完成Box-Muller Transformation的證明

在這之前,，我們首先引出Inverse transform sampling定理（中文可能是反變換定理,，反變換法吧。）

定義：假設(shè)u=F(x)是一個(gè)連續(xù)累計(jì)分布函數(shù)（也就是一個(gè)密度函數(shù)的積分）,， F^-1為其反函數(shù),。 

定理：如果U是一個(gè)均勻分布(0,1)的隨機(jī)變量的話，則F^-1（U）服從函數(shù)F給出的分布,。

證明：

這樣就導(dǎo)出一個(gè)方法：

輸入：一組[0,1]之間的滿足均勻分布的隨機(jī)數(shù)U

任務(wù)：給定一個(gè)分布的密度函數(shù)f(x),，要生成滿足這一分布的一組隨機(jī)數(shù),。

輸出：一組滿足f(x)的隨機(jī)數(shù)V

方法：1）求f(x)的分布函數(shù)F(x)

        2）求F(x)的反函數(shù)F'(x)

        3）對(duì)于U中的每一個(gè)元素u，將F'(u)加入序列V中,。

據(jù)此,，我們發(fā)現(xiàn)

只要求出正態(tài)分布的密度函數(shù)的分布函數(shù)的反函數(shù)，然后直接代入服從均勻分布的隨機(jī)數(shù),，

所得的結(jié)果即為服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)了,！

接下來如何導(dǎo)出正態(tài)分布pdf(probabilistic distribution function概率密度函數(shù))的分布函數(shù)的反函數(shù)呢?（太拗口了。,。,。）

我們都非常熟悉了正態(tài)分布的pdf，但是其分布函數(shù)（也就是從0-x的積分）據(jù)我所知很難搞定,。

< 如果是無窮積分的話還有可能搞出來（用個(gè)平方和的技巧） >

其實(shí),，我們這里使用和這個(gè)平方和技巧相同的方法。進(jìn)行變形,，就可以神奇的得到BoxMuller了～

過程如下：

使用兩個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

以及

用上述的化為極坐標(biāo)的技巧,，

將x=rcos(theta), y=rsin(theta)

這樣可以得到極坐標(biāo)上的兩個(gè)正交的服從正態(tài)分布的變量

概率為

具體步驟不再詳述，利用了Jacobian行列式,，然后就直接得到這個(gè)結(jié)果啦,。

接下來根據(jù)上述的方法1）2)3)

步驟1） 首先對(duì)其分別積分，得到分布函數(shù)

以及

步驟2）

求上述函數(shù)的反函數(shù)

據(jù)此,，我們其實(shí)已經(jīng)證明了Marsaglia polar method方法,。所以這個(gè)才叫做polar法～

步驟3）

代入服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)，得到

因?yàn)榉木鶆蚍植?0,1),所以可以將

終于,，我們對(duì)Box-Muller Transformation證明完畢,。