知識(shí)點(diǎn)睛

1.一元二次方程根的判別式的定義：

運(yùn)用配方法解一元二次方程過程中得到 ,，顯然只有當(dāng)時(shí),，才能直接開平方得：．

也就是說，一元二次方程只有當(dāng)系數(shù)a,、b,、c滿足條件時(shí)才有實(shí)數(shù)根．這里叫做一元二次方程根的判別式．

2.判別式與根的關(guān)系：

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根由其系數(shù)a,、b,、c確定,，它的根的情況(是否有實(shí)數(shù)根)由確定．

判別式：設(shè)一元二次方程為，其根的判別式為：則

①方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

③方程沒有實(shí)數(shù)根．

若a,、b,、c 為有理數(shù)，且Δ為完全平方式,，則方程的解為有理根,；若Δ為完全平方式，同時(shí)是2a的整數(shù)倍,，則方程的根為整數(shù)根．

(1)用判別式去判定方程的根時(shí),，要先求出判別式的值:上述判定方法也可以反過來使用，當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí),，Δ>0;有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí),，Δ=0;沒有實(shí)數(shù)根時(shí)，Δ<0.

(2)在解一元二次方程時(shí),，一般情況下,，首先要運(yùn)用根的判別式判定方程的根的情況(有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,，無實(shí)數(shù)根)．當(dāng)=0時(shí),，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(二重根)，不能說方程只有一個(gè)根．

①  當(dāng)a>0時(shí),，拋物線開口向上,，頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

②  當(dāng)a<0時(shí),，拋物線開口向下,，頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)．

3.一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用：

一元二次方程的根的判別式在以下方面有著廣泛的應(yīng)用：

（1）運(yùn)用判別式，判定方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù),；   

（2）利用判別式建立等式,、不等式，求方程中參數(shù)值或取值范圍,；

（3）通過判別式,，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題；

（4）借助判別式,，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型,，解幾何存在性問題，最值問題．

如果一元二次方程的兩根為

那么,，就有

比較等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù),，得

①式與②式也可以運(yùn)用求根公式得到．人們把公式①與②稱之為韋達(dá)定理，即根與系數(shù)的關(guān)系．

因此，給定一元二次方程就一定有①與②式成立．反過來,，如果有兩數(shù)滿足①與②,，那么這兩數(shù)必是一個(gè)一元二次方程的根．利用這一基本知識(shí)常可以簡捷地處理問題．

利用根與系數(shù)的關(guān)系,，我們可以不求方程的根,，而知其根的正、負(fù)性．

在的條件下,，我們有如下結(jié)論：

當(dāng)時(shí),，方程的兩根必一正一負(fù)．若，則此方程的正根不小于負(fù)根的絕對(duì)值,；若，則此方程的正根小于負(fù)根的絕對(duì)值．

當(dāng)時(shí),，方程的兩根同正或同負(fù)．若,，則此方程的兩根均為正根；若,，則此方程的兩根均為負(fù)根．

⑸ 韋達(dá)定理主要應(yīng)用于以下幾個(gè)方面：

①       已知方程的一個(gè)根,，求另一個(gè)根以及確定方程參數(shù)的值；

②       已知方程,，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值,；

③       已知方程的兩根，求作方程,；

④       結(jié)合根的判別式,，討論根的符號(hào)特征；

⑤       逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時(shí),，就可以把某兩個(gè)變元看作某個(gè)一元二次方程的兩根,，以便利用韋達(dá)定理；

⑤ 利用韋達(dá)定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后,，一定要驗(yàn)證方程的Δ．一些考試中,，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱．