角時(shí)常作高把特殊角放在直角三角形中,。平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長(zhǎng)的一半,。平行四邊形被對(duì)角線分成四個(gè)小三角形,，相鄰兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差等于鄰邊之差。有平行線時(shí)常作平行線構(gòu)造平行四邊形,。有以平行四邊形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)常延長(zhǎng)此線段,。平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)到一組對(duì)邊距離相等。平行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一點(diǎn)與對(duì)邊的兩個(gè)端點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半,。平行四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的四個(gè)三角形中,，不相鄰的兩個(gè)三角形的面積之和等于平行四邊形面積的一半。
任意一點(diǎn)與同一平面內(nèi)的矩形各點(diǎn)的連線中,，不相鄰的兩條線段的平方和相等,。
平行四邊形四個(gè)內(nèi)角平分線所圍成的四邊形為矩形。有垂直時(shí)可作垂線構(gòu)造矩形或平行線,。⑵作斜邊中線,，當(dāng)有下列情況時(shí)常作斜邊中線：正方形一條對(duì)角線上一點(diǎn)到另一條對(duì)角線上的兩端距離相等,。有正方形一邊中點(diǎn)時(shí)常取另一邊中點(diǎn),。 旋轉(zhuǎn)變換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時(shí)，可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方法,。 旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來,，從而為證題創(chuàng)造必要的條件,。 旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中,。有以正方形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí),，常把這條線段延長(zhǎng)，構(gòu)造全等三角形,。從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線,，把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形。
從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線,，把梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)矩形和兩個(gè)三角形,。從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形,。延長(zhǎng)梯形兩腰使它們交于一點(diǎn),，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形。有梯形一腰中點(diǎn)時(shí),，常過此中點(diǎn)作另一腰的平行線,，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。有梯形一腰中點(diǎn)時(shí),，也常把一底的端點(diǎn)與中點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)與另一底的延長(zhǎng)線相交,，把梯形轉(zhuǎn)換成三角形。梯形有底的中點(diǎn)時(shí),，常過中點(diǎn)做兩腰的平行線,。任意四邊形的對(duì)角線互相垂直時(shí)，它們的面積都等于對(duì)角線乘積的一半,。有線段中點(diǎn)時(shí),，常過中點(diǎn)作平行線，利用平行線等分線段定理的推論證題,。連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為平行四邊形,。連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形中點(diǎn)所得的四邊形為菱形,。連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為矩形。連結(jié)對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為正方形,。連結(jié)平行四邊形,、矩形、菱形,、正方形,、等腰梯形各邊中點(diǎn)所得的四邊形分別為平行四邊形、菱形,、矩形,、正方形、菱形,。等腰梯形的對(duì)角線互相垂直時(shí),，梯形的高等于兩底和的一半（或中位線的長(zhǎng)）。等腰梯形的對(duì)角線與底構(gòu)成的兩個(gè)三角形為等腰三角形,。如果矩形對(duì)角線相交所成的鈍角為120o,，則矩形較短邊是對(duì)角線長(zhǎng)的一半。梯形的面積等于一腰的中點(diǎn)到另一腰的距離與另一腰的乘積,。若菱形有一內(nèi)角為120°,，則菱形的周長(zhǎng)是較短對(duì)角線長(zhǎng)的4倍。當(dāng)圖形中有叉線（基本圖形如下）時(shí),，常作平行線,。有中線時(shí)延長(zhǎng)中線（有時(shí)也可在中線上截取線段）構(gòu)造平行四邊形。當(dāng)已知或求證中,，涉及到以下情況時(shí),，常構(gòu)造直角三角形。⑴有特殊角時(shí),，如有30°,、45°,、60°、120°,、135°角時(shí).⑵涉及有關(guān)銳角三角函數(shù)值時(shí).構(gòu)造直角三角形經(jīng)常通過作垂線來實(shí)現(xiàn).0°,、30°、45°,、60°,、90°角的三角函數(shù)值表。另外：0°,、30°,、45°、60°,、90°的正弦,、余弦、正切值也可用下面的口訣來記憶：0°可記為北京電話區(qū)號(hào)不存在,，即：010不存在,，90°正好相反其中余切值可利用正切與余切互為倒數(shù)求得,。（1）.平方關(guān)系： sin2α+cos2α=1（2）.倒數(shù)關(guān)系：tanα·cotα=1任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值,；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。任意銳角的正切值等于它的余角的余切值,；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值,。三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角正弦之積的一半。等腰直角三角形斜邊的長(zhǎng)等于直角邊的√2倍,。在含有30°角的直角三角形中,，60o角所對(duì)的直角邊是30°角所對(duì)的直角邊的√3倍。（即30°角所對(duì)的直角邊是幾,，另一條直角邊就是幾倍√3,。）直角三角形中,，如果較長(zhǎng)直角邊是較短直角邊的2倍，則斜邊是較短直角邊的√5倍,。圓中解決有關(guān)弦的問題時(shí),，常常需要作出圓心到弦的垂線段（即弦心距）這一輔助線，一是利用垂徑定理得到平分弦的條件,，二是構(gòu)造直角三角形,，利用勾股定理解題,。有等弧或證弧等時(shí)常連等弧所對(duì)的弦或作等弧所對(duì)的圓心角,。有弧中點(diǎn)（或證明是弧中點(diǎn)）時(shí),，常有以下幾種引輔助線的方法：圓內(nèi)角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧與它對(duì)頂角所對(duì)的弧的度數(shù)之和的一半。圓外角的度數(shù)等于它所截兩條弧的度數(shù)之差的一半,。有直徑時(shí)常作直徑所對(duì)的圓周角,，再利用直徑所對(duì)的圓周角為直角證題。有垂直弦時(shí)也常作直徑所對(duì)的圓周角,。有弦中點(diǎn)時(shí),，常構(gòu)造三角形中位線。圓上有四點(diǎn)時(shí),，常構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形,。兩圓相交時(shí)，常連結(jié)兩圓的公共弦,。在證明直線和圓相切時(shí),，常有以下兩種引輔助線方法：⑴當(dāng)已知直線經(jīng)過圓上的一點(diǎn)，那么連結(jié)這點(diǎn)和圓心,，得到輔助半徑,，再證明所作半徑與這條直線垂直即可。⑵如果不知直線與圓是否有交點(diǎn)時(shí),，那么過圓心作直線的垂線段,，再證明垂線段的長(zhǎng)度等于半徑的長(zhǎng)即可。當(dāng)已知條件中有切線時(shí),，常作過切點(diǎn)的半徑,，利用切線的性質(zhì)定理證題。 |
