重排求差中4位黑洞數(shù)的證明及相關(guān)問(wèn)題剖析

鄔金華

自原蘇聯(lián)人卡普耶卡提出4位數(shù)反復(fù)重排求差會(huì)得到黑洞數(shù)6174至今,，這種看似簡(jiǎn)單的數(shù)字游戲隱含的數(shù)學(xué)道理已逐漸引起越來(lái)越多的人的興趣，并很快被推演到更多位的情形,。網(wǎng)上有消息稱,，該問(wèn)題已被“印度學(xué)者”和臺(tái)灣中學(xué)生李光宇各自解決，大陸人王景之稍后也在網(wǎng)上公布了他的研究結(jié)論,，但是,，在可以搜索到的材料中卻一直沒(méi)有見(jiàn)到有關(guān)的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，而且,，臺(tái)灣李光宇和大陸王景之的結(jié)論也不完全一致,。為彌補(bǔ)這些缺憾，這里先介紹幾種對(duì)經(jīng)典4位黑洞數(shù)的證明方法和相關(guān)結(jié)論,，隨后再陸續(xù)公布對(duì)其它位數(shù)的研究結(jié)果,。

一、操作過(guò)程中的差數(shù)

在反復(fù)重排求差的演算過(guò)程中,，除首次演算時(shí)的被減數(shù)是某個(gè)任意4位數(shù)（但4個(gè)數(shù)字不全相同）以外,，以后操作的被減數(shù)都是上一次差數(shù)的重排，就是說(shuō),，以后的操作都是在差數(shù)基礎(chǔ)上進(jìn)行的,，而且黑洞數(shù)本身也是一個(gè)差數(shù)，只是較為特殊罷了,。為了揭示一般差數(shù)的特點(diǎn),，這里將重排求差時(shí)的最大數(shù)用大寫(xiě)字母ABCD的形式寫(xiě)出（最小數(shù)隨之而定），差數(shù)用小寫(xiě)字母mnpk的形式寫(xiě)出,。按最大數(shù)中間二位數(shù)字是否相同,，可將最大數(shù)和相應(yīng)得到的差數(shù)分為兩種類型。

類型1：最大數(shù)中間二位數(shù)字不同,，即A≥B＞C≥D，稱無(wú)核類型（0核類型）,，或普通類型,。

將相減操作寫(xiě)成豎式，可以得到被減數(shù)、減數(shù)和差數(shù)各構(gòu)成數(shù)字之間的基本關(guān)系式：
很明顯,，所有差數(shù)的共同特點(diǎn)是：首尾二數(shù)字之和必為10,，中間二數(shù)字之和必為8，首位數(shù)大于二位數(shù),。這樣,，能作為差數(shù)出現(xiàn)的數(shù)并不多，這里將它們從小到大全部羅列如下,，共1+2+3+……+9=45個(gè)：

           1089 

           2085  2178 

           3087  3177  3267 

           4086  4176  4266  4356 

           5085  5175  5265  5355  5445

           6084  6174  6264  6354  6444  6534

           7083  7173  7263  7353  7443  7533  7623

           8082  8172  8262  8352  8442  8532  8622  8712

           9081  9171  9261  9351  9441  9531  9621  9711  9801

類型2：最大數(shù)中間二位數(shù)字相同,，即A≥B=C≥D（不能同時(shí)都取等號(hào)），稱有核類型,。同樣寫(xiě)成豎式,，可得被減數(shù)、減數(shù)和差數(shù)各構(gòu)成數(shù)字之間的基本關(guān)系式為：

此時(shí)差數(shù)的首尾二數(shù)字之和必為9,，但首位數(shù)字不能為9,，中間二數(shù)字永遠(yuǎn)是99。這類差數(shù)只有9個(gè),，它們是

0999  1998  2997  3996  4995  5994  6993  7992  8991 

綜合兩種類型,，在4位數(shù)中，能作為差數(shù)出現(xiàn)的數(shù)共有54個(gè),，他們就是研究4位黑洞數(shù)的根本出發(fā)點(diǎn),。

二、黑洞數(shù)6174的獲得和證明

按黑洞數(shù)的定義,，如果將黑洞數(shù)本身也重排求差,，那么差數(shù)的構(gòu)成數(shù)字就應(yīng)該與黑洞數(shù)的構(gòu)成數(shù)字相同，這樣,，就可以有3種不同的方法獲得和證明黑洞數(shù)6174,。

獲得和證明1——順推

對(duì)上述54個(gè)差數(shù)逐一重排求差，如果差數(shù)的構(gòu)成數(shù)字與被減數(shù)的構(gòu)成數(shù)字相同（排列次序可以不同）,，那么該差數(shù)就一定是黑洞數(shù),；如果不存在這樣的差數(shù)，就沒(méi)有單一的黑洞數(shù),。實(shí)際上,，在54個(gè)差數(shù)中，大多數(shù)差數(shù)都可以找到與自己構(gòu)成數(shù)字完全相同的“同伴”,，如1089,、9081、9801等等,，它們都是交換了m,、k或n,、p位置的結(jié)果，它們重排求差時(shí)的最大數(shù)都是一樣的,，故可將它們歸并為一組,，稱等效差數(shù)數(shù)組，簡(jiǎn)稱等效數(shù)組,。因?yàn)橛邢薅l件（m>n或m<9）,，同一數(shù)組中包含的差數(shù)的個(gè)數(shù)可以是1個(gè)、2個(gè),、3個(gè)……,，最多可有比位數(shù)少1個(gè)，這里不妨將他們分別稱為一元數(shù)組,、二元數(shù)組,、三元數(shù)組等等。這里是4位數(shù),，最多可包含3個(gè)差數(shù),，故可歸并出一元數(shù)組、二元數(shù)組和三元數(shù)組,，共29組,。這樣，只需針對(duì)這29組差數(shù)重排求差就可以證明有無(wú)黑洞數(shù)了,。結(jié)果,，只有數(shù)組4176-6174重排求差得6174，其構(gòu)成數(shù)字與最大數(shù)7641相同,，所以6174就是黑洞數(shù),，而且是唯一的。

這里介紹一個(gè)求差小竅門(mén),，可以很快得到對(duì)某數(shù)重排求差結(jié)果：某數(shù)如為類型1的數(shù),，其中最大和最小兩數(shù)字之差即為差數(shù)的首位數(shù)，剩下兩數(shù)之差再減1就是差數(shù)的二位數(shù),，差數(shù)的第3位和第4位只需使其與首二位數(shù)之和分別為8和10就行了,。如對(duì)4176或1089重排求差，看下圖：

如某數(shù)是類型2的數(shù),，可用某數(shù)中的最大數(shù)減最小數(shù)再減1作為差數(shù)的首位數(shù),，差數(shù)的中間二數(shù)永遠(yuǎn)是“ 99”，差數(shù)的末位數(shù)與首位數(shù)之和為9,?？聪聢D：
    獲得和證明2——解方程

在前述類型1的基本關(guān)系式中，如果最大數(shù)ABCD是由黑洞數(shù)重排得到,，那么差數(shù)mnpk應(yīng)該仍是黑洞數(shù),，它的4個(gè)構(gòu)成數(shù)字就應(yīng)該與A,、B、C,、D分別相同，這樣的可能共有4,！=24種,，但考慮到k≠D，n≠A,，p≠C，還有12種，將它們分別代入到基本關(guān)系式中就可得到12個(gè)四元一次方程組,，分別求解（看似麻煩,，其實(shí)很簡(jiǎn)單，因?yàn)槲粗獢?shù)系數(shù)都是1,且都是1位數(shù)）,，結(jié)果發(fā)現(xiàn),，只有m、n,、p,、k順序等于B、D,、A,、C時(shí)，方程組才有合乎條件（A≥B＞C≥D,，且都是1位正整數(shù)）的解,，解得A=7，B=6,，C=4,，D=1，或m=6,，n=1,，p=7，k=4,。

對(duì)類型2的數(shù)可用相同方法處理,，但簡(jiǎn)單分析就知無(wú)解。故6174是唯一的黑洞數(shù),。

獲得和證明3——逆推

這在下面的敘述中將被提到,。

三、逆推

所謂逆推,，就是指求差的逆運(yùn)算,，即由差數(shù)mnpk反推求差時(shí)的最大數(shù)ABCD,。

在類型1中，當(dāng)mnpk已知時(shí),，將m,、n、p,、k分別代入到基本關(guān)系式中,，可得4個(gè)等式，好像還是解四元一次方程組的問(wèn)題,，但因?yàn)橐阎?/span>mnpk本身就有m+k=10,，n+p=8的關(guān)系，故4個(gè)等式中只有2個(gè)是有效的,，所以這時(shí)的四元一次方程組就成了不定方程,；另一方面，ABCD還需滿足A≥B＞C≥D,，故方程組只有有限個(gè)解,。類型2的情形與此類似，因?yàn)橐阎?/span>m,、k已經(jīng)滿足m+k=9,，故2個(gè)等式中只有1個(gè)是有效的，而ABBD也要滿足A≥B≥D（不同時(shí)取等號(hào)）,，所以方程組也只有有限個(gè)解,。解這2類不定方程組，可分別得到它們的逆推求解公式,。

1,、類型1的逆推求解公式

當(dāng)4位數(shù)mnpk滿足條件m>n，m+k=10,，n+p=8時(shí),，可用以下公式逆推求ABCD：
α、β的取值法則是先使α從0開(kāi)始一直取到9-m時(shí)為止（A和D由此而定）,，在同一α條件下β可能可取多個(gè)值,，即從α一直取到α+m-n-1時(shí)為止。以黑洞數(shù)6174為例,，此時(shí)m=6,，n=1，為清楚起見(jiàn),，可將α,、β的取值和相應(yīng)得到的ABCD列成式子和數(shù)表：
將ABCD寫(xiě)成正規(guī)數(shù)的形式就是

6200  6310  6420  6530  6640  7311  7421  7531  7641  7751

8422  8532  8642  8752  8862  9533  9643  9753  9863  9973

共有20個(gè)解，將它們重排求差一次就可得到黑洞數(shù),，這里稱它們?yōu)?/span>1步數(shù),。順便指出,，在類型1中逆推ABCD可有（10-m）（m-n）個(gè)解（最多可有25個(gè)解）。但這并不是說(shuō)只有這20個(gè)數(shù)才是1步數(shù),。實(shí)際上,，凡是與這20個(gè)數(shù)中任何一個(gè)數(shù)的構(gòu)成數(shù)字相同的一般4位數(shù)，都是1步數(shù),。以6200為例,，與之構(gòu)成數(shù)字相同的6020、2060,、2600、0262,、0062等等也都是1步數(shù),，因?yàn)樵谥嘏徘蟛顣r(shí)，它們的最大數(shù)都是6200,?？梢?jiàn)，每個(gè)最大數(shù)實(shí)際代表的都是一個(gè)等效數(shù)組,。用排列組合法可以計(jì)算出這些等效數(shù)組一共包含了多少個(gè)一般的1步數(shù),。當(dāng)構(gòu)成數(shù)字均不相同時(shí)，4個(gè)數(shù)字可組成24個(gè)不同的4位數(shù),；當(dāng)構(gòu)成數(shù)字只有2個(gè)相同時(shí),，則可組成12個(gè)不同的4位數(shù)；如果構(gòu)成數(shù)字兩兩相同,，則可組成6個(gè)不同的4位數(shù),；如果構(gòu)成數(shù)字有3個(gè)都相同，則可組成4個(gè)不同的4位數(shù),。據(jù)此計(jì)算,， 1步數(shù)共有384個(gè)，顯然,，它們是各不相同的,。

如果用其它差數(shù)逆推可以發(fā)現(xiàn)只有由6174逆推時(shí)才有與它構(gòu)成數(shù)字相同的最大數(shù)7641，所以只有唯一的6174才是黑洞數(shù),，這就是獲得和證明黑洞數(shù)的第三種方法,，顯然此法比較麻煩。但逆推的最初用意并不在此,。

2,、類型2的逆推求解公式

    當(dāng)4位數(shù)mnpk滿足條件m+k=9，m<9,，n=p=9,，時(shí)可用以下公式逆推求ABBD：
α,、β的取值法則與類型1相似，也是先使α從0開(kāi)始一直取到8-m（A和D由此而定）,，在同一α條件下,，β大多可取多個(gè)值，即從α一直取到α+m+1時(shí)為止,。以mnpk=1998為例,，此時(shí)m=1，寫(xiě)成式子和數(shù)表就是：
將各數(shù)寫(xiě)成正規(guī)數(shù)的形式就是

2000  2110  2220  3111  3221  3331  4222  4332  4442  5333  5443  5553

6444  6554  6664  7555  7665  7775  8666  8776  8886  9997  9887  9997

共有24個(gè)解,。一般地,，此類型共有（9-m）（m+2）個(gè)解（最多可有30個(gè)解）。同樣,，這24個(gè)數(shù)都是最大數(shù)形式,，它們中的每個(gè)數(shù)實(shí)際都代表了一個(gè)等效數(shù)組。

四,、步數(shù)

從任意一個(gè)4位數(shù)開(kāi)始反復(fù)作重排求差操作,，最后可得黑洞數(shù)，其間操作的次數(shù)就是步數(shù),。這里將經(jīng)過(guò)1次,、2次、3次……操作可得黑洞數(shù)的數(shù)分別稱為1步數(shù),、2步數(shù),、3步數(shù)等等。上面用黑洞數(shù)6174逆推得到的20個(gè)等效數(shù)組或384個(gè)一般4位數(shù),，只經(jīng)過(guò)1次操作就得到黑洞數(shù),，故為1步數(shù)，它們距黑洞數(shù)最近,，僅一步之遙,。實(shí)踐中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，距黑洞數(shù)最遠(yuǎn)的是7步數(shù)（下面將給予證明）,，它們要經(jīng)過(guò)7次操作才能到達(dá)黑洞數(shù),。黑洞數(shù)本身不經(jīng)過(guò)操作就是黑洞數(shù)，操作任意次得到的仍然是黑洞數(shù),，故黑洞數(shù)本身可以是任意步數(shù)的數(shù),。

其它步數(shù)的數(shù)都可用逆推法求得。如果將1步數(shù)作為差數(shù)mnpk逆推,，所得最大數(shù)就應(yīng)該是2步數(shù)了,。但是，并非所有1步數(shù)都能作為差數(shù)，它必須滿足m+k=10,、n+p=8,、m>n或者m+k=9、m<9的條件,，因而需要在1步數(shù)中去尋找,。當(dāng)然也不必將所有384個(gè)1步數(shù)都羅列出來(lái)，只需觀察20個(gè)最大數(shù),，看看有哪些數(shù)直接滿足條件,，或者打散重排后能滿足條件就行了。結(jié)果發(fā)現(xiàn),，8532,、8352和4176能滿足條件（黑洞數(shù)6174除外），分別用它們逆推,，就可得2步數(shù),。用同樣的方法，在2步數(shù)中找出能符合差數(shù)條件的數(shù)逆推,，就可得3步數(shù)……如此逆推下去將可得所有步數(shù)的數(shù)，這就是提出逆推法的根本用意,。最后發(fā)現(xiàn),，逆推了7次后，所有53個(gè)可能的差數(shù)（除黑洞數(shù)6174外）已被用盡,，在最后所得的7步數(shù)中,，已經(jīng)沒(méi)有符合差數(shù)條件的數(shù)了，這就證明不可能有8步數(shù),，最多7步,。下面將各步數(shù)中合乎條件的mnpk列出來(lái)以供參考：

1步數(shù)中合乎逆推條件的數(shù)是：4176、8532,、8352,，用它們可逆推2步數(shù)。

2步數(shù)中合乎逆推條件的數(shù)是：2088,、3087,、4266、6264,、7083,、7353、7533,、    8082,、9171、9261、9621,、9711,，用它們可逆推3步數(shù)。

3步數(shù)中合乎逆推條件的數(shù)是：1089,、1998,、3996、4356,、6354,、6534、6993,、8991,、9081、9801,，用它們可逆推4步數(shù),。

4步數(shù)中合乎逆推條件的數(shù)是：0999、3177,、5265,、5355、5445,、6444,、7173、7443,、8262,、8622，用它們可逆推5步數(shù),。

5步數(shù)中合乎逆推條件的數(shù)是：2178,、2997、3267,、4995,、5994、7263,、7623,、7992、8172,、8712,，用它們可逆推6步數(shù)。

6步數(shù)中合乎逆推條件的數(shù)是：4086,、5085,、5175,、6084、8442,、9351,、9441、9531,，用它們可逆推7步數(shù),。

逆推過(guò)程不僅可得到所有步數(shù)的數(shù)，而且還將各步數(shù)間的步進(jìn)關(guān)系也精確揭示了出來(lái),。任何一個(gè)4位數(shù)都是在重排求差過(guò)程中按部就班,、有條不紊地步進(jìn)到黑洞數(shù)的。本文后面附有所有步數(shù)的最大數(shù)表和差數(shù)步進(jìn)圖可以查閱,，讀者可在這些圖表中找到另外一些有趣規(guī)律,。

前已述及，任何一個(gè)最大數(shù)實(shí)際代表的都是一組數(shù),，并可通過(guò)它計(jì)算出它所代表的一般4位數(shù)的個(gè)數(shù),，而且，這樣得到的4位數(shù)是互不相同的,。下面就給出各步數(shù)的最大數(shù)和它們代表的一般4位數(shù)的個(gè)數(shù)：

1步數(shù)的最大數(shù)20個(gè),，一般數(shù)384個(gè)

2步數(shù)的最大數(shù)34個(gè)，一般數(shù)576個(gè)

3步數(shù)的最大數(shù)140個(gè),，一般數(shù)2382個(gè)

4步數(shù)的最大數(shù)129個(gè),，一般數(shù)1272個(gè)

5步數(shù)的最大數(shù)113個(gè)，一般數(shù)1530個(gè)

6步數(shù)的最大數(shù)153個(gè),，一般數(shù)1662個(gè)

7步數(shù)的最大數(shù)116個(gè)，一般數(shù)2184個(gè)

將1-7步數(shù)的一般數(shù)的個(gè)數(shù)加起來(lái)得9990,，這正好是所有不同4位數(shù)的總個(gè)數(shù)（除4個(gè)數(shù)字相同者以外,，共10個(gè)），就是說(shuō),，所有4個(gè)數(shù)字不全相同的4位數(shù),，正好就構(gòu)成了這1-7步數(shù)的所有4位數(shù)，或者反過(guò)來(lái),，1-7步數(shù)中所含4位數(shù)的總個(gè)數(shù)正好等于所有4個(gè)數(shù)字不全相同的4位數(shù)的總個(gè)數(shù),，它們都可通過(guò)1-7步重排求差得到黑洞數(shù)6174。這就證明了任何4位數(shù)均可重排求差得到黑洞數(shù),。

五,、結(jié)論

通過(guò)最大數(shù)、最小數(shù)和它們的差數(shù)間的基本關(guān)系式可以證明,，4位數(shù)在重排求差過(guò)程中,，存在唯一一個(gè)黑洞數(shù)6174，從該黑洞數(shù)出發(fā)，可逐次逆推得到所有步數(shù)的數(shù),，這些數(shù)代表的一般4位數(shù)的總個(gè)數(shù)有,、且只有9990個(gè)，它們正好是4個(gè)數(shù)字不全相同的4位數(shù)的總個(gè)數(shù),，就是說(shuō),，4個(gè)數(shù)字不全相同的任何一個(gè)4位數(shù)總可通過(guò)重排求差操作按照嚴(yán)格的步進(jìn)規(guī)律向著黑洞數(shù)收斂。