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【小升初奧數(shù)專題】幾何之五大模型(已更新完)

 長沙7喜 2015-12-12
幾何五大模型
一,、五大模型簡介
(1)等積變換模型
    1、等底等高的兩個(gè)三角形面積相等,;
    2,、兩個(gè)三角形高相等,面積之比等于底之比,,如圖①所示,S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b,;
    3,、兩個(gè)三角形底相等,面積在之比等于高之比,,如圖②所示,,S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b;
    4,、在一組平行線之間的等積變形,,如圖③所示,S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub],;反之,,如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub],
       則可知直線AB平行于CD,。
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例,、如圖,三角形ABC的面積是24,,D,、E、F分別是BC、AC,、AD的中點(diǎn),,求三角形DEF的面積。
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(2)鳥頭(共角)定理模型
    1,、兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ),,這兩個(gè)三角形叫共角三角形;
    2,、共角三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比,。
   如圖下圖三角形ABC中,D,、E分別是AB,、AC上或AB、AC延長線上的點(diǎn)
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    則有:S[sub]△ABC[/sub]:S[sub]△ADE[/sub]=(AB×AC):(AD×AE)
    我們現(xiàn)在以互補(bǔ)為例來簡單證明一下共角定理,!
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如圖連接BE,,根據(jù)等積變化模型知,S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABE[/sub]=AD:AB,、S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△CBE[/sub]=AE:CE,,所以S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]:(S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub])=AE:AC
,因此S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub]=(S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABE[/sub])×(S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub])=(AD:AB)×(AE:AC),。
例,、如圖在ΔABC中,D在BA的延長線上,,E在AC上,,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,,
△ADE的面積為12平方厘米,,求ΔABC的面積。
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(3)蝴蝶模型
    1,、梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)
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例,、如圖,梯形ABCD,,AB與CD平行,,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,,已知△AOB,、△BOC的面積分別為25平方厘米、35平方厘米,,求梯形ABCD的面積,。
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2,、任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”):
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例、如圖,,四邊形ABCD的對(duì)角線AC,、BD交于點(diǎn)O,如果三角形ABD的面積等于三角形BCD面積的1/3,,且AO=2,、DO=3,求CO的長度是DO長度的幾倍,。
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    蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑,,通過構(gòu)造模型,一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系,;另一方面,,也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系。

(4)相似模型
    1,、相似三角形:形狀相同,大小不相等的兩個(gè)三角形相似,;
    2、尋找相似模型的大前提是平行線:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相
       交,,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似,。
    3、相似三角形性質(zhì):
      ①相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高,、對(duì)應(yīng)邊)的比等于相似比,;
      ②相似三角形周長的比等于相似比;
      ③相似三角形面積的比等于相似比的平方,。
    相似模型大致分為金字塔模型,、沙漏模型這兩大類,注意這兩大類中都含有BC平行DE這樣的一對(duì)平行線,!
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例,、如圖,,已知在平行四邊形ABCD中,,AB=16、AD=10,、BE=4,,那么FC的長度是多少?
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(5)燕尾模型
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    由于陰影部分的形狀像一只燕子的尾巴,,所以在數(shù)學(xué)上把這樣的幾何圖形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性質(zhì):
S[sub]△ABG[/sub]:S[sub]△ACG[/sub]=S[sub]△BGE[/sub]:S[sub]△CGE[/sub]=BE:CE
S[sub]△BGA[/sub]:S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△GAF[/sub]:S[sub]△GCF[/sub]=AF:CF
S[sub]△AGC[/sub]:S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△AGD[/sub]:S[sub]△BGD[/sub]=AD:BD

例,、如圖,E,、D分別在AC,、BC上,且AE:EC=2:3,BD:DC=1:2,,AD與BE交于點(diǎn)F,,四邊形DFEC的面積等于22平方厘米,求三角形ABC的面積,。
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二,、五大模型經(jīng)典例題詳解
(1)等積變換模型
例1、圖中的E,、F,、G分別是正方形ABCD三條邊的三等分點(diǎn),如果正方形的邊長是12,,那么陰影部分的面積是多少,?
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例2、如圖所示,,Q,、E、P,、M分別為直角梯形ABCD兩邊AB,、CD上的點(diǎn),且DQ,、CP,、ME彼此平行,已知AD=5,、BC=7,、AE=5、EB=3,,求陰影部分三角形PQM的面積,。
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(2)鳥頭(共角)定理模型
例1、如圖所示,,平行四邊形ABCD,,BE=AB、CF=2CB,、GD=3DC,、HA=4AD,平行四邊形ABCD的面積為2,,求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比,。
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例2、如圖所示,,△ABC的面積為1,,BC=5BD,、AC=4EC、DG=GS=SE,、AF=FG,,求△FGS的面積。
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(3)蝴蝶模型
例1,、如圖,,正六邊形面積為1,那么陰影部分面積為多少,?
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例2,、如圖,長方形ABCD被CE,、DF分成四塊,,已知其中3塊的面積分別為2、5,、8平方厘米,,求余下的四邊形OFBC的面積。
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例3,、如圖,,已知正方形ABCD的邊長為10厘米,E為AD的中點(diǎn),,F(xiàn)為CE的中點(diǎn),,G為BF的中點(diǎn),求三角形BDG的面積,。
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(4)相似模型
例1,、如圖,正方形的面積為1,,E,、F分別為AB、BD的中點(diǎn),,GC=1/3FC,求陰影部分的面積,。
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例2、如圖,,長方形ABCD,,E為AD的中點(diǎn),,AF與BD,、BE分別交于G和H,OE垂直于AD,,交AD于E點(diǎn),,交AF于O點(diǎn),,已知AH=5,HF=3,求AG的長。
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(5)燕尾模型
例1,、如圖,,正方形ABCD的面積是120平方厘米,E是AB的中點(diǎn),,F(xiàn)是BC的中點(diǎn),,求四邊形BGHF的面積。
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例2,、如圖,,在△ABC中,BD=2DA,、CE=2EB,、AF=2FC,那么△ABC的面積是陰影△GHI面積的幾倍,?
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例3,、如圖,在△ABC中,,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),,點(diǎn)E、F是BC的三等分點(diǎn),,若△ABC的面積是1,,求四邊形CDMF的面積。
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三,、鞏固練習(xí)
1,、如圖,在角MON的兩邊上分別有A,、C,、E、B,、D,、F六個(gè)點(diǎn),并且△OAB,、△ABC,、△BCD、△CDE,、△DEF的面積都等于1,,求△DCF的面積。
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2,、如下圖,,ABCD為平行四邊形,,EF平行AC,如果△ADE的面積為4平方厘米,,求三角形CDF的面積,。
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3、如下圖,,在三角形ABC中,,BD=2AD,AG=2CG,,BE=EF=FC,,求四邊形DGFE面積占三角形ABC的幾分之幾?
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4,、如圖,,四邊形EFGH的面積是66平方米,EA=AB,、CB=BF,、DC=CG、HD=DA,,求四邊形ABCD的面積,。
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5、邊長為1的正方形ABCD中,,BE=2EC,、FC=DF,求三角形AGE的面積,。
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6,、如圖,一個(gè)長方形被一些直線分成了若干個(gè)小塊,,已知三角形ADG的面積為11,,三角形BCH的面積為23,求四邊形EGFH的面積,。
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7,、如圖,三角形ABC是一塊銳角三角形余料,,BC=120毫米,,高AD=80毫米。現(xiàn)在要把它加工成一個(gè)正方形零件,,是正方形的一邊在BC上,,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上,這個(gè)正方形零件的邊長是多少,?
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8、如圖,,已知正方形ABCD的面積為120平方厘米,,E是AB邊的中點(diǎn),F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn),,求四邊形BGHF的面積,。
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9、如圖,,正方形ABCD的邊長是12厘米,,E、F分別是AB,、BC的中點(diǎn),,AF與CE交于點(diǎn)G,求四邊形AGCD的面積,。
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10,、如圖,在四邊形ABCD中,,AB=3BE,、AD=3AF,四邊形AEOF的面積是12,,求平行四邊形BODC的面積,。
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