幾何五大模型 一,、五大模型簡介 (1)等積變換模型 1、等底等高的兩個(gè)三角形面積相等,; 2,、兩個(gè)三角形高相等,面積之比等于底之比,,如圖①所示,S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b,; 3,、兩個(gè)三角形底相等,面積在之比等于高之比,,如圖②所示,,S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b; 4,、在一組平行線之間的等積變形,,如圖③所示,S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub],;反之,,如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub], 則可知直線AB平行于CD,。 例,、如圖,三角形ABC的面積是24,,D,、E、F分別是BC、AC,、AD的中點(diǎn),,求三角形DEF的面積。 (2)鳥頭(共角)定理模型 1,、兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ),,這兩個(gè)三角形叫共角三角形; 2,、共角三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比,。 如圖下圖三角形ABC中,D,、E分別是AB,、AC上或AB、AC延長線上的點(diǎn) 則有:S[sub]△ABC[/sub]:S[sub]△ADE[/sub]=(AB×AC):(AD×AE) 我們現(xiàn)在以互補(bǔ)為例來簡單證明一下共角定理,! 如圖連接BE,,根據(jù)等積變化模型知,S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABE[/sub]=AD:AB,、S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△CBE[/sub]=AE:CE,,所以S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]:(S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub])=AE:AC ,因此S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub]=(S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABE[/sub])×(S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub])=(AD:AB)×(AE:AC),。 例,、如圖在ΔABC中,D在BA的延長線上,,E在AC上,,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,, △ADE的面積為12平方厘米,,求ΔABC的面積。 (3)蝴蝶模型 1,、梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”) 例,、如圖,梯形ABCD,,AB與CD平行,,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,,已知△AOB,、△BOC的面積分別為25平方厘米、35平方厘米,,求梯形ABCD的面積,。 2,、任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”): 例、如圖,,四邊形ABCD的對(duì)角線AC,、BD交于點(diǎn)O,如果三角形ABD的面積等于三角形BCD面積的1/3,,且AO=2,、DO=3,求CO的長度是DO長度的幾倍,。 蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑,,通過構(gòu)造模型,一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系,;另一方面,,也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系。 (4)相似模型 1,、相似三角形:形狀相同,大小不相等的兩個(gè)三角形相似,; 2、尋找相似模型的大前提是平行線:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相 交,,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似,。 3、相似三角形性質(zhì): ①相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高,、對(duì)應(yīng)邊)的比等于相似比,; ②相似三角形周長的比等于相似比; ③相似三角形面積的比等于相似比的平方,。 相似模型大致分為金字塔模型,、沙漏模型這兩大類,注意這兩大類中都含有BC平行DE這樣的一對(duì)平行線,! 例,、如圖,,已知在平行四邊形ABCD中,,AB=16、AD=10,、BE=4,,那么FC的長度是多少? (5)燕尾模型 由于陰影部分的形狀像一只燕子的尾巴,,所以在數(shù)學(xué)上把這樣的幾何圖形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性質(zhì): S[sub]△ABG[/sub]:S[sub]△ACG[/sub]=S[sub]△BGE[/sub]:S[sub]△CGE[/sub]=BE:CE S[sub]△BGA[/sub]:S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△GAF[/sub]:S[sub]△GCF[/sub]=AF:CF S[sub]△AGC[/sub]:S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△AGD[/sub]:S[sub]△BGD[/sub]=AD:BD 例,、如圖,E,、D分別在AC,、BC上,且AE:EC=2:3,BD:DC=1:2,,AD與BE交于點(diǎn)F,,四邊形DFEC的面積等于22平方厘米,求三角形ABC的面積,。
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