第一講：集合的含義與表示

教學(xué)目標(biāo)：理解集合的含義，知道常用數(shù)集及其記法,；

初步了解屬于關(guān)系和集合相等意義,，初步了解集合的分類及性質(zhì)；

初步掌握集合的表示方法,，并能正確地表示一些簡(jiǎn)單的集合．

教學(xué)重點(diǎn)：集合的含義及其表示方法．

教學(xué)過程：

一,、問題情境

１．藍(lán)藍(lán)的天空中，一群鳥在歡快的飛翔,；茫茫的草原上,，一群羊在悠閑地走動(dòng)；清清的湖水里,，一群魚在自由的游泳,；??鳥群，羊群,，魚群??都是“同一類對(duì)象匯集在一起”,，這就是本章將要學(xué)習(xí)的集合．

２．在初中學(xué)習(xí)數(shù)的分類時(shí)，已接觸過“正數(shù)的集合”,、“負(fù)數(shù)的集合”,，集合這一概念在數(shù)學(xué)中被廣泛運(yùn)用,，集合語言是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，利用它可以簡(jiǎn)潔,、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對(duì)象．那么,，我們不禁要問：集合的含義是什么？

二,、學(xué)生活動(dòng)

１．讓同學(xué)介紹自己的家庭,、現(xiàn)在的班級(jí)等情況．

２．問題：像“家庭”、 “班級(jí)”,、“男生”,、“女生”等概念有什么共同的特征,？ 三：知識(shí)要點(diǎn)

（一）集合的有關(guān)概念

1.集合理論創(chuàng)始人康托爾稱集合為一些確定的,、不同的東西的全體，人們能意識(shí)到這些東西,，并且能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)總體,。

2.一般地，研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素（element）,，一些元素組成的總體叫集合（set）,，也簡(jiǎn)稱集。

如“中國的直轄市”構(gòu)成一個(gè)集合,，該集合的元素就是北京,、上海、天津,、重慶這四個(gè)城市．

“Young中的字母” 構(gòu)成一個(gè)集合,，該集合的元素就是y,o,u,n,g這五個(gè)字母． “book中的字母” 也構(gòu)成一個(gè)集合，該集合的元素就是b,o,k這三個(gè)字母． 2x?1?3?x?2,，所有大于2的實(shí)數(shù)組成的集合稱為這個(gè)不等式的解集． 方程x?3x?2?0?x?1或2,，1與2組成的集合稱為方程的解集．

自然數(shù)的集合 0，1,，2,，3，??

故事：一位數(shù)學(xué)家的女兒從幼兒園放學(xué)回到家中,，父親問她今于學(xué)到了什么,？女兒高興地回答說：?我們今天學(xué)習(xí)了‘集合’.?數(shù)學(xué)家想：對(duì)于一個(gè)高度抽象的概念來說，女兒的年齡實(shí)在太小了.因此他關(guān)切地問：?你懂嗎,？?女兒肯定地回答：?懂!一點(diǎn)也不難.?父親還是放心不下：?你們老師是怎么教的,？?女兒說：?老師先讓男孩子站起來，說：‘這是男孩組成的集合.’然后又讓女孩子站起來,，說：‘這是女孩組成的集合.’最后老師問我們：‘都懂了嗎,？’大家回答說：‘都懂了!’?聽玩女兒的陳述,，父親決定用下面的問題作最后的檢驗(yàn)：?那么，世界上所有的土豆是否能組成一個(gè)集合呢,？?遲疑了一會(huì)兒,，女兒最終回答道：?不能!除非它們都能站起來.?大家認(rèn)為這位小孩回答的是否是正確的呢？ 2

3.思考1：判斷以下元素的全體是否組成集合,，并說明理由：

（1） 大于3小于11的偶數(shù),；

（2） 我國的小河流；

（3） 非負(fù)奇數(shù),；

（4） 方程x?1?0的解,；

2

（5） 某校2007級(jí)新生；

（6） 血壓很高的人,；

（7） 著名的數(shù)學(xué)家,；

（8） 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第三象限的點(diǎn)

（9）全班成績(jī)好的學(xué)生。

4.關(guān)于集合的元素的特征

（1）確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合,，x是某一個(gè)具體對(duì)象,，則或者是A的元素，或 者不是A的元素,，兩種情況必有一種且只有一種成立,。

（2）互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體（對(duì)象）,， 因此,，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素。

（3）無序性：集合與其中元素的排列次序無關(guān),。

5.兩個(gè)集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,。

6.元素與集合的關(guān)系

（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于（belong to）A,，記作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素,，就說a不屬于（not belong to）A，記作a?A,。

7.常用數(shù)集及其記法

非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）,，記作N

*正整數(shù)集，記作N或N+,；

整數(shù)集,，記作Z

有理數(shù)集，記作Q

實(shí)數(shù)集,，記作R

（二）集合的表示方法

我們可以用自然語言來描述一個(gè)集合,，但這將給我們帶來很多不便，除此之外還常用列舉法和描述法來表示集合,。

1.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,，寫在大括號(hào)內(nèi),。

2322如：{1，2,，3,，4，5},，{x,，3x+2，5y-x,，x+y},，?；

說明：集合中的元素具有無序性,，所以用列舉法表示集合時(shí)不必考慮元素的順序,。

2.描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào){ }內(nèi),。

具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍,， 再畫一條豎線,，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征,。

2如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x+1},，{直角三角形},，?。

五：典型例題

考點(diǎn)一：集合的有關(guān)概念

例1：下列各組對(duì)象不能組成集合的是( ),。

A.大于6的所有整數(shù) B.高中數(shù)學(xué)的所有難題

C.被3除余2的所有整數(shù) D.函數(shù)y=1圖象上所有的點(diǎn) x

變式訓(xùn)練

1.下列條件能形成集合的是( )

A.充分小的負(fù)數(shù)全體 B.愛好足球的人

C.中國的富翁 D.某公司的全體員工

考點(diǎn)二：元素與集合的關(guān)系

例2：(1)A={1,3},判斷元素3,5和集合A的關(guān)系,并用符號(hào)表示.

(2)所有素質(zhì)好的人能否表示為集合?

(3)A={2,2,4}表示是否準(zhǔn)確?

(4)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?

解：(1)根據(jù)元素與集合的關(guān)系有兩種:屬于(∈)和不屬于(?),知3屬于集合A,即3∈A,5不屬于集合A,即5?A.

(2)由于素質(zhì)好的人標(biāo)準(zhǔn)不可量化,不符合集合元素的確定性,故A不能表示為集合.

(3)表示不準(zhǔn)確,不符合集合元素的互異性,應(yīng)表示為A={2,4}.

(4)因其元素相同,A與B表示同一集合.

2例3：在數(shù)集{2x,x-x}中,實(shí)數(shù)x的取值范圍是,。

2分析:實(shí)數(shù)x的取值滿足集合元素的互異性,則2x≠x-x,解得x≠0且x≠3,∴實(shí)數(shù)x的取值

范圍是{x|x<0或0<x<3或x>3}.

答案：{x|x<0或0<x<3或x>3}

例4：已知數(shù)集A=a2,a?3,7,且16?A，求實(shí)數(shù)a的值,。

分析：16=a或者a?3?16,；同時(shí)考慮到集合元素的互異性。 2??

a??4或a?13 答案：

例5：集合A中的元素由關(guān)于x的方程kx-3x+2=0的解構(gòu)成,其中k∈R,若A中僅有一個(gè)元素,求k的值.

2解：由于A中元素是關(guān)于x的方程kx-3x+2=0(k∈R)的解,

若k=0,則x=22,知A中有一個(gè)元素,符合題設(shè); 3

若k≠0,則方程為一元二次方程,

92時(shí),kx-3x+2=0有兩相等的實(shí)數(shù)根,此時(shí)A中有一個(gè)元素. 8

9綜上所述k=0或k=. 8當(dāng)Δ=9-8k=0即k=

變式訓(xùn)練

1.用符號(hào)∈或?填空:

(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,______N;

(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,2______Z;

(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,2______Q;

(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,2______R.

2.數(shù)集{3,x,x-2x}中,實(shí)數(shù)x滿足什么條件?

3.方程ax+5x+c=0的解集是{2211,},則a=________,c=_______. 23

考點(diǎn)三：集合的表示方法

例6：用列舉法表示下列集合:

(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合;

2(2)方程x=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合;

(3)由1～20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合. (4)A??x?N?

16?N? 9?x?

x?y?4???(5)B???x,y??? x?y?2?????

(7)D??yy??x?5,x?Z,y?N?

x,y?y??x?5,x?Z,y?N? (8)E??2(6)C?xy??x?5,x?Z,y?N 22

解：(1)設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A,那么

A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

2(2)設(shè)方程x=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為B,那么

B={0,1}.

(3)設(shè)由1～20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合為C,那么

C={2,3,5,7,11,13,17,19}.

變式訓(xùn)練

1.用列舉法表示下列集合:

(1)小于5的正奇數(shù)組成的集合;

(2)能被3整除且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合;

2(3)方程x-9=0的解組成的集合;

(4){15以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}; (5){x|6∈Z,x∈Z}. 3?x

列舉法表示集合的步驟:(1)用字母表示集合;(2)明確集合中的元素;(3)把集合中所有元素寫在大括號(hào)“{}”內(nèi),并寫成A={??}的形式.

說明：⑴書寫時(shí),，元素與元素之間用逗號(hào)分開,；

⑵一般不必考慮元素之間的順序；

⑶集合中的元素可以為數(shù),，點(diǎn),，代數(shù)式等

⑷列舉法可表示有限集，也可以表示無限集,。當(dāng)元素個(gè)數(shù)比較少時(shí)用列舉法比較簡(jiǎn)單,；若集合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性,，在不發(fā)生誤解的情況下,，也可以用列舉法表示,。

⑸對(duì)于含有較多元素的集合，用列舉法表示時(shí),，必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能用省略號(hào),，象自然數(shù)集Ｎ用列舉法表示為?1,2,3,4,5,......?

例7：用描述法表示下列集合

2(1)二次函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn)組成的集合;

(2)坐標(biāo)平面內(nèi)數(shù)軸上的點(diǎn)集合;

(3)不等式x-7<3的解集.

222解：(1)二次函數(shù)y=x上的點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)滿足y=x,則二次函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn)組成的集合