在高三復(fù)習(xí)過程中經(jīng)常碰到有關(guān)求某曲線上的一個動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和（差）的最值．許多同學(xué)在面對此類問題時感到束手無策，無從下手,。本文就此類最值問題常見題型作初步探索,。

一、直線上的動點(diǎn)到直線外兩個定點(diǎn)的距離之和（差）的最值．

例1?。?/span>1）已知點(diǎn)A(1,，1)，點(diǎn)B(3,，-2),，P是x軸上任意一點(diǎn)，則PA+PB的最小值為          ,，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為           ,；

（2）已知點(diǎn)A(1，1),，點(diǎn)B(3,，2),，P是x軸上任意一點(diǎn)，則PB-PA的最大值為          ,，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為           ．

解析：（1）如圖1,，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動時，PA+PB?AB(當(dāng)且僅當(dāng)A,，P,，B三點(diǎn)共線時等號成立)  

 \(PA+PB)_min =AB=

        此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（2）如圖2,，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動時,，PB- PA ?AB(當(dāng)且僅當(dāng)A，P,，B三點(diǎn)共線時等號成立)

       \(PB-PA)_max =AB=

        此時,，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

變題：（1）已知點(diǎn)A(1，1),，點(diǎn)B(3,，2)，P是x軸上任意一點(diǎn),，則PA+PB的最小值為          ,，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為           ；

解析：（1）如圖3,，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B?（3,，-2），則有PB=PB?

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動時,，PA+PB=PA+PB??AB?

(當(dāng)且僅當(dāng)A,，P，B?三點(diǎn)共線時等號成立)

       \(PA+PB)_min =AB?=

        此時,，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（2）已知點(diǎn)A(1,，1)，點(diǎn)B(3,，-2),，P是x軸上任意一點(diǎn)，則PB-PA

的最大值為          ,，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為         ．

解析：（2）如圖4,，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B?,，則有PB=PB?

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動時,，PB- PA= PB?- PA ?AB?

(當(dāng)且僅當(dāng)A，P,，B?三點(diǎn)共線時等號成立)

       \(PB-PA)_max =AB?=

        此時,，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

歸納：①當(dāng)兩定點(diǎn)位于直線的異側(cè)時可求得動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的最小值,；

      ②當(dāng)兩定點(diǎn)位于直線的同側(cè)時可求得動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的絕對值的最大值．

若不滿足①②時，可利用對稱性將兩定點(diǎn)變換到直線的同（異）側(cè),，再進(jìn)行求解．如變題的方法．

例2　函數(shù)的值域?yàn)?/span>                    ．

解析：將函數(shù)進(jìn)行化簡得：

即為動點(diǎn)P（x,，0）到兩定點(diǎn)A(1，1),、B（3,，-2）的距離之和．由例1可知：

該值域?yàn)?/span>

二、圓錐曲線上的動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之和（差）的最值．

（一）直接求解或利用橢圓（或雙曲線）的定義進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化后求解．

例3?。?/span>1）已知A(4,，0)和B(2，2),，M是橢圓上的動點(diǎn),，則MA-MB的范圍是          ；

解析：(1)如圖5,，在DMAB中有MA-MB<AB,，當(dāng)M，A,，B三點(diǎn)共線且MB>MA即點(diǎn)M位于M₂處時,，有MA-MB=AB，所以MA-MB?AB,；同理在DMAB中有MB-MA?AB,，即MB-MA?-AB(當(dāng)點(diǎn)M位于M₁處時等號成立)

綜上所述：-AB?MA-MB?AB

（2）已知A(4，0)和B(2,，2),，M是橢圓上的動點(diǎn)，則MA+MB的最大值是          ．

解析：(2) 如圖6,，因?yàn)辄c(diǎn)A恰為橢圓的右焦點(diǎn),，所以          由橢圓的定義可得MA+MB=10-MF+MB（F為橢圓的左焦點(diǎn)），同（1）可得MB-MF?BF(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)M₄處時,，等號成立)所以(MA+MB)_max =(10-MF+MB)_max=10+BF=10+

點(diǎn)評：因?yàn)辄c(diǎn)A,，B都在橢圓的內(nèi)部（即兩定點(diǎn)都在曲線的同側(cè)），故可直接求出動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A,，B的距離之差的最值,；若要求動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A，B的距離之和的最值（其中A恰為焦點(diǎn)）,，需要利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F,，B的距離之差的最值（點(diǎn)F為另一焦點(diǎn)）．

例4　(1)已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，A(4,，1),，P是雙曲線右支上的動點(diǎn),，則PA+PF的最小值為          ；

解析：(1)如圖7,，在DPAB中有PA+PF>AB,，當(dāng)P，A,，F三點(diǎn)共線即點(diǎn)P位于P₁處時,，有PA+PF=AF，

所以(PA+PF)_min=AF=．

(2)已知F是雙曲線的左焦點(diǎn),，A(1,，4)，P是雙曲線右支上的動點(diǎn),，則PA+PF的最小值為        ．

解析：(2)如圖8,，設(shè)F₂是雙曲線的右焦點(diǎn)，由雙曲線的定義可得PA+PF=PA+2a+PF₂=8+ PA+PF₂?8+AF₂(當(dāng)P,，A,，F₂三點(diǎn)共線即點(diǎn)P位于P₂處時等號成立)，

所以(PA+PF)_min=8+AF₂=13．

點(diǎn)評：本題需要特別關(guān)注點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系,，兩定點(diǎn)一定要在動點(diǎn)的軌跡（曲線）的異側(cè)．

（二）利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義將圓錐曲線上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離進(jìn)行互化后進(jìn)行求解．

例5?。?/span>1）已知點(diǎn)A(2，2),，F是橢圓的右焦點(diǎn),，P是橢圓上的動點(diǎn)，則PF+PA的最小值是          ,，此時,，點(diǎn)的坐標(biāo)為            ；

解析：如圖9,，設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為PP?,，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，

即(當(dāng)且僅當(dāng)A,，P,，P?三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P位于點(diǎn)P₁處時取等號)

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,，2).

（2）已知點(diǎn)A(5,，2)，F是雙曲線的右焦點(diǎn),，P是雙曲線上的動點(diǎn),，則PF+PA的最小值是          ，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為            ．

解析：如圖10,，設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為PP?,，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，

 即(當(dāng)且僅當(dāng)A,，P,，P?三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P位于點(diǎn)P₁處時取等號)

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,，2)

點(diǎn)評：此類最顯著的特征是動點(diǎn)與焦點(diǎn)距離前有系數(shù),，可以利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義將動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離．

例6　（1）拋物線的焦點(diǎn)為F,，A(4,，-2)為一定點(diǎn)，在拋物線上找一點(diǎn)M,，當(dāng)MA+MF為最小值時,，點(diǎn)M的坐標(biāo)為             ；

解析：如圖11,，為拋物線的準(zhǔn)線,，MM?為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離．利用拋物線的定義：MF=MM?，可得MA+MF= MA+MM??AM?（當(dāng)且僅當(dāng)A,，M,，M?三點(diǎn)共線時等號成立，即當(dāng)點(diǎn)M在M?處時等號成立）

此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(,，-2)

（2）P為拋物線上任一點(diǎn),，A(3，4)為一定點(diǎn),，過P作PP?垂直y軸于點(diǎn)P?,，則AP+ PP?的最小值為           ．

解析：如圖12，延長PP?交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)P??,，

由拋物線的定義：PP?=PF,，所以AP+ PP?= AP+ PP??-1= AP+PF-1?AF-1(當(dāng)且僅當(dāng)A，P,，F三點(diǎn)共線時等號成立,，即當(dāng)點(diǎn)P位于P₁處時等號成立)

點(diǎn)評：本題需要注意兩點(diǎn)：①定點(diǎn)所在位置是拋物線的內(nèi)部還是外部；②利用拋物線的定義將動點(diǎn)（在拋物線上）到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行互化．