筆者近日受邀在一個(gè)輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)代課,授課面向的對(duì)象是八年級(jí)學(xué)生.由于這批學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱(從機(jī)構(gòu)上課第一天的模擬考試可見這一結(jié)論),因此輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)負(fù)責(zé)人與筆者商議先為這些學(xué)生補(bǔ)習(xí)八年級(jí)課程內(nèi)容.從他們所使用的教材來(lái)看,八年級(jí)下冊(cè)所學(xué)習(xí)的課程內(nèi)容有：

• 二次根式;
• 一元二次方程;
• 勾股定理;
• 四邊形;
• 數(shù)據(jù)的初步分析.

筆者原本打算按部就班先從二次根式開始教學(xué),然而當(dāng)看到學(xué)生的模擬卷第一題做題情況后便改變了自己的計(jì)劃.第一題題干是:

一元二次方程的兩個(gè)根是(   ).

有不少同學(xué)這道簡(jiǎn)單的題目都做錯(cuò)了,因此筆者非常不淡定地將課程計(jì)劃修改為:先教授一元二次方程的解法.如果簡(jiǎn)單的方程都不會(huì)解,那還怎么學(xué)習(xí)二次函數(shù)以及高中數(shù)學(xué)?

筆者在課堂中極盡所能地將一元二次方程的基本知識(shí)點(diǎn)講解清楚,為學(xué)生概括了以下一些基本知識(shí)和口訣:

之所以要用口訣進(jìn)行教學(xué),是因?yàn)榻^大多數(shù)授課學(xué)生的基礎(chǔ)水平不容樂觀.很多看起來(lái)很簡(jiǎn)單的概念和結(jié)論,在他們看來(lái)也是十分復(fù)雜和晦澀的.值得一提的是,筆者在教學(xué)的過(guò)程中考慮到不同學(xué)生的水平參差不齊,為了能夠照顧到不同學(xué)生的實(shí)際需求,在具體開展教學(xué)時(shí)額外講解了補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn).目的之一也是為了開闊他們的眼界.以下是筆者的一些教學(xué)補(bǔ)充要點(diǎn).

一,、與虛數(shù)單位

我們知道對(duì)于一個(gè)一元二次方程

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例1：一元二次方程的兩個(gè)根為,其中滿足.

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八年級(jí)的學(xué)生頭腦中認(rèn)定一個(gè)數(shù)的平方一定是非負(fù)數(shù),怎么可能出現(xiàn)復(fù)數(shù)呢?對(duì)此,筆者解釋到：在中學(xué)階段接觸到的數(shù)都是實(shí)數(shù),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)那么一個(gè)數(shù)的平方自然是非負(fù)的.倘若我們像有理數(shù)擴(kuò)大到實(shí)數(shù)那樣對(duì)實(shí)數(shù)再進(jìn)行擴(kuò)充,則結(jié)果自然是不一樣的.對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù)來(lái)說(shuō),它的平方有可能為.

當(dāng)然學(xué)生只是簡(jiǎn)單知道了這一結(jié)論,筆者也并不打算深入講解,只是點(diǎn)到為止并且勸告學(xué)生在答題時(shí)還是要寫"時(shí),則該方程沒有實(shí)數(shù)根"這一亙古不變的結(jié)果.其實(shí),從后面的課堂中,筆者可以感覺出部分成績(jī)不錯(cuò)的同學(xué)已經(jīng)慢慢接受了這一"新穎"結(jié)論.

二.完全平方公式與完全立方公式,、平方差公式與立方差(和)公式

一元二次方程中十分重要的方法就是配方法.可以說(shuō),配方技巧已經(jīng)是一元二次方程求解的核心.無(wú)獨(dú)有偶,在高等代數(shù)的二次型理論里,我們也是將一個(gè)一般二次型通過(guò)配方的方式化為標(biāo)準(zhǔn)二次型.讀者如果細(xì)心地對(duì)比一下,不難發(fā)現(xiàn)二者的共通之處.值得注意的是,一元二次方程中的配方法有賴于完全平方公式,因此學(xué)生必須對(duì)完全平方公式非常熟悉才行.讓人感到意外的是,中學(xué)教學(xué)里幾乎很少介紹完全立方公式和立方和(差)公式,特別是后者更是很少涉及.

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例2:（完全立方公式）

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例3: (立方和公式)

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在寫出完全立方公式(“+”的情形)和立方和公式后,筆者引導(dǎo)他們推出另一個(gè)完全立方公式和立方差公式.其實(shí)這里只需要將替換即可,而不需要再次計(jì)算以得出結(jié)果.對(duì)此,學(xué)生給出的反應(yīng)是:

Figure1:小哥的表情包

三.推廣的韋達(dá)定理

我們知道一元二次方程的韋達(dá)定理是:

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韋達(dá)定理:若一元二次方程的兩個(gè)根分別為,則有

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關(guān)于這個(gè)定理,筆者在課堂上為他們展示了一下推導(dǎo)過(guò)程,其實(shí)也就是用到了一個(gè)平方差公式.除此之外,，筆者也跟他們說(shuō)了:一元二次方程的韋達(dá)定理可以推廣到一元次方程,只不過(guò)是大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)生才會(huì)學(xué)習(xí)到的內(nèi)容.或許是擔(dān)心學(xué)生以為我騙他們,所以筆者下午帶了下面這一本書給他們看:

Figure2:陳躍,、裴玉峰《高等代數(shù)與解析幾何》上冊(cè)

在這本書上冊(cè)的第四章（多項(xiàng)式）4.6小節(jié)里詳細(xì)地闡述了這一結(jié)果,作者先以三次方程的根與系數(shù)的關(guān)系入手,然后再細(xì)致地引出次代數(shù)的根與系數(shù)的關(guān)系,即所謂的推廣的韋達(dá)定理（詳細(xì)結(jié)果可以參考高等代數(shù)教材）.

Figure3: 4.6節(jié)三次多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系

中學(xué)階段比較難以解釋的一個(gè)結(jié)果是:為何一個(gè)沒有實(shí)數(shù)根的一元二次方程,按照韋達(dá)定理可以寫出與系數(shù)之間的表達(dá)式?為了能夠解答學(xué)生這方面的疑惑,筆者再次強(qiáng)調(diào)了若判別式小于0則兩個(gè)根是復(fù)數(shù)根這一事實(shí).用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述即為:

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若,則,同樣有

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關(guān)于這一問題,有一位同學(xué)在課堂上反應(yīng)了過(guò)來(lái),筆者認(rèn)為這樣的適當(dāng)補(bǔ)充是有效果的.當(dāng)然,教學(xué)處理中要適可而止.

其實(shí)高等代數(shù)中的一元多項(xiàng)式理論可以下放到高中去教,，如果我們對(duì)數(shù)域的要求不是那么高的話,。一方面，多項(xiàng)式理論與初等數(shù)論聯(lián)系比較密切,，而中學(xué)階段數(shù)論知識(shí)是作為競(jìng)賽方式來(lái)考查的,；另一方面,，如果一個(gè)學(xué)生對(duì)一元二次方程感興趣的話，那么只要作適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)可以讓學(xué)生較為輕松地接受一元高次方程的相關(guān)結(jié)果,，比如著名的代數(shù)學(xué)基本定理等結(jié)論,。學(xué)生未必要了解具體的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，他們可能更關(guān)心這個(gè)結(jié)果的淺層含義,。如果授課者能夠以較為通俗易懂的例子普及大學(xué)數(shù)學(xué)課程的一些知識(shí),，想來(lái)對(duì)引導(dǎo)他們學(xué)習(xí)高深數(shù)學(xué)非常有益。