第6講   函數(shù)與方程

一．【課標要求】

1．結(jié)合二次函數(shù)的圖像,，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系,；

2．根據(jù)具體函數(shù)的圖像,，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法,。

二．【命題走向】

函數(shù)與方程的理論是高中新課標教材中新增的知識點,，特別是“二分法”求方程的近似解也一定會是高考的考點。從近幾年高考的形勢來看,，十分注重對三個“二次”（即一元二次函數(shù),、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度,，同時也研究了它的許多重要的結(jié)論,，并付諸應用。高考試題中有近一半的試題與這三個“二次”問題有關

三．【要點精講】

1．方程的根與函數(shù)的零點

（1）函數(shù)零點

概念：對于函數(shù),，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點,。

函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標,。即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點,。

二次函數(shù)的零點：

１）△＞０，方程有兩不等實根,，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,，二次函數(shù)有兩個零點；

２）△＝０,，方程有兩相等實根（二重根）,，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點,，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點；

３）△＜０,，方程無實根,，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點,。

零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點,。既存在,，使得，這個也就是方程的根,。

2.二分法

二分法及步驟：

對于在區(qū)間,，上連續(xù)不斷，且滿足·的函數(shù),，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二,，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．

給定精度,，用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下：

（1）確定區(qū)間,，，驗證·,，給定精度,；

（2）求區(qū)間，的中點,；

（3）計算：

①若=,，則就是函數(shù)的零點；

②若·<,，則令=（此時零點）,；

③若·<，則令=（此時零點）,；

（4）判斷是否達到精度；

即若,，則得到零點零點值（或）,；否則重復步驟2~4。

注：函數(shù)零點的性質(zhì)

從“數(shù)”的角度看：即是使的實數(shù),；

從“形”的角度看：即是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標,；

若函數(shù)的圖象在處與軸相切，則零點通常稱為不變號零點,；

若函數(shù)的圖象在處與軸相交,，則零點通常稱為變號零點,。

注：用二分法求函數(shù)的變號零點：二分法的條件·表明用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點。

3．二次函數(shù)的基本性質(zhì)

（1）二次函數(shù)的三種表示法：y=ax²+bx+c,；y=a(x－x₁)(x－x₂),；y=a(x－x₀)²+n。

（2）當a>0,，f(x)在區(qū)間［p,，q］上的最大值M，最小值m,，令x₀= (p+q)。

若－<p,，則f(p)=m,，f(q)=M；

若p≤－<x₀,，則f(－)=m,，f(q)=M；

若x₀≤－<q,，則f(p)=M,，f(－)=m；

若－≥q,，則f(p)=M,，f(q)=m。

（3）二次方程f(x)=ax²+bx+c=0的實根分布及條件,。

①方程f(x)=0的兩根中一根比r大,，另一根比r小a·f(r)<0；

②二次方程f(x)=0的兩根都大于r 

③二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,，q)內(nèi)有兩根

④二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,，q)內(nèi)只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p,，q)內(nèi)成立,。

四．【典例解析】

題型1：方程的根與函數(shù)零點

例1．（1）方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（   ）

A．(0，1)          B．(1,，2)           C．(2,，3)          D．(3，+∞)

（2）設a為常數(shù),，試討論方程的實根的個數(shù),。

解析：

（1）在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖),。它們的交點橫坐標,，顯然在區(qū)間(1,，3)內(nèi)，由此可排除A,，D至于選B還是選C,，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了,。實際上這是要比較與2的大小,。當x=2時，lgx=lg2,，3-x=1,。由于lg2＜1，因此＞2,，從而判定∈(2,，3)，故本題應選C,。

（2）原方程等價于

即

構(gòu)造函數(shù)和,，作出它們的圖像，易知平行于x軸的直線與拋物線的交點情況可得：

①當或時,，原方程有一解,；

②當時，原方程有兩解,；

③當或時,，原方程無解

點評：圖象法求函數(shù)零點，考查學生的數(shù)形結(jié)合思想,。本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間,。數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫,。不僅要通過圖象直觀估計,，而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值，通過比較其大小進行判斷,。

例2．（2008湖南理17）

已知函數(shù).

（I）求函數(shù)的最小正周期,；

（II）當且時，求的值

解：由題設有．

（I）函數(shù)的最小正周期是

（II）由得即

     因為,所以

從而

于是

題型2：零點存在性定理

例3．設函數(shù),，其中常數(shù)為整數(shù),。

（1）當為何值時，,；

（2）定理：若函數(shù)在上連續(xù),，且與異號，則至少存在一點,，使得

試用上述定理證明：當整數(shù)時,，方程在內(nèi)有兩個實根,。

解析：（1）函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)連續(xù)，且

當x∈(－m,1－m)時,f ^’（x）<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1－m)

當x∈(1－m, +∞)時,f ^’（x）>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1－m)

根據(jù)函數(shù)極值判別方法,，f(1－m)=1－m為極小值,，而且

對x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m

故當整數(shù)m≤1時，f(x) ≥1－m≥0

(2)證明：由（I）知,，當整數(shù)m>1時,，f(1－m)=1-m<0,

函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù).

由所給定理知，存在唯一的

而當整數(shù)m>1時,，

類似地,，當整數(shù)m>1時，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號,，由所給定理知,，存在唯一的

故當m>1時，方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實根

點評：本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理,。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應用上。

例4．若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線,，則下列說法正確的是（   ）

A．若,，不存在實數(shù)使得；

B．若,，存在且只存在一個實數(shù)使得,；

C．若，有可能存在實數(shù)使得,；  

D．若,，有可能不存在實數(shù)使得；

解析：由零點存在性定理可知選項D不正確,；對于選項B,，可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在三個解”推翻,；同時選項A可通過反例“在區(qū)間上滿足,，但其存在兩個解”；選項D正確,，見實例“在區(qū)間上滿足,，但其不存在實數(shù)解”

點評：該問題詳細介紹了零點存在性定理的理論基礎。

題型3：二分法的概念

例5．關于“二分法”求方程的近似解,，說法正確的是（）

A．“二分法”求方程的近似解一定可將在[a,b]內(nèi)的所有零點得到,；

B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]內(nèi)的零點；

C．應用“二分法”求方程的近似解,，在[a,b]內(nèi)有可能無零點；

D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]內(nèi)的精確解,；

解析：如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設,，且在區(qū)間內(nèi)存在兩個及以上的實根,，二分法只可能求出其中的一個，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解,，二分法的實施滿足零點存在性定理,，在區(qū)間內(nèi)一定存在零點，甚至有可能得到函數(shù)的精確零點,。

點評：該題深入解析了二分法的思想方法

1.（2009福建卷文）若函數(shù)的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25,， 則可以是

A.              B.       

C.             D.

答案  A

解析  的零點為x=,的零點為x=1, 的零點為x=0, 的零點為x=.現(xiàn)在我們來估算的零點，因為g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零點x(0, ),又函數(shù)的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25，只有的零點適合,，故選A,。

題型4：應用“二分法”求函數(shù)的零點和方程的近似解

例7．借助計算器，用二分法求出在區(qū)間（1,，2）內(nèi)的近似解（精確到0.1）,。

解析：原方程即。

令,，

用計算器做出如下對應值表

觀察上表,，可知零點在（1，2）內(nèi)

取區(qū)間中點=1.5,，且,，從而，可知零點在（1,，1.5）內(nèi),；

再取區(qū)間中點=1.25，且,，從而,，可知零點在（1.25，1.5）內(nèi),；

同理取區(qū)間中點=1.375,，且，從而,，可知零點在（1.25,，1.375）內(nèi)；

由于區(qū)間（1.25，1.375）內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3,。故結(jié)果是1.3,。

點評：該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程，通過本題學會借助精度終止二分法的過程,。

例8．借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解（精確到）,。

分析：本例除借助計算器或計算機確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數(shù)外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數(shù),？

略解：圖象在閉區(qū)間,，上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，在,，上至多有一個零點,。

點評：①第一步確定零點所在的大致區(qū)間，,，可利用函數(shù)性質(zhì),，也可借助計算機或計算器，但盡量取端點為整數(shù)的區(qū)間,，盡量縮短區(qū)間長度,，通常可確定一個長度為1的區(qū)間,；

②建議列表樣式如下：

如此列表的優(yōu)勢：計算步數(shù)明確,，區(qū)間長度小于精度時，即為計算的最后一步,。

題型5：一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點

例9．　設二次函數(shù),，方程的兩個根滿足.  當時，證明,。

證明：由題意可知，

,

∴ ,

∴  當時,，,。

又,

∴  ,

綜上可知，所給問題獲證,。

點評：在已知方程兩根的情況下,，根據(jù)函數(shù)與方程根的關系，可以寫出函數(shù)的表達式,，從而得到函數(shù)的表達式

例10．已知二次函數(shù),，設方程的兩個實數(shù)根為和.

（1）如果，設函數(shù)的對稱軸為,，求證：,；

（2）如果，,，求的取值范圍.

解析：設,，則的二根為和。

（1）由及,，可得  ,，即,，

即

兩式相加得，所以,，,；

（2）由, 可得  。

又,，所以同號

∴ ，等價于

或,

即   或

解之得  或,。

點評：條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間,，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉(zhuǎn)化

題型6：一元二次函數(shù)與一元二次不等式

例11．設，若,，,，, 試證明：對于任意,，有,。

解析：∵ ,

∴ ,

∴ .

∴ 當時，

當時，

綜上,，問題獲證,。

點評：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù)的值,，但應該注意到：所要求的結(jié)論不是確定值，而是與條件相對應的“取值范圍”,，因此,，我們可以用來表示,。

例12．已知二次函數(shù)，當時,，有,，求證：當時，有

解析：由題意知：,，

∴ ,，

∴ 。

由時,，有,，可得 。

∴  ,

,。

    （1）若,，則在上單調(diào)，故當時,，

∴  此時問題獲證.

（2）若,，則當時，                 

又,，

∴  此時問題獲證,。

綜上可知：當時，有,。

點評：研究的性質(zhì),，最好能夠得出其解析式，從這個意義上說,，應該盡量用已知條件來表達參數(shù). 確定三個參數(shù),，只需三個獨立條件，本題可以考慮,，,，，這樣做的好處有兩個：一是的表達較為簡潔,，二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點和中點,，這樣做能夠較好地利用條件來達到控制二次函數(shù)范圍的目的。

要考慮在區(qū)間上函數(shù)值的取值范圍,，只需考慮其最大值，也即考慮在區(qū)間端點和頂點處的函數(shù)值,。

題型7：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

例13．（2009福建省）已知某企業(yè)原有員工2000人,每人每年可為企業(yè)創(chuàng)利潤3.5萬元.為應對國際金融危機給企業(yè)帶來的不利影響,該企業(yè)實施“優(yōu)化重組,分流增效”的策略,分流出一部分員工待崗.為維護生產(chǎn)穩(wěn)定,該企業(yè)決定待崗人數(shù)不超過原有員工的5％,并且每年給每位待崗員工發(fā)放生活補貼O.5萬元.據(jù)評估,當待崗員工人數(shù)x不超過原有員工1％時,留崗員工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利潤(1-)萬元,；當待崗員工人數(shù)x超過原有員工1％時,留崗員工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利潤O.9595萬元.為使企業(yè)年利潤最大,應安排多少員工待崗?

解  設重組后,該企業(yè)年利潤為y萬元.

∵2000×1%=20,∴當0<x≤20且x∈N時,

y=(2000-x)(3.5+1-)-0.5x=-5(x+)+9000.81.

∵x≤2000×5%   ∴x≤100,∴當20<x≤100且x∈N時,

y=(2000-x)(3.5+0.9595)-0.5x=-4.9595x+8919. 

∴  

當0<x≤20時,有

y=-5(x+)+9000.81≤-5×2+9000.81=8820.81,

當且僅當x=,即x=18時取等號,此時y取得最大值.

當20<x≤100時,函數(shù)y=-4.9595x+8919為減函數(shù),

所以y<-4.9595×20+8919=8819.81.

綜上所述x=18時,y有最大值8820.81萬元.

即要使企業(yè)年利潤最大,應安排18名員工待崗.

例14（2008陜西,，理17）

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及最值,；

（Ⅱ）令，判斷函數(shù)的奇偶性,，并說明理由．

17．解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

當時,，取得最小值；當時,，取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．

．

．

函數(shù)是偶函數(shù)．

點評：該題考察到函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應用,，考察了分類討論的思想

題型8：二次函數(shù)的綜合問題

例15．（2008湖南文17）

17．已知函數(shù).

（I）求函數(shù)的最小正周期；

（II）當且時,，求的值,。

解：由題設有．

（I）函數(shù)的最小正周期是

（II）由得即

     因為,所以

從而

于是

點評：本題主要考查函數(shù)圖象的對稱、二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應用等基礎知識,，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力

例16．已知函數(shù),。

（1）將的圖象向右平移兩個單位，得到函數(shù),，求函數(shù)的解析式,；

（2）函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱，求函數(shù)的解析式,；

（3）設,，已知的最小值是且，求實數(shù)的取值范圍

解析：(1)

(2)設的圖像上一點,，點關于的對稱點為,，由點Q在的圖像上，所以

        ,，

于是      

即       

（3）,。

設，則,。

問題轉(zhuǎn)化為：對恒成立.  即

          對恒成立.     （*）

故必有.（否則,，若，則關于的二次函數(shù)開口向下,，當充分大時,，必有,；而當時,，顯然不能保證（*）成立.）,，此時，由于二次函數(shù)的對稱軸,，所以,，問題等價于,，即，

解之得：,。

此時,，，故在取得最小值滿足條件

點評：緊扣二次函數(shù)的頂點式對稱軸,、最值,、判別式顯合力。

五．【思維總結(jié)】

1．函數(shù)零點的求法：

①（代數(shù)法）求方程的實數(shù)根,；

②（幾何法）對于不能用求根公式的方程,，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點,。

2．學習二次函數(shù),，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā),，可以進行純粹的代數(shù)推理,，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學素養(yǎng),；從圖像特征出發(fā),，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學數(shù)學中一種非常重要的思想方法. 本文將從這兩個方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問題,。

由于二次函數(shù)的解析式簡捷明了,，易于變形（一般式、頂點式,、零點式等）,，所以，在解決二次函數(shù)的問題時,，常常借助其解析式,，通過純代數(shù)推理，進而導出二次函數(shù)的有關性質(zhì)

（1）二次函數(shù)的一般式中有三個參數(shù). 解題的關鍵在于：通過三個獨立條件“確定”這三個參數(shù)

（2）數(shù)形結(jié)合：二次函數(shù)的圖像為拋物線,，具有許多優(yōu)美的性質(zhì),，如對稱性、單調(diào)性,、凹凸性等,。結(jié)合這些圖像特征解決有關二次函數(shù)的問題，可以化難為易,，形象直觀,。因為二次函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別單調(diào)，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值,、最小值必在區(qū)間端點或頂點處取得,；函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點或頂點處取得

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