投影法知識(shí) 一,、投影法的概念 投影法是畫(huà)法幾何學(xué)的基本方法,。如圖2.1所示， 為投影中心,， 為空間一點(diǎn),， 為投影面， 連線為投射線,。投射線均由投影中心射出,，射過(guò)空間點(diǎn)的投射線與投影面相交于一點(diǎn) ,，點(diǎn)稱(chēng)作空間點(diǎn)在投影面 上的投影。同樣,，點(diǎn)是空間點(diǎn)在投影面上的投影,。在投影面和投射中心確定的條件下，空間點(diǎn)在投影面上的投影是唯一確定的,。
圖2.1 投影法 圖2.2 中心投影法 畫(huà)法幾何就是靠這種假設(shè)的投影法,，確定空間的幾何原形在平面上（圖紙上）的圖像。圖2.2是三角板投影的例子,。 二,、投影法的種類(lèi) 上述的投影法，投射線均通過(guò)投影中心,，稱(chēng)為中心投影法,，如圖2.2所示。如果投射線互相平行,，此時(shí),，空間幾何原形在投影面上也同樣得到一個(gè)投影，這種投影法稱(chēng)為平行投影法,。當(dāng)平行的投射線對(duì)投影面傾斜時(shí),，稱(chēng)為斜投影法，如圖2.3所示,。當(dāng)平行的投射線與投影面垂直時(shí),，稱(chēng)為正投影法，如圖2.4所示,。
圖2.3 平行投影法——斜投影法 圖2.4 平行投影法——正投影法 平行投影的特點(diǎn)之一是,，空間的平面圖形（如圖2.3和圖2.4中的三角板）若和投影面平行，則它的投影反映出真實(shí)的形狀和大小,。 三,、正投影法的基本性質(zhì) 1、類(lèi)似性：當(dāng)線段或平面與投影面傾斜時(shí),，其線段投影小于實(shí)長(zhǎng),；平面的投影為小于實(shí)形的類(lèi)似形。 2,、不變性：當(dāng)線段或平面與投影面平行時(shí),，其反映實(shí)長(zhǎng)或?qū)嵭瓮队啊?/p> 3、積聚性：當(dāng)線段或平面與投影面平行時(shí),，投影積聚,。 4、從屬性和定比性： 機(jī)械工程上常用幾種投影圖 一,、正投影圖 正投影圖是一種多面投影圖,，它采用相互垂直的兩個(gè)或兩個(gè)以上的投影面，在每個(gè)投影面上分別采用正投影法獲得幾何原形的投影,。由這些投影便能確定該幾何原形的空間位置和形狀,。圖2.5是某一幾何體的正投影。 圖2.5 幾何體的正投影 圖2.6 幾何體的軸測(cè)投影圖 采用正投影圖時(shí),，常將幾何體的主要平面放成與相應(yīng)的投影面相互平行,。這樣畫(huà)出的投影圖能反映出這些平面的實(shí)形。因此說(shuō)正投影圖有很好的度量性,，而且正投影圖作圖也較簡(jiǎn)便,。在機(jī)械制造行業(yè)和其他工程部門(mén)中，被廣泛采用,。 二,、軸測(cè)投影圖 軸測(cè)投影圖是單面投影圖。先設(shè)定空間幾何原形所在的直角坐標(biāo)系,，采用平行投影法,，將三根坐標(biāo)軸連同空間幾何原形一起投射到投影面上。圖2.6是某一幾何體的軸測(cè)投影圖,。由于采用平行投影法,，所以空間平行的直線，投影后仍平行,。 采用軸測(cè)投影圖時(shí),，將坐標(biāo)軸對(duì)投影面放成一定的角度，使得投影圖上同時(shí)反映出幾何體長(zhǎng),、寬,、高三個(gè)方向上的形狀，增強(qiáng)了立體感,。 三,、標(biāo)高投影圖 標(biāo)高投影圖是采用正投影法獲得空間幾何元素的投影之后，再用數(shù)字標(biāo)出空間幾何元素對(duì)投影面的距離,，以在投影圖上確定空間幾何元素的幾何關(guān)系,。 圖2.7是曲面的標(biāo)高投影。圖中一系列標(biāo)有數(shù)字的曲線稱(chēng)為等高線,。 圖2.7 曲面的標(biāo)高投影 圖2.8 幾何體的**投影圖 標(biāo)高投影圖常用來(lái)表示不規(guī)則曲面,，如船舶、飛行器,、汽車(chē)曲面及地形等,。 四、**投影圖 **投影圖用的是中心投影法,。它與照相成影的原理相似,，圖像接近于視覺(jué)映像,。所以**投影圖富有逼真感、直觀性強(qiáng),。按照特定規(guī)則畫(huà)出的**投影圖,，完全可以確定空間幾何元素的幾何關(guān)系。 圖2.8是某一幾何體的一種**投影圖,。由于采用中心投影法,，所以空間平行的直線，有的在投影后就不平行了,。**投影圖廣泛用于工藝美術(shù)及宣傳廣告圖樣,。
點(diǎn)的投影 物體是由點(diǎn)、線和面組成,，其中點(diǎn)是最基本的幾何元素,，下面從點(diǎn)開(kāi)始來(lái)說(shuō)明正投影法的建立及其基本原理。 一,、點(diǎn)在兩投影面體系中投影 （1）點(diǎn)的兩個(gè)投影能唯一地確定該點(diǎn)的空間位置 首先建立兩個(gè)互相垂直的投影面H及V,，其間有一空間點(diǎn)A，它向投影平面H投影后得投影a,，向投影平面V投影后得投影a′,，投射線Aa及A a′是一對(duì)相交線，故處于同一平面內(nèi),，如圖2.9所示,。
圖2.9 點(diǎn)的兩面投影 圖2.10 兩個(gè)投影能唯一確定空間點(diǎn) 從圖2.9可知，若移去空間點(diǎn)A,，由點(diǎn)的兩個(gè)投影a,、a′就能確定該點(diǎn)的空間位置。另外,，由于兩個(gè)投影平面是相互垂直的,，可在其上建立笛卡爾坐標(biāo)體系，如圖2.10所示,。已知a,，即已知x、y兩個(gè)坐標(biāo),。已知a′,，即已知x、z兩個(gè)坐標(biāo),。因此,，已知空間點(diǎn)A的兩個(gè)投影a及a′，即確定了空間點(diǎn)A的x、y及z三個(gè)坐標(biāo),，也就唯一地確定該點(diǎn)的空間位置,。 （2）術(shù)語(yǔ)及規(guī)定 1.術(shù)語(yǔ) 如圖2.11（a）所示： 水平位置的投影面稱(chēng)水平投影面，用H表示,。 與水平投影面垂直的投影面稱(chēng)正立投影面,，用V表示。 兩投影面的交線稱(chēng)投影軸,，用OX表示。 空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母（如A,、B,、…）表示。 在水平投影面上的投影稱(chēng)水平投影,，用相應(yīng)小寫(xiě)字母（如a,、b、…）表示,。 在正立投影面上的投影稱(chēng)正面投影,，用相應(yīng)小寫(xiě)字母加一撇（如a′、b′,、…）表示,。 2.規(guī)定 圖2.11（a）所示為一直觀圖。 為使兩個(gè)投影a和a′畫(huà)在同一平面（圖紙）上,，規(guī)定將H面繞OX軸按圖示箭頭方向旋轉(zhuǎn)90°,，使它與V面重合，這樣就得到如圖2.11（b）所示點(diǎn)A的兩面投影圖,。投影面可以認(rèn)為是任意大的,，通常在投影圖上不畫(huà)它們的范圍，如圖2.11（c）所示,。投影圖上細(xì)實(shí)線a a′稱(chēng)為投影連線,。 由于圖紙的圖框可以不用畫(huà)出，所以今后常常利用圖2.11（c）所示的兩面投影圖來(lái)表示空間的幾何原形,。 (a) 兩投影面體系 （b）兩面投影圖 （c）不畫(huà)投影面的范圍 圖2.11 兩面投影圖的畫(huà)法 （3）兩面投影圖的性質(zhì) 1.一點(diǎn)的兩個(gè)投影連線垂直于投影軸（a a′⊥OX a′到點(diǎn)O 因?yàn)橥渡渚€Aa a′構(gòu)成了一個(gè)平面Aaax a′,，如圖2.11（a）所示。它垂直于H面,，也垂直于V面,，則必垂直于H面和V面的交線OX。所以處于平面Aaax a′上的直線aaxa′ax必垂直于OXa′ax⊥OXax,、a′三點(diǎn)共線,，且a′ax⊥OX。。當(dāng)a跟著H面旋轉(zhuǎn)而和V面重合時(shí),，則aax⊥OX的關(guān)系不變,。因此投影圖上的a、,，即aax⊥OX和和和A 2.一點(diǎn)的水平投影到OX a′）,，都反映y a′=y）；其正面投影到OXa′ax)等于該點(diǎn)到Ha′ax=Aa=z）,。面的距離(Aa),，都反映z坐標(biāo)（軸的距離(坐標(biāo)（aax=A軸的距離（aax）等于該點(diǎn)到V面的距離（A 二、點(diǎn)在三投影面體系中的投影
圖2.12 需用三面投影圖表示的幾何體 點(diǎn)的兩個(gè)投影已能確定該點(diǎn)的空間位置,。但為更清楚地表達(dá)某些幾何體,，有時(shí)需采用三面投影圖。例如圖2.12 所示的幾何體投影,，相同的正面和水平投影,，只有確定了其第三面投影，才能清楚地表示出該幾何體的形狀,。 由于三投影面體系是在兩投影面體系基礎(chǔ)上發(fā)展而成,，因此兩投影面體系中的術(shù)語(yǔ)及規(guī)定、投影圖的性質(zhì),，在三投影體系中仍適用,。此外，它還有一些本身的術(shù)語(yǔ)及規(guī)定,、投影圖的性質(zhì),。 （1）術(shù)語(yǔ)及規(guī)定 與正立投影面及水平投影面同時(shí)垂直的投影面稱(chēng)側(cè)立投影面，用W表示,，如圖2.13所示,。 在側(cè)立投影面上的投影稱(chēng)側(cè)面投影，用小寫(xiě)字母加兩撇（如a″,、b″,、…）表示。 規(guī)定W面繞OZ軸按圖示箭頭方向轉(zhuǎn)90°和V面重合,，得到三個(gè)投影的投影圖,。投影圖中OY軸一分為二，隨H面轉(zhuǎn)動(dòng)的以OYH表示,，隨W面轉(zhuǎn)動(dòng)的以OYw表示,。 （2）三面投影圖的性質(zhì) 1.一點(diǎn)的側(cè)面投影與正面投影連線垂直于OZ軸（a′a″⊥OZ）。 因側(cè)立投影面與正立投影面也構(gòu)成一個(gè)兩投影面體系,，故由上面內(nèi)容可知,，此性質(zhì)成立。 2.點(diǎn)的水平投影a到OX軸的距離（aax）和側(cè)面投影a″到OZ軸的距離（a″az）均等于A到V面的距離（Aa′）都反映y坐標(biāo)(aax=a″az=Aa′=y)。 為作圖方便,，也可自點(diǎn)O作45°輔助線,，以實(shí)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系，如圖2.13（b）所示,。 以上的性質(zhì)是畫(huà)點(diǎn)的投影圖必須遵守的重要依據(jù),。
(a) (b) 圖2.13 三面投影圖性質(zhì)和畫(huà)法 三、特殊位置點(diǎn)的投影 特殊情況下,，點(diǎn)有可能處于投影面上,、投影軸上。 （1）在投影面上的點(diǎn)
（a） （b） 圖2.14 投影面及投影軸上的點(diǎn) 如圖2.14(a)所示,，點(diǎn)A,、B、C分別處于V面,、H面,、W面上,它們的投影如圖2.14(b)所示,，由此得出處于投影面上的點(diǎn)的投影性質(zhì)： 1.點(diǎn)的一個(gè)投影與空間點(diǎn)本身重合 2.點(diǎn)的另外兩個(gè)投影,，分別處于不同的投影軸上 （2）在投影軸上的點(diǎn) 如圖2.14所示，當(dāng)點(diǎn)D在OY軸上時(shí),，點(diǎn)D和它的水平投影,、側(cè)面投影重合于OY軸上，點(diǎn)D的正面投影位于原點(diǎn),。 據(jù)此可以得出在投影軸上的點(diǎn)的投影性質(zhì),。 四、兩點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn) （1）兩點(diǎn)相對(duì)位置的確定 立體上兩點(diǎn)間相對(duì)位置,，是指在三面投影體系中,，一個(gè)點(diǎn)處于另一個(gè)點(diǎn)的上、下,、左,、右、前,、后的問(wèn)題,。兩點(diǎn)相對(duì)位置可用坐標(biāo)的大小來(lái)判斷，Z坐標(biāo)大者在上,，反之在下,；Y坐標(biāo)大者在前，反之在后,；X坐標(biāo)大者在左,，反之在右。圖2.15中，A,、C兩點(diǎn)的相對(duì)位置 ：ZA﹥ZC,因此點(diǎn)A在點(diǎn)C之上,；YA﹥YC，點(diǎn)A在點(diǎn)C之前,；XA﹤XC,，點(diǎn)A在點(diǎn)C之右，結(jié)果是點(diǎn)在點(diǎn)C的右前上方,。 圖2.15 兩點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn) （2）重影點(diǎn) 當(dāng)空間兩點(diǎn)的某兩個(gè)坐標(biāo)相同,，即位于同一條投射線上時(shí)，它們?cè)谠撏渡渚€垂直的投影面上的投影重合于一點(diǎn),，此空間兩點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)該投影面的重影點(diǎn),。 如圖2.15中，A,、B兩點(diǎn)位于垂直于V面的同一條投射線上（XA=XB,，ZA=ZB），正面投影a′和b′重合于一點(diǎn),。由水平投影（或側(cè)面投影）可知YA﹥YB,，即點(diǎn)A在點(diǎn)B的前方。因此點(diǎn)B的正面投影b′被點(diǎn)A的正面投影a′遮擋,，是不可見(jiàn)的,，規(guī)定在b′上加圓括號(hào)以示區(qū)別。 總之,，某投影面上出現(xiàn)重影點(diǎn),，判別哪個(gè)點(diǎn)可見(jiàn)，應(yīng)根據(jù)它們相應(yīng)的第三個(gè)坐標(biāo)的大小來(lái)確定,，坐標(biāo)大的點(diǎn)是重影點(diǎn)中的可見(jiàn)點(diǎn),。 【例2.1】已知點(diǎn)B的正面投影b′及側(cè)面投影b″，試求其水平投影b,。 分析：根據(jù)點(diǎn)的三面投影的性質(zhì),，可以利用點(diǎn)B的正面投影和側(cè)面投影求出點(diǎn)B的水平投影b。 作圖：由于b與b′的連線垂直于OX軸,，所以b一定在過(guò)b′而垂直于OX軸的直線上,。又由于b至OX軸的距離必等于b″至OZ軸的距離，使bbx等于b″bz,，便定出了b的位置,，如圖2.16（b）所示。
(a) (b) 圖2.16 求第三投影 【例2.2】已知A（28,，0,，20）,、B（24，12,，12）,、C（24，24,，12）,、D（0，0,，28）四點(diǎn),，試在三投影面體系中作出直觀圖，并畫(huà)出投影圖,。 分析：由于把三投影面體系與空間直角坐標(biāo)系聯(lián)系起來(lái),，所以已知點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)就可以確定空間點(diǎn)在三投影面體系中的位置，此時(shí)點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)就是該點(diǎn)分別到三個(gè)投影面的距離,。 作圖：作直觀圖,，如圖2.17（a）所示，以B點(diǎn)為例,，在OX軸上量取24,，OY軸上量取12，OZ軸上量取12,，在三個(gè)軸上分別得到相應(yīng)的截取點(diǎn)bx,、by和bz,，過(guò)各截點(diǎn)作對(duì)應(yīng)軸的平行線,，則在V面上得到正面投影b′，在H面上得到水平投影b,，在W面上得到了側(cè)面投影b″,。 同樣的方法，可作出點(diǎn)A,、C,、D的直觀圖。其中A點(diǎn)在V面上（因?yàn)?em style='word-wrap: break-word;'>YA=0）,，其正面投影a′與A重合,，水平投影a在OX軸上，側(cè)面投影a″在OZ軸上,。D點(diǎn)在OZ軸上（XD=YD=0）,，其正面投影d′、側(cè)面投影d″與D點(diǎn)重合于OZ軸上,，水平投影d在原點(diǎn)O處,。 點(diǎn)B和點(diǎn)C有兩個(gè)坐標(biāo)相同（XB=XC,，ZB=ZC），所以它們是對(duì)V面的重影點(diǎn),。它們的第三個(gè)坐標(biāo)YB﹤YC,，正面投影c′可見(jiàn)，b′不可見(jiàn)加上圓括號(hào),。 根據(jù)各點(diǎn)的坐標(biāo)作出投影圖,，如圖2.17（b）。
(a) (b) 圖2.17 由點(diǎn)的坐標(biāo)作直觀圖和投影圖 |
