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數(shù)學(xué)的概念,、定義、定理等等都包含著數(shù)學(xué)的思想方法,，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在很大程度上就是思想方法的學(xué)習(xí),是思考的學(xué)習(xí)。我們的課程,，就是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法中一些問(wèn)題展開(kāi)分析思考,，糾正一些思維的偏差,，加強(qiáng)一些思維的深度，拓寬一些思維的聯(lián)系,，通過(guò)這門課程的學(xué)習(xí)，希望能夠有助數(shù)學(xué)教師于更加透徹理解教材和課程標(biāo)準(zhǔn),，更加透徹理解數(shù)學(xué)本身的規(guī)律，進(jìn)一步有助于數(shù)學(xué)教學(xué)的改進(jìn),。我們的課程形式是以問(wèn)題的形式來(lái)顯示,，沒(méi)有系統(tǒng)性,。但是我非常希望有啟發(fā)性，通過(guò)我們課程里面的一些問(wèn)題的思考,、改進(jìn),，啟發(fā)大家進(jìn)一步思考,，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,，深入研究,，提高認(rèn)識(shí),。改進(jìn)教學(xué)——楊正家老師寄語(yǔ)我們知道當(dāng)判別式的值非負(fù)時(shí)， 一元二次方程的根有兩個(gè),。 這里其實(shí)包含著一個(gè)人為的約定,，就是判別式為零時(shí)， 重根的個(gè)數(shù)按照重?cái)?shù)計(jì)算,。 事實(shí)上判別式的值為負(fù)時(shí),，一元二次方程的根也是兩個(gè),，只是這兩個(gè)根是虛數(shù)。那么為什么一元二次方程的重根的個(gè)數(shù)要按重?cái)?shù)計(jì)算呢,？我們經(jīng)常被問(wèn)一元高次方程的根有幾個(gè),？怎樣的方程重根的個(gè)數(shù)要按重?cái)?shù)來(lái)計(jì)算呢,？分式方程,、無(wú)理方程的根有幾個(gè)？ 等等,。為什么一元二次方程的判別式為 0 時(shí)要說(shuō)方程有兩個(gè)根,？代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元 n 次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域上至少有一根(n≥1),?；蛘呖梢赃@樣敘述： 任何復(fù)系數(shù)一元 n 次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有 n 個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。代數(shù)基本定理在代數(shù)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)性的作用,。 據(jù)說(shuō),，關(guān)于代數(shù)學(xué)基本定理的證明,，現(xiàn)有 200 多種證法。這里我們就明白了一個(gè)道理,， 重根按重?cái)?shù)來(lái)計(jì)算的方法只是對(duì)一元整式方程有意義,。 是對(duì)一元 n 次整式方程根的個(gè)數(shù)情況的遷就，是為了符合代數(shù)基本定理的一種約定,。對(duì)于其他方程,，一般說(shuō)來(lái)， 由于不再有代數(shù)基本定理的約束,， 重根沒(méi)有必要按重?cái)?shù)計(jì)算了,，就按照一個(gè)根來(lái)計(jì)算，因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候重根再按重?cái)?shù)計(jì)算就沒(méi)什么意義,、沒(méi)什么必要了,。分析： 先化為一元二次方程， 然后討論這個(gè)一元二次方程根的情況,，第一,，判別式為零， 但是根不為 0,，也不為 2,；第二，判別式大于 0,，有一個(gè)根為 0,，且另一根不為 2；第三,，判別式大于 0,，有一個(gè)根為 2，且另一根不為 0,。對(duì)于方程組,、對(duì)于無(wú)理方程的解的個(gè)數(shù)，以及對(duì)于冪,、 指,、 對(duì)方程，也都沒(méi)有必要按重?cái)?shù)計(jì)算了,。根據(jù)曲線與方程的關(guān)系,，研究解的個(gè)數(shù)相當(dāng)于研究曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，實(shí)際上,，當(dāng)我們研究公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)的時(shí)候,，我們是不區(qū)分這一公共點(diǎn)到底是交點(diǎn)還是切點(diǎn)，換句話說(shuō),，切點(diǎn)也被認(rèn)定是一個(gè)公共點(diǎn)的,。這樣就和我們剛才的代數(shù)方法的解釋一致了,。問(wèn)題八、分式方程,、無(wú)理方程増根的原因是什么,？關(guān)于增根問(wèn)題， 我們主要討論兩件事情：一是增根產(chǎn)生的原因,。二是人為要求增根問(wèn)題的價(jià)值,。對(duì)于無(wú)理方程,、分式方程，我們都發(fā)現(xiàn)會(huì)產(chǎn)生増根,。分式方程去分母之后，化為整式方程,，未知數(shù)的范圍被擴(kuò)大了,，所以可能產(chǎn)生増根。 無(wú)理方程有理化之后,，化為整式方程,，未知數(shù)的范圍被擴(kuò)大了，所以可能產(chǎn)生増根,。 到底是什么原因?qū)е聼o(wú)理方程的増根呢？ 
說(shuō)明： 1,、 直覺(jué)解法：將-√(2x+8)項(xiàng)移項(xiàng)后平方,，比較學(xué)生所采用的不同解法的優(yōu)劣。 2,、 探索改進(jìn),。從移項(xiàng)來(lái)說(shuō)，三種方法,，有一種最簡(jiǎn)便,。 3、 找到系數(shù)規(guī)律：盡量尋求含未知數(shù)項(xiàng)能夠相互抵消的方法,。 4,、 檢驗(yàn)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)，當(dāng) x2=-7時(shí),，方程的被開(kāi)方數(shù)成為負(fù)數(shù),，必須舍去。 本題印證了教材的増根原因的說(shuō)法,。
說(shuō)明： 1.直接平方比較麻煩,，可以把一個(gè)根式移到右邊后再平方,，減少一些運(yùn)算量。 2.但是不管移項(xiàng)不移項(xiàng),，都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)增根,。當(dāng) x2=22時(shí)，方程兩邊不相等了,。 3.那么怎么產(chǎn)生增根的呢,。仔細(xì)審查求解的每一步，可以發(fā)現(xiàn)其他方程√(3x-2)-√(x+3)=3的解被混進(jìn)來(lái)了,，當(dāng)然要剔除掉的,。
其次討論人為要求增根問(wèn)題的價(jià)值。現(xiàn)在我們來(lái)反思這一解法,。 
看來(lái),，方程的増根的產(chǎn)生是與解法有關(guān)系的。從這個(gè)意義上說(shuō),，可以得出五個(gè)結(jié)論,，一是，増根與解法有關(guān),；二是,，使得分母為零的未知數(shù)的值都可以成為増根；三是,，參數(shù)（比如 k）取任何實(shí)數(shù),，原方程都會(huì)有増根； 四是,，實(shí)際上,，對(duì)于任何分式方程， 如果兩邊同乘以 x-p,，而且 x=p時(shí)分母不為零,。一定可以求出一個(gè)根 x=p ，這個(gè)根可能就是增根,，所以,，不使得分母為零也有可能是分式方程的增根；五是,，以后這樣人為要有増根,，反求參數(shù)的題目最好不要再出了。這樣的問(wèn)題其實(shí)是沒(méi)有意義的,。現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)討論一下無(wú)理方程的増根問(wèn)題,。對(duì)于“當(dāng) k為何值時(shí)，無(wú)理方程有増根”這樣的問(wèn)題，我們可以分析如下,，設(shè) f (x)=0 是無(wú)理方程,，為了解這個(gè)方程，我們可以兩邊同乘以x-a,，得（x-a) f (x)=0,，進(jìn)而可以解出 x=a，由于我們沒(méi)有遵照方程同解原理求解,，所以,，對(duì)于無(wú)理方程，我們可以得出兩個(gè)結(jié)論,， 第一,，k 取任何實(shí)數(shù)時(shí)方程都會(huì)有増根； 第二,，k 取任何實(shí)數(shù)時(shí),， 可以讓任何實(shí)數(shù) a（不是原方程的根） 成為任何無(wú)理方程的増根。面對(duì)這樣的結(jié)論,，我們?nèi)藶橹圃靿埜膯?wèn)題也沒(méi)有什么研究的意義了。最后,，談?wù)剦埜c方程同解原理的關(guān)系,。 我們一直認(rèn)為整式方程不要驗(yàn)根，分式方程,、無(wú)理方程要驗(yàn)根,，事實(shí)上，問(wèn)題的核心不在這里,，即使一元二次方程（x-1)(x-2)=0,，我也可以兩邊乘以 x+1，得到,，(x +1)(x-1)(x-2)=0,，從而解得 x=-1這個(gè)増根的。問(wèn)題的關(guān)鍵是,，方程的求解過(guò)程如果能夠根據(jù)方程同解原理求解,，那么就不會(huì)產(chǎn)生増根，不需要驗(yàn)根,，整式方程就做得到,，所以整式方程根據(jù)同解原理求解就不需要驗(yàn)根，如果沒(méi)有按照通解原理求解,，也要驗(yàn)根,，而且驗(yàn)根時(shí)還會(huì)遭遇增根還是失根的問(wèn)題。而分式方程、無(wú)理方程如果能夠根據(jù)同解原理求解,，也不需要驗(yàn)根,，遺憾的是，我們做不到,，所以可能產(chǎn)生増根,，所以要驗(yàn)根。歸根到底兩句話,，有沒(méi)有増根很大程度上是基于解法的,。不產(chǎn)生増根是基于同解原理的。產(chǎn)生増根很大程度上是由于不能基于方程同解原理,，因此不基于同解原理的不同解法會(huì)導(dǎo)致不同的増根,，但是有些方程，不管用什么方法都避不了有増根,。
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