?。ㄒ唬皵?shù)學(xué)現(xiàn)實”原則 　

　　弗賴登塔爾認(rèn)為,，數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，存在于現(xiàn)實,，并且應(yīng)用于現(xiàn)實,，而且每個學(xué)生有各自不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”。數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實,，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實,。因此，在教學(xué)過程中,，教師應(yīng)該充分利用學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,，已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)的實際。在運用“現(xiàn)實的數(shù)學(xué)” 進(jìn)行教學(xué)時,，必須明確認(rèn)識以下幾點：
第一,，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來自于現(xiàn)實世界．把那些最能反映現(xiàn)代生產(chǎn)、現(xiàn)代社會生活需要的最基本,、最核心的數(shù)學(xué)知識和技能作為數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容．
第二,，數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容不能僅僅局限于數(shù)學(xué)內(nèi)部的內(nèi)在聯(lián)系,，還應(yīng)該研究數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界各種不同領(lǐng)域的外部關(guān)系和聯(lián)系,。這樣才能使學(xué)生一方面獲得既豐富多彩而又錯綜復(fù)雜的“現(xiàn)實的數(shù)學(xué)”內(nèi)容，掌握比較完整的數(shù)學(xué)體系．另一方面,，學(xué)生也有可能把學(xué)到的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于現(xiàn)實世界中去．
第三,，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該為所有的人服務(wù),，應(yīng)該滿足全社會各種領(lǐng)域的不同層次的人對數(shù)學(xué)的不同水平的需求。

?。ǘ皵?shù)學(xué)化”原則
弗賴登塔爾認(rèn)為,，數(shù)學(xué)教學(xué)必須通過數(shù)學(xué)化來進(jìn)行。
現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育所說的數(shù)學(xué)化有兩種形式：一是實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)化,，即發(fā)現(xiàn)實際問題中的數(shù)學(xué)成分,，并對這些成分做符號化處理；二是從符號到概念的數(shù)學(xué)化,，即在數(shù)學(xué)范疇之內(nèi)對已經(jīng)符號化了的問題作進(jìn)一步抽象化處理,。
對于前者，基本流程是：
1,、確定一個具體問題中包含的數(shù)學(xué)成分,；
2、建立這些數(shù)學(xué)成分與學(xué)生已知的數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系,；
3,、通過不同方法使這些數(shù)學(xué)成分形象化、符號化和公式化,；
4,、找出蘊含其中的關(guān)系和規(guī)則；
5,、考慮相同數(shù)學(xué)成分在其他數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域方面的體現(xiàn),；
6、作出形式化的表述,。
對于后者,，基本流程是：
1、用數(shù)學(xué)公式表示關(guān)系,；
2,、對有關(guān)規(guī)則作出證明；
3,、嘗試建立和使用不同的數(shù)學(xué)模型,；
4、對得出的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行調(diào)整和加工,；
5,、綜合不同數(shù)學(xué)模型的共性，形成功能更強(qiáng)的新模型,；
6,、用已知數(shù)學(xué)公式和語言盡量準(zhǔn)確的描述得到的新概念和新方法；
7,、作一般化的處理,、推廣,。
（三）“再創(chuàng)造”原則
弗賴登塔爾說的“再創(chuàng)造”，其核心是數(shù)學(xué)過程再現(xiàn),。學(xué)生“再創(chuàng)造”來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程實際上就是一個“做數(shù)學(xué)”(doing mathematics)的過程,，這也是目前數(shù)學(xué)教育的一個重要觀點。
需要特別注意的是,，弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論不是“教育學(xué)+ 數(shù)學(xué)例子”式的論述,， 而是抓住數(shù)學(xué)教育的特征，緊扣數(shù)學(xué)教育的特殊過程,，因而有“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”,、“數(shù)學(xué)化”、“數(shù)學(xué)反思”,、“思辯數(shù)學(xué)”等諸多特有的概念,。他的著作多數(shù)根據(jù)自己研究數(shù)學(xué)的體會，以及觀察兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)歷,，思辯性的論述比較多,。于是有人批評說弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論缺乏實踐背景和實驗數(shù)據(jù)。其實,，他的許多研究成果尚未被大家仔細(xì)研究,，有興趣的讀者不妨閱讀他的著作。
二,、波利亞的解題理論

（一）波利亞對數(shù)學(xué)教育的基本看法
　　波利亞認(rèn)為：中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的就是“教會年輕人思考”,，這種思考既是有目的的思考，產(chǎn)生式的思考,，也包括形式的和非形式的思維,。數(shù)學(xué)教育中注重培養(yǎng)學(xué)生的興趣、好奇心,、毅力,、情感

體驗等非智力品質(zhì)的重要性。
要成為一個好的解題者,，如果“頭腦不活動起來,是很難學(xué)到什么東西的,也肯定學(xué)不到更多的東西”,。“學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它”, 最富有成效的學(xué)習(xí)是學(xué)生自己去探索,、去“發(fā)現(xiàn)”,。
教學(xué)是一門藝術(shù)。教學(xué)過程本身應(yīng)該遵循一些規(guī)律性的東西,并尤其強(qiáng)調(diào)興趣對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性,。
（二）波利亞關(guān)于解題的研究
波利亞專門研究了解題的思維過程,，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題”表，并以例題表明這張表的實際應(yīng)用,。書中各部分基本上是配合這張表，是對該表的進(jìn)一步闡述和注釋,。
《怎樣解題》表包括“弄清問題”,、“擬定計劃”、“實現(xiàn)計劃”和“回顧”四個階段,?！芭鍐栴}”是認(rèn)識、并對問題進(jìn)行表征的過程,，應(yīng)成為成功解決問題的一個必要前提,；“擬定計劃”是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容；“實現(xiàn)計劃”較為容易,，是思路打通之后具體實施信息資源的邏輯配置,；“回顧”是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來,。其中,，他對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。
他指出尋找解法實際上就是“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系,，如果找不出直接聯(lián)系,，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個求解計劃,?！彼€把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和23個具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程的“慢動作鏡頭”,，使我們對解題的思維過程看得見,，摸得著。

三,、 建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)教育理論
（一）建構(gòu)主義概述
建構(gòu)主義(constructivism)有時候也譯作結(jié)構(gòu)主義,，理論根源可追溯到2500多年前。現(xiàn)代建構(gòu)主義主要是吸收了杜威的經(jīng)驗主義和皮亞杰的結(jié)構(gòu)主義與發(fā)生認(rèn)識論等思想,，并在總結(jié)60年代以來的各種教育改革方案的經(jīng)驗基礎(chǔ)上演變和發(fā)展起來的,。
在教育領(lǐng)域中常常談?wù)摰慕?gòu)主義具有認(rèn)知理論和方法論的雙重身份。

1,、數(shù)學(xué)知識是什么
·數(shù)學(xué)知識不是對現(xiàn)實的純粹客觀的反映,，任何一種傳載知識的符號系統(tǒng)也不是絕對真實的表征，它只不過是人們對客觀世界的一種

解釋,、假設(shè)或假說,。它不是問題的最終答案，它必將隨著人們認(rèn)識程度的深入而不斷地變革、升華和改寫,，出現(xiàn)新的解釋和假設(shè),。
·數(shù)學(xué)知識不可能以實體的形式存在于個體之外，真正的理解只能是由學(xué)習(xí)者自身基于自己的經(jīng)驗背景而建構(gòu)起來的,，取決于特定情況下的學(xué)習(xí)活動過程,。否則，就不叫理解,，而是叫死記硬背或生吞活剝,，是被動的復(fù)制式的學(xué)習(xí)。
2,、學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)
·學(xué)習(xí)不是由教師把知識簡單地傳遞給學(xué)生,，而是由學(xué)生自己建構(gòu)知識的過程。學(xué)生不是簡單被動地接收信息,，而是主動地建構(gòu)知識的意義,，這種建構(gòu)是無法由他人來代替的。
·學(xué)習(xí)不是被動接收信息刺激,，而是主動地建構(gòu)意義,，是根據(jù)自己的經(jīng)驗背景,對外部信息進(jìn)行主動地選擇、加工和處理,，從而獲得自己的意義,。外部信息本身沒有什么意義，意義是學(xué)習(xí)者通過新舊知識經(jīng)驗間的反復(fù)的,、雙向的相互作用過程而建構(gòu)成的,。因此，學(xué)習(xí)不是象行為主義所描述的“刺激—反應(yīng)”那樣,。
·學(xué)習(xí)意義的獲得,，是每個學(xué)習(xí)者以自己原有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，對新信息重新認(rèn)識和編碼,，建構(gòu)自己的理解,。在這一過程中，學(xué)習(xí)者原有的知識經(jīng)驗因為新知識經(jīng)驗的進(jìn)入而發(fā)生調(diào)整和改變,。
3,、教師如何開展課堂教學(xué)
與傳統(tǒng)教學(xué)的三個假設(shè)相對應(yīng)的是，建構(gòu)主義指導(dǎo)下的課堂教學(xué)是基于如下三個基本假設(shè)：
·教師必須建立學(xué)生理解數(shù)學(xué)的模式,。教師應(yīng)該建立反映每個同學(xué)建構(gòu)狀況的“卷宗”,，以便判定每個學(xué)生建構(gòu)能力的強(qiáng)弱；
·教學(xué)是師生,、生生之間的互動,；
·學(xué)生自己決定建構(gòu)是否合理,。
根據(jù)上述教學(xué)目的和假設(shè)，一個數(shù)學(xué)教師在建構(gòu)主義的課堂上就需要做以下六件事：
·加強(qiáng)學(xué)生的自我管理和激勵他們?yōu)樽约旱膶W(xué)習(xí)負(fù)責(zé),；
·發(fā)展學(xué)生的反省思維,；
·建立學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)的“卷宗”；
·觀察與參與學(xué)生嘗試,、辨認(rèn)與選擇解題途徑的活動,；
·反思與回顧解題途徑；
·明確活動,、學(xué)習(xí)材料的目的。
需要強(qiáng)調(diào)的是：對于建構(gòu)主義學(xué)說,， 我們應(yīng)當(dāng)吸取精華,，拒絕一些“極端的”、“唯心”的成分,， 以便真正有助于我國的教育改革,。