一,、什么是數(shù)學(xué)基本思想？

數(shù)學(xué)思想,，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中,，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識,；基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性,、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征,，并且是歷史地發(fā)展著的,。通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會有一個(gè)大幅度的提高,。掌握數(shù)學(xué)思想,，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。

    史寧中教授指出：基本數(shù)學(xué)思想不應(yīng)當(dāng)是個(gè)案的,，而必須是一般的,。這大概需要滿足兩個(gè)條件：一是數(shù)學(xué)產(chǎn)生以及數(shù)學(xué)發(fā)展過程中所必須依賴的那些思想。二是學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人所具有的思維特征,。這些特征表現(xiàn)在日常的生活之中,。這就可以歸納為三種基本思想，即抽象,、推理和模型,。通過抽象，人們把外部世界與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部,，形成數(shù)學(xué)研究的對象,，其思維特征是抽象能力強(qiáng)；通過推理,，人們得到數(shù)學(xué)的命題和計(jì)算方法,，促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展，其思維特征是邏輯能力強(qiáng),；通過模型,，人們創(chuàng)造出具有表現(xiàn)力的數(shù)學(xué)語言，構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁,，其思維特征是應(yīng)用能力強(qiáng),。

1,、什么是抽象

抽象是在思維中拋開對象的非特有、非本質(zhì)屬性,，從中抽取對象的特有屬性或本質(zhì)屬性的方法,。

數(shù)學(xué)中抽象主要包括兩方面的內(nèi)容：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，圖形與圖形關(guān)系的抽象,。通過抽象得到數(shù)學(xué)的基本概念,，這些基本概念包括：數(shù)學(xué)研究對象的定義、刻畫對象之間關(guān)系的術(shù)語和符號以及刻畫對象之間關(guān)系的運(yùn)算方法,。

例如：人們經(jīng)過長期的實(shí)踐,，把1個(gè)雞蛋、1只羊,、1頭?！橄蟪蓴?shù)字“1”符號，繼而形成了自然數(shù),，并且用十個(gè)符號和位數(shù)表示,。后來又抽象出了數(shù)之間的大小、運(yùn)算關(guān)系,。至于圖形與圖形關(guān)系的抽象最明顯的體現(xiàn)是構(gòu)成幾何學(xué)的基本要素的“點(diǎn),、線、面”就是抽象的結(jié)果,。

2、什么是推理

所謂推理,，是指從一個(gè)命題判斷到另一個(gè)命題判斷的思維過程,，其中命題是指可供是否判斷的語句；所謂有邏輯的推理,，是指所涉及的命題內(nèi)涵之間具有某種傳遞性,。推理一般包括合情推理和演繹推理。

合情推理,。合情推理是從已有事實(shí)出發(fā),，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果的思維過程,。合情推理是命題內(nèi)涵由小到大的推理,，是一種從特殊到一般的推理。合情推理包括歸納推理和類比推理,。歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論,；類比推理由兩類對象具有某些類似特性和其中一類對象的某些已知特性，推出另一類對象也具有這些特性的推理,。簡言之,，類比推理是由特殊到特殊的推理,。因此，通過合情推理得到的結(jié)論是或然的,。人們借助合情推理,，從經(jīng)驗(yàn)過的東西出發(fā)推斷未曾經(jīng)驗(yàn)過的東西，這便是所說的“看”出數(shù)學(xué)結(jié)果,，看出的數(shù)學(xué)結(jié)果不一定是正確的,，但指引了數(shù)學(xué)研究的方向。便于探索思路,、發(fā)現(xiàn)結(jié)論,。

例如：（三角形的內(nèi)角和180度）

演繹推理。演繹推理是命題內(nèi)涵由大到小的推理,，是一種從一般到特殊的推理,。因此，通過演繹推理得到的結(jié)論是必然的,。演繹推理包括三段論,、反證法、數(shù)學(xué)歸納法,、算法邏輯等,。人們借助演繹推理，按照假設(shè)前提和規(guī)定的法則驗(yàn)證那些通過推斷得到的結(jié)論,，這便是數(shù)學(xué)的“證明”,，通過證明得到的結(jié)論是正確的，但不能使命題的內(nèi)涵得到擴(kuò)張,。

例如：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù),，因?yàn)?×1/3=1，所以3和1/3互為倒數(shù),。

注意：不可能把抽象和推理截然分開：抽象的過程要依賴推理,；而兩種形式的推理、特別是合情推理的過程要依賴抽象,。

3,、什么是模型

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征，數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),。從廣義角度講,，數(shù)學(xué)的概念，定理,，規(guī)律,，法則，公式，性質(zhì),，數(shù)量關(guān)系式,，圖表，程序等都是數(shù)學(xué)模型,。

數(shù)學(xué)模型思想是指用數(shù)學(xué)的語言描述現(xiàn)實(shí)世界所依賴的思想,。數(shù)學(xué)模型使數(shù)學(xué)走出數(shù)學(xué)的世界，是構(gòu)建數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁,。通俗地說,，數(shù)學(xué)模型是借用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事。

例如：小學(xué)兩個(gè)典型的模型：路程=速度×?xí)r間    總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量

二,、小學(xué)階段主要的數(shù)學(xué)思想有哪些,？

抽象、推理和模型是數(shù)學(xué)的基本思想,，是最高層面的思想,，在實(shí)踐中又派生出很多與具體內(nèi)容結(jié)合的具體思想。

在小學(xué)階段,，具體數(shù)學(xué)思想主要有符號化思想,、化歸思想、分類思想,、方程思想,、集合思想、函數(shù)思想,、數(shù)形結(jié)合思想,、統(tǒng)計(jì)與概率思想等等。

   （一）符號化思想

    1,、符號化思想的概念,。

    數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)世界時(shí)一個(gè)符號化的世界,，數(shù)學(xué)作為人們進(jìn)行表示、計(jì)算,、推理和解決問題的工具,，符號起到了非常重要的作用：因?yàn)閿?shù)學(xué)有了符號，才使得數(shù)學(xué)具有簡明,、抽象,、清晰、準(zhǔn)確等特點(diǎn),，同時(shí)也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的普及和發(fā)展,；國際通用的數(shù)學(xué)符號的使用，使數(shù)學(xué)成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想方法,，具有普遍的意義,。

 2、符號化思想的具體應(yīng)用,。

    符號化思想作為數(shù)學(xué)基本的,、廣泛應(yīng)用的思想之一,，教師和學(xué)生無時(shí)無刻不在與它們打交道,。教師在教學(xué)中應(yīng)把握好以下幾點(diǎn)。

  （1）在思想上引起重視,?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把培養(yǎng)學(xué)生的符號意識作為必學(xué)的內(nèi)容，并提出了具體要求,，足以證明它的重要性,。因此，教師在日常教學(xué)中應(yīng)給予足夠的重視,。

  （2）把培養(yǎng)符號意識落實(shí)到課堂教學(xué)目標(biāo)中,。教師在每堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，要明確符號的具體應(yīng)用,，并納入教學(xué)目標(biāo)中,。創(chuàng)設(shè)合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生在探索中歸納和理解教學(xué)符號化的模型,，并進(jìn)行解釋和應(yīng)用,。

   (3) 引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識符號的特點(diǎn)。

讓學(xué)生逐步明確,，數(shù)學(xué)符號不僅可以表示數(shù),、數(shù)量關(guān)系，還可以參與運(yùn)算和推理證明,。理解數(shù)學(xué)符號的高度概括性和簡捷性,。

   （4）符號意識的培養(yǎng)是一個(gè)長期的過程。符號意識的培養(yǎng)應(yīng)用貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程中,，學(xué)生首先要理解和掌握數(shù)學(xué)符號的內(nèi)涵和思想,，并通過一定的訓(xùn)練，才能利用符號進(jìn)行比較熟練地運(yùn)算,、推理和解決問題,。

例如：教學(xué)“甲乙兩個(gè)數(shù)的和是58，甲數(shù)比多36,。求甲乙各是多少,？”這樣的問題，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)掌握這類問題的特點(diǎn)和解答方法之后,，可以設(shè)計(jì)這樣的練習(xí)題：

A  +  B = 18

A  -  B  = 2   求：A=,？   B=？

（二）化歸思想

 1,、化歸思想的概念。

人們面對數(shù)學(xué)問題,，如果直接應(yīng)用已有知識不能或不易解決該問題時(shí),，往往需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決,，這種思想方法稱為化歸（轉(zhuǎn)化）思想,。

2、化歸所遵循的原則,。

化歸思想的實(shí)質(zhì)就是在已有的簡單的,、具體的、基本的知識的基礎(chǔ)上,，把未知化為已知,、把復(fù)雜化為簡單、把一般化為特殊,、把抽象化為具體,、把非常規(guī)劃為常規(guī)，從而解決各種問題,。因此,，應(yīng)用化歸思想時(shí)要遵循以下幾個(gè)基本原則：

（1）數(shù)學(xué)化原則，把生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,，建立數(shù)學(xué)模型,。

（2）熟悉化原則，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,。

（3）簡單化原則,，即把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。

（4）直觀化原則,，即把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題,。

3、化歸思想的具體應(yīng)用,。

例如：《組合圖形面積》一課就充分體現(xiàn)了“化歸思想”,。

（三）方程和函數(shù)思想

1,、方程和函數(shù)思想的概念。

方程和函數(shù)是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的主要內(nèi)容,，也是解決實(shí)際問題的重要工具,，他們都可以用來描述現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系，而且他們之間有著密切的聯(lián)系,。

（1） 方程思想,。

含有未知數(shù)的等式叫方程，判斷一個(gè)式子是不是方程,，只需要同時(shí)滿足兩個(gè)條件;一個(gè)是含有未知數(shù),，另一個(gè)必須是等式。方程思想的核心是將問題中未知量用數(shù)字以外的數(shù)學(xué)符號（常用x,、y等字母）表示,，根據(jù)數(shù)量關(guān)系之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知數(shù)的對立統(tǒng)一,。

(2) 函數(shù)思想,。

設(shè)集合ab是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種確定的對立關(guān)系f,，如果對于集合a中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合b中都有唯一確定的數(shù)y和它的對應(yīng),，那么就稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x),。其中x叫做自變量,，x的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；y叫做函數(shù)或因變量,，與x相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值,，y的取值范圍b叫做值域。函數(shù)思想體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的,、普遍性的觀點(diǎn),。

2.方程和函數(shù)思想的具體運(yùn)用.

小學(xué)數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)方程之前的問題,都通過算術(shù)方法解決,在引入方程之后,小學(xué)數(shù)學(xué)中比較復(fù)雜的有關(guān)數(shù)量關(guān)系的問題,都可以通過方程解決,方程思想是小學(xué)思想的重要思想,其中一元一次方程是小學(xué)數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容,在小學(xué)數(shù)學(xué)里沒有學(xué)習(xí)函數(shù)的概念,但是有函數(shù)思想的滲透,與正比例函數(shù)和反比例函數(shù)最接近的正比例函數(shù)和反比例函數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容.另外,在小學(xué)數(shù)學(xué)的一些知識中也會滲透函數(shù)思想,如數(shù)與數(shù)的一一對應(yīng)體現(xiàn)了函數(shù)思想.方程和函數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)銜接的紐帶.

小學(xué)數(shù)學(xué)中方程和函數(shù)思想的應(yīng)用如下表.

（四）分類討論思想

 1.分類討論思想的概念。

人們面對比較復(fù)雜的問題,，有時(shí)無法通過統(tǒng)一研究或者整體研究解決,，需要把研究的對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類并逐類進(jìn)行討論，再把每一類的結(jié)論綜合,，使問題得到解決,，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。分類討論既是解決問題的一般的思想方法,，適應(yīng)于各種科學(xué)的研究,；同時(shí)也是數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題較常用的思想方法。

2. 分類討論思想的具體應(yīng)用

例如：教師的板書

（五）統(tǒng)計(jì)思想

1．統(tǒng)計(jì)思想的概念。

現(xiàn)實(shí)生活中有大量的數(shù)據(jù)需要分析和研究,，如人口數(shù)量,、物價(jià)指數(shù)、商品合格率,、種子發(fā)芽率等等,。有時(shí)需要對所有的數(shù)據(jù)進(jìn)行全面調(diào)查，如我國為了掌握人口的真實(shí)情況,，曾經(jīng)進(jìn)行過全國人口普查,。一般情況下不可能也不需要考察所有對象，如物價(jià)指數(shù),、商品合格率等,，就需要采取抽樣調(diào)查的方法收集和分析數(shù)據(jù)，用樣本來估計(jì)總體,，從而進(jìn)行合理的推斷和決策,，這就是統(tǒng)計(jì)的思想方法。在統(tǒng)計(jì)里主要有兩種估計(jì)方法：一是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布,，二是用樣本的數(shù)據(jù)特征（如平均數(shù),、中位數(shù)和眾數(shù)）估計(jì)總體的數(shù)據(jù)特征。

2．統(tǒng)計(jì)思想的具體應(yīng)用,。

小學(xué)數(shù)學(xué)中統(tǒng)計(jì)的知識點(diǎn)主要有：象形統(tǒng)計(jì)圖,、単式統(tǒng)計(jì)表、復(fù)式統(tǒng)計(jì)表,、單式條形統(tǒng)計(jì)圖,、復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖,、單式折線統(tǒng)計(jì)圖、復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖,、扇形統(tǒng)計(jì)圖,、平均數(shù)、中位數(shù),、眾數(shù)等,。這些知識作為學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)是必須掌握的，但更重的是能夠根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和解決問題的需要選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表或者統(tǒng)計(jì)量來描述和分析數(shù)據(jù),、做出合理的預(yù)測和決策,。

3．統(tǒng)計(jì)思想的教學(xué)。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》的頒布和實(shí)施,，賦予了統(tǒng)計(jì)更加豐富的內(nèi)涵,。教師要全面理解《課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于統(tǒng)計(jì)知識的內(nèi)容和理念，在教學(xué)中要注意以下幾點(diǎn),。

第一,，注意過程性目標(biāo)的教學(xué)。讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集,、整理,、描述、分析,、推斷和決策的過程,。包括設(shè)計(jì)合適的調(diào)查表、選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表和統(tǒng)計(jì)量描述數(shù)據(jù),、科學(xué)地分析數(shù)據(jù)并做出合理的決策,。統(tǒng)計(jì)的教學(xué)要改變以往注重統(tǒng)計(jì)知識和技能這種數(shù)學(xué)化的傾向，要讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的全過程,，把統(tǒng)計(jì)與生活密切聯(lián)系起來,，讓學(xué)生學(xué)習(xí)活生生的統(tǒng)計(jì)，而不是僅僅回答枯燥乏味的純數(shù)學(xué)問題,。

第二,，認(rèn)識統(tǒng)計(jì)對決策的作用，能從統(tǒng)計(jì)的角度思考與數(shù)據(jù)有關(guān)的問題,。學(xué)會用數(shù)據(jù)說話,，能使我們的思維更加理性，避免感性行事,。從小學(xué)開始就要讓學(xué)生認(rèn)識統(tǒng)計(jì)對決策的重要作用,，為將來的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和走向社會培養(yǎng)良好的統(tǒng)計(jì)意識。如作為市場經(jīng)濟(jì)和信息化社會的公民，每個(gè)人無不與經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和投資理財(cái)打交道,，如果能夠根據(jù)影響經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的各種主要數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的分析和推斷,，做出正確的投資理財(cái)決策、使自己的投資不斷保值和升值,，對于每個(gè)公民意義重大,。

第三，能對給定數(shù)據(jù)的來源,、收集和描述的方法,，以及分析的結(jié)論進(jìn)行合理的質(zhì)疑。,、

第四，對有關(guān)概念應(yīng)正確理解,，應(yīng)注重知識的應(yīng)用,，避免單純的數(shù)據(jù)計(jì)算和概念判斷。

（六）概率思想

1.概率思想的概念,。

表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù),，叫做該事件的概率。生活中的事件可以分為兩類：一類是確定事件,，在一定條件下一定發(fā)生的和一定不會發(fā)生的,，這些事件都是確定事件；另一類是隨機(jī)事件,，就是在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,，隨機(jī)事件表面上看雜亂無章，但是大量地重復(fù)觀察這些事件時(shí),，這些隨機(jī)事件會呈現(xiàn)規(guī)律性,，這種規(guī)律叫統(tǒng)計(jì)規(guī)律，概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門科學(xué)學(xué)科,，概率思想的意義在于揭示和把握規(guī)律,，充分地利用規(guī)律為人類服務(wù)。

（1）事件的分類,。

事件可以分為確定事件和隨機(jī)事件,，其中確定事件又可以分為必然事件和不可能事件。在一定條件下一定發(fā)生的是必然事件,，一定不會發(fā)生的是不可能事件,。

（2）頻率與概率的區(qū)別和聯(lián)系。

隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小是概率論研究的主要內(nèi)容,，通過試驗(yàn)來觀察隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小是常用的方法,。在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn),，某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)是m,，m/n就是事件A出現(xiàn)的頻率,。如果試驗(yàn)的次數(shù)不斷增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)數(shù)上,，就把這個(gè)常數(shù)記作P（A）,，稱為事件A的概率。

事件的概率是確定的,、不變的常數(shù),，是理論上的精確值；而頻率是某次具體試驗(yàn)的結(jié)果,，是不確定的,、變化的數(shù)，盡管這種變化可能性非常的小,。

這里的概率是用頻率來界定的,，在等可能性隨機(jī)試驗(yàn)中，雖然頻率總是在很小的范圍內(nèi)變化,，但我們可以認(rèn)為頻率和概率的相關(guān)性非常的強(qiáng),。也就是說，在一次試驗(yàn)中,，事件A出現(xiàn)的頻率越大,、事件A的概率就越大；事件A出現(xiàn)的頻率越小,、事件A的概率就越小,。反之亦然。

（3）兩種概率模型

古典概模：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件是有限的,，每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等,。如比較經(jīng)典的投硬幣和擲骰子試驗(yàn)，都屬于這種概率模型,。

幾何概型：試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積,、體積）成比例。如比較常見的轉(zhuǎn)盤游戲,，就是幾何概率模型,。

2.概率思想的具體應(yīng)用。

概率思想主要應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域,。一是小學(xué)數(shù)學(xué)第一,、第二學(xué)段都安排了可能性的內(nèi)容。（新課標(biāo)2011版把這一內(nèi)容調(diào)整到第二學(xué)段）

3.概率思想的教學(xué),。

這部分內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)注意以下幾點(diǎn),。

第一，隨機(jī)事件的發(fā)生是有條件的，是在一定條件下,，事件發(fā)生的可能性性有大有?。粭l件變了,，事件發(fā)生的可能性大小也可能會變化,。如種子的發(fā)芽率與很多因素有關(guān)，如種子的質(zhì)量,、保存期限,、溫度、水分,、土壤,、陽光、空氣等等,。在各種條件都合適的情況下,，發(fā)芽率可能高達(dá)90%；條件不合適發(fā)芽率可能降到50%甚至不發(fā)芽,。

第二，避免把頻率與概率混淆,。如最經(jīng)典的就是擲硬幣試驗(yàn)去驗(yàn)證概率,。從概率的統(tǒng)計(jì)定義而言，做拋硬幣試驗(yàn)是可以的,，可以使學(xué)生參與實(shí)踐活動(dòng),、經(jīng)歷知識的形成過程、提高學(xué)習(xí)的興趣,。關(guān)鍵是廣大教師心中要明白：試驗(yàn)次數(shù)少的時(shí)候頻率與概率的誤差可能會比較大,，但是試驗(yàn)次數(shù)多，也不能每次都保證頻率與概率相差很小,，或者說試驗(yàn)次數(shù)足夠大的兩次試驗(yàn),，也不能保證試驗(yàn)次數(shù)多的比試驗(yàn)次數(shù)少的誤差小。這是隨機(jī)事件本身的特點(diǎn)決定的,，教師要通過通俗的語言使學(xué)生清楚這一點(diǎn),。這樣在拋硬幣時(shí)出現(xiàn)什么情況都是正常的，在學(xué)生操作的基礎(chǔ)上,，有條件的可通過計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn),，還要呈現(xiàn)數(shù)學(xué)家們做的試驗(yàn)結(jié)果，使學(xué)生理解概率的統(tǒng)計(jì)定義,。

第三,，創(chuàng)設(shè)聯(lián)系學(xué)生生活的情境，要注意每個(gè)基本事件是否具有等可能性。如下面的題目就不合適：全班50個(gè)學(xué)生,，選一人代表全班參加科普知識競賽,，張三被選中的可能性是多少？事實(shí)上參加競賽是有一定條件的,，如需要學(xué)習(xí)好,、知識面寬等等，每個(gè)學(xué)生被選中的可能性是不相等的,。

第四,，概率是理論上的精確值，但是隨機(jī)事件在具體一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)意外,，即頻率與概率有一定偏差,。隨機(jī)中有精確，精確中有隨機(jī),，這是對待概率的一種科學(xué)態(tài)度,。

例如；（摸球游戲）

（七）集合思想

1.集合的概念,。

把指定的具有某種性質(zhì)的事物看作一個(gè)整體,，就是一個(gè)集合（簡稱集），其中每個(gè)事物叫做該集合的元素（簡稱元）,。給定的集合,，它的元素必須是確定的，即任何一個(gè)事物是否屬于這個(gè)集合是明確的,。如“學(xué)習(xí)成績好的同學(xué)”不能構(gòu)成一個(gè)集合,，因?yàn)闃?gòu)成它的元素是不確定的；而“語文和數(shù)學(xué)的平均成績在90分及以上的同學(xué)”就是一個(gè)集合,。一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的,，即集合中的元素不重復(fù)出現(xiàn)。只要兩個(gè)集合的元素完全相同,，就說這兩個(gè)集合相等,。

2.集合思想在具體應(yīng)用。

（1）教材中的習(xí)題

（2）教師自己設(shè)計(jì)的習(xí)題：把圖形名稱填在相應(yīng)的圈內(nèi),。

四邊形   梯形     長方形    正方形     平行四邊形

（八）數(shù)形結(jié)合思想

1.數(shù)形結(jié)合思想的概念,。

數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)和形之間的對應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。數(shù)學(xué)是研究實(shí)現(xiàn)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué),，數(shù)和形之間是既對立又統(tǒng)一的關(guān)系,，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。這里的數(shù)是指數(shù),、代數(shù)式,、方程,、函數(shù)、數(shù)量關(guān)系式等,，這里的形是指幾何圖形和函數(shù)圖象,。

數(shù)形結(jié)合思想可以使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、使繁難的數(shù)學(xué)問題簡捷化,，使得原本需要通過抽象思維解決的問題,，有時(shí)借助形象思維就能夠解決，有利于抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展和優(yōu)化解決問題的方法,。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直覺,，形少數(shù)時(shí)難入微?！边@句話深刻地揭示了數(shù)形之間的辯證關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的重要性,。眾所周知，小學(xué)生的邏輯思維能力還比較弱,，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)必須面對數(shù)學(xué)的抽象性這一現(xiàn)實(shí)問題,；教材的編排和課堂教學(xué)都在千方百計(jì)地使抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生易于理解的方式呈現(xiàn)，借助數(shù)形結(jié)合思想中的圖形直觀手段,，可以提供非常好的教學(xué)方法和解決方案,。如從數(shù)的認(rèn)識、計(jì)算到比較復(fù)雜的實(shí)際問題,，經(jīng)常要借助圖形來理解和分析,，也就是說，在小學(xué)數(shù)學(xué)中,，數(shù)離不開形。另外,，幾何知識的學(xué)習(xí),，很多時(shí)候只憑直接觀察看不出什么規(guī)律和特點(diǎn)，這時(shí)就需要用數(shù)來表示,，如一個(gè)角不是直角,、兩條邊是否相等、周長和面積是多少等,。換句話說,，就是形也離不開數(shù)。因此,，數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的意義尤為重大,。

3.數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用。

數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中應(yīng)用大致分為兩種情形：一是借助于數(shù)的精確性,、程序性和可操作性來闡明形的某些屬性,，可稱之為“以數(shù)解形”,；二是借助形的幾何直觀性來闡明某些概念及數(shù)之間的關(guān)系，可稱之為“以形助數(shù)”,。

數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)的四大領(lǐng)域知識的學(xué)習(xí)都有非常普遍和廣泛的應(yīng)用,，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

一是利用“形”作為各種直觀工具幫助學(xué)生理解和掌握知識、解決問題,，如從低年級借助直線認(rèn)識數(shù)的順序,，到高年級的畫線段圖幫助學(xué)生理解實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系。

例如,；計(jì)算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=,？

二是數(shù)軸及平面直角坐標(biāo)系在小學(xué)的滲透,，如數(shù)軸、位置,、正反比例關(guān)系圖象等,，使學(xué)生體會代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系。這方面的應(yīng)用雖然比較淺顯,，但這正是數(shù)形結(jié)合思想的重點(diǎn)所在,，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。

例如：

三是統(tǒng)計(jì)圖本身和幾何概念模型都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn),，統(tǒng)計(jì)圖表把抽象的、枯燥的數(shù)據(jù)直觀地表示出來,，便于分析和決策,。

四是用代數(shù)（算術(shù)）方法解決幾何問題。如角度,、周長,、面積和體積等的計(jì)算，通過計(jì)算三角形內(nèi)角的度數(shù),，可以知道它是什么樣的三角形等等,。

（九）極限思想

1.極限思想的概念。

在數(shù)學(xué)上,，如果某個(gè)變化的量無限地逼近于一個(gè)確定的數(shù)值,，那么該定值就叫做變化的量的極限。我們知道,，在小學(xué)數(shù)學(xué)里有些問題不是通過初等數(shù)學(xué)的方法解決的,，如圓的面積，無法直接按照求長方形面積的方法來計(jì)算,，無法直接按照求長方形面積的方法來計(jì)算,。我國古代數(shù)學(xué)家劉徽為了計(jì)算圓的面積和圓周率,，曾經(jīng)創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，具體做法是：先作圓的內(nèi)接正六邊形,，再作內(nèi)接正十二邊形……隨著邊數(shù)的不斷增加,，正多邊形越來越接近于圓，那么它的面積和周長也越來越接近于圓的面積和周長,。劉徽在描述這種做法時(shí)說“割之彌細(xì),，所失彌少，割之又割,，以至不可割,，則與圓周合體而無所失矣”。也就是說,，隨著正多邊形的邊數(shù)無限增加,，圓內(nèi)接正多邊形就轉(zhuǎn)化為圓，這種思想就是極限思想,，即用無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢的思想,。

2. 極限思想的具體應(yīng)用。

極限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用和滲透,，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn),。

（1）在數(shù)的認(rèn)識中體會有限與無限的思想。小學(xué)生從一年級開始就認(rèn)識自然數(shù)0,、1,、2、3,、…同時(shí)知道每個(gè)自然數(shù)加1就等于它的后繼數(shù),。到了認(rèn)識億以內(nèi)的數(shù)時(shí)，進(jìn)一步知道了最小自然數(shù)是0,，沒有最大的自然數(shù),，自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。也就是說,，任意給定一個(gè)足夠大的自然數(shù)N,，只需要把它加1就會得到一個(gè)更大的自然數(shù)N+1,，N+1＞N,，所以總是找不到一個(gè)最大的自然數(shù)，從而體會到自然數(shù)數(shù)列的無限多和趨向無窮大,。由此可以推廣到奇數(shù),、偶數(shù)、一個(gè)數(shù)的倍數(shù),、兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)等都沒有最大的,，都有無限多個(gè),。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)，學(xué)生知道分母不同,、分?jǐn)?shù)值相等的分?jǐn)?shù)有無限多個(gè),。在學(xué)習(xí)小數(shù)時(shí)，首先認(rèn)識的是有限小數(shù),，然后認(rèn)識無限循環(huán)小數(shù),，還知道圓周率是無限不循環(huán)小數(shù)。

（2）在數(shù)的計(jì)算中體會極限思想,。

例如：計(jì)算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+……=,？   0.999……=？

（3）在認(rèn)識圖形時(shí)滲透無限的思想,。與自然數(shù)列的趨向無窮大類似,，有些圖形也具有無限長的特性，如直線,、射線,、角的邊、平行線等,，都具有無限延伸的特性,，可以滲透無限的思想。

（4）在圓的面積,、圓柱的體積的計(jì)算中滲透極限思想,。

如上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)中圓的面積不能像求長方形的面積那樣直接利用公式計(jì)算,，圓柱的體積不能像長方體那樣直接利用公式計(jì)算,，利用極限思想可以解決這些問題。如計(jì)算圓的面積時(shí),，先把圓平均分成若干等份,，拼成近似的長方形，但它還不是長方形,，仍然無法直接按照求長方形面積的方法來求,；因?yàn)榘岩粋€(gè)圓不論進(jìn)行怎樣細(xì)小的有限次的分割拼補(bǔ)，都無法真正拼成一個(gè)長方形,；這時(shí)只有借助極限思想,，把圓分割的越細(xì)小所拼成的圖形就越接近于長方形，可以這樣無限地分下去,，拼成的圖形面積就越趨向于長方形的面積,，最后通過取極限來得到它的面積，這是極限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中最完美的體現(xiàn),。也就是說,，極限思想是這樣操作的理論基礎(chǔ)和計(jì)算精確性的保證,。

對有關(guān)極限的一些概念、教學(xué)要求和解題方法應(yīng)準(zhǔn)確把握,。極限思想是用無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢的思想,，這里要抓住兩個(gè)關(guān)鍵語句：一個(gè)是變化的量是無窮多個(gè)，另一個(gè)是無限變化的量趨向于一個(gè)確定的常數(shù),，二者缺一不可,。

應(yīng)該明確，數(shù)學(xué)基本思想在小學(xué)主要是潛移默化地滲透和感悟階段,。不能作為知識點(diǎn)教給學(xué)生,，避免拔苗助長。要以數(shù)學(xué)思想方法為引領(lǐng)分析問題,，解決問題,，在解決問題的過程中，經(jīng)過反思,、感悟,，逐漸提升對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識。