我們經(jīng)常碰到有關(guān)求某曲線上的一個動點到兩定點的距離之和（差）的最值．許多同學在面對此類問題時感到束手無策,，無從下手。本文就此類最值問題常見題型作初步探索,。

一,、直線上的動點到直線外兩個定點的距離之和（差）的最值．

例1　（1）已知點A(1,，1),，點B(3，-2),，P是x軸上任意一點,，則PA+PB的最小值為          ，此時點P的坐標為           ,；

（2）已知點A(1,，1)，點B(3,，2),，P是x軸上任意一點，則PB-PA的最大值為          ,，此時點P的坐標為           ．

解析：（1）如圖1,，當點P在x軸上運動時，PA+PB?AB(當且僅當A,，P,，B三點共線時等號成立)  

 \(PA+PB)_min =AB=

        此時，點P的坐標為

（2）如圖2,，當點P在x軸上運動時,，PB- PA ?AB(當且僅當A,，P，B三點共線時等號成立)

       \(PB-PA)_max =AB=

        此時,，點P的坐標為

變題：（1）已知點A(1,，1)，點B(3,，2),，P是x軸上任意一點，則PA+PB的最小值為          ,，此時點P的坐標為           ,；

解析：（1）如圖3，作點B關(guān)于x軸的對稱點B?（3,，-2）,，則有PB=PB?

當點P在x軸上運動時，PA+PB=PA+PB??AB?

(當且僅當A,，P,，B?三點共線時等號成立)

       \(PA+PB)_min =AB?=

        此時，點P的坐標為

（2）已知點A(1,，1),，點B(3，-2),，P是x軸上任意一點,，則PB-PA

的最大值為          ，此時點P的坐標為         ．

解析：（2）如圖4,，作點B關(guān)于x軸的對稱點B?,，則有PB=PB?

當點P在x軸上運動時，PB- PA= PB?- PA ?AB?

(當且僅當A,，P,，B?三點共線時等號成立)

       \(PB-PA)_max =AB?=

        此時，點P的坐標為

歸納：①當兩定點位于直線的異側(cè)時可求得動點到兩定點的距離之和的最小值,；

      ②當兩定點位于直線的同側(cè)時可求得動點到兩定點的距離之和的絕對值的最大值．

若不滿足①②時,，可利用對稱性將兩定點變換到直線的同（異）側(cè)，再進行求解．如變題的方法．

例2　函數(shù)的值域為                    ．

解析：將函數(shù)進行化簡得：

即為動點P（x,，0）到兩定點A(1,，1)、B（3,，-2）的距離之和．由例1可知：

該值域為

二、圓錐曲線上的動點到兩個定點的距離之和（差）的最值．

（一）直接求解或利用橢圓（或雙曲線）的定義進行適當轉(zhuǎn)化后求解．

例3?。?）已知A(4,，0)和B(2，2)，M是橢圓上的動點,，則MA-MB的范圍是          ,；

解析：(1)如圖5，在DMAB中有MA-MB<AB,，當M,，A，B三點共線且MB>MA即點M位于M₂處時,，有MA-MB=AB,，所以MA-MB?AB；同理在DMAB中有MB-MA?AB,，即MB-MA?-AB(當點M位于M₁處時等號成立)

綜上所述：-AB?MA-MB?AB

（2）已知A(4,，0)和B(2，2),，M是橢圓上的動點,，則MA+MB的最大值是          ．

解析：(2) 如圖6，因為點A恰為橢圓的右焦點,，所以          由橢圓的定義可得MA+MB=10-MF+MB（F為橢圓的左焦點）,，同（1）可得MB-MF?BF(當且僅當點M位于點M₄處時，等號成立)所以(MA+MB)_max =(10-MF+MB)_max=10+BF=10+

點評：因為點A,，B都在橢圓的內(nèi)部（即兩定點都在曲線的同側(cè)）,，故可直接求出動點M到兩定點A，B的距離之差的最值,；若要求動點M到兩定點A,，B的距離之和的最值（其中A恰為焦點），需要利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為動點M到兩定點F,，B的距離之差的最值（點F為另一焦點）．

例4　(1)已知F是雙曲線的左焦點,，A(4，1),，P是雙曲線右支上的動點,，則PA+PF的最小值為          ；

解析：(1)如圖7,，在DPAB中有PA+PF>AB,，當P，A,，F(xiàn)三點共線即點P位于P₁處時,，有PA+PF=AF，

所以(PA+PF)_min=AF=．

(2)已知F是雙曲線的左焦點,，A(1,，4),，P是雙曲線右支上的動點，則PA+PF的最小值為        ．

解析：(2)如圖8,，設(shè)F₂是雙曲線的右焦點,，由雙曲線的定義可得PA+PF=PA+2a+PF₂=8+ PA+PF₂?8+AF₂(當P，A,，F(xiàn)₂三點共線即點P位于P₂處時等號成立),，

所以(PA+PF)_min=8+AF₂=13．

點評：本題需要特別關(guān)注點與雙曲線的位置關(guān)系，兩定點一定要在動點的軌跡（曲線）的異側(cè)．

（二）利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義將圓錐曲線上的動點到焦點的距離與到相應準線的距離進行互化后進行求解．

例5?。?）已知點A(2,，2)，F(xiàn)是橢圓的右焦點,，P是橢圓上的動點,，則PF+PA的最小值是          ，此時,，點的坐標為            ,；

解析：如圖9，設(shè)點P到右準線的距離為PP?,，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知,，

即(當且僅當A，P,，P?三點共線,，即點P位于點P₁處時取等號)

此時點P的坐標為P(，2).

（2）已知點A(5,，2),，F(xiàn)是雙曲線的右焦點，P是雙曲線上的動點,，則PF+PA的最小值是          ,，此時點的坐標為            ．

解析：如圖10，設(shè)點P到右準線的距離為PP?,，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知,，

 即(當且僅當A，P,，P?三點共線,，即點P位于點P₁處時取等號)

此時點P的坐標為P(，2)

點評：此類最顯著的特征是動點與焦點距離前有系數(shù),，可以利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義將動點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到相應準線的距離．

例6?。?）拋物線的焦點為F，A(4,，-2)為一定點,，在拋物線上找一點M,，當MA+MF為最小值時,，點M的坐標為             ,；

解析：如圖11，為拋物線的準線,，MM?為點M到準線的距離．利用拋物線的定義：MF=MM?,，可得MA+MF= MA+MM??AM?（當且僅當A，M,，M?三點共線時等號成立,，即當點M在M?處時等號成立）

此時點M的坐標為M(，-2)

（2）P為拋物線上任一點,，A(3,，4)為一定點，過P作PP?垂直y軸于點P?,，則AP+ PP?的最小值為           ．

解析：如圖12,，延長PP?交拋物線的準線于點P??，

由拋物線的定義：PP?=PF,，所以AP+ PP?= AP+ PP??-1= AP+PF-1?AF-1(當且僅當A,，P，F(xiàn)三點共線時等號成立,，即當點P位于P₁處時等號成立)

點評：本題需要注意兩點：①定點所在位置是拋物線的內(nèi)部還是外部,；②利用拋物線的定義將動點（在拋物線上）到焦點與到準線的距離進行互化．

課堂教學中，要發(fā)揮好教師的作用:

     教師是學生學習的組織者,、合作者,、幫助者和促進者。在整個的課堂教學中,，教師應采用多種教學策略,，促進了學生的自主學習.  

    在學生匯報的課中，教師應舉一些生活中的例子,，起到拋磚引玉的作用,，讓學生發(fā)散思維，提出許多新的,、有意義的例子,，作為問題分析的主題和切入點。

    在以學生匯報為主的課中,，教師的引導作用更為重要,。首先,引導學生用數(shù)學的眼光觀察生活，發(fā)現(xiàn)或提出切合學生知識與能力的問題,；其次,，通過分析,，確定解決該問題的不同方案；然后,，讓學生運用數(shù)學知識解決問題,；最后再展示成果、交流在解決問題中對函數(shù)的認識,。在學生的匯報過程中,，教師還應把握函數(shù)思維的大方向，以防學生在函數(shù)問題的分析和思考中出現(xiàn)錯誤,。

    學生匯報完成以后,，教師應指導學生對回報的成果進行總結(jié)，讓學生能夠?qū)瘮?shù)問題有一個整體的認識,。在學生總結(jié)過后,，教師要對學生的匯報和總結(jié)作評價，并且引導學生對匯報中出現(xiàn)的一些錯誤或問題進行糾正,，并分析問錯誤或問題產(chǎn)生的原因,，追根溯源，從根本上解決問題,。

    這樣,，在以學生匯報為主的課中，同時融入函數(shù)思想的價值和函數(shù)應用的價值,，用數(shù)學解決問題,，很好的達到新課標中對學生掌握知識的要求。

    教師是一個課堂課教學程序的設(shè)計者，還是學生學習的‘指導者’和‘幫助者’,。 教師的主導作用要充分發(fā)揮,，應該提高學生學習的興趣，給學生一個機會,，讓他們有成功感和收獲感,。教師作為主導不光是內(nèi)容上的主導，更應該在教師的幫助下,，發(fā)揮學生的主體作用,，給學生留更多的時間去展現(xiàn)自我。在教學過程中應與學生積極互動,，共同發(fā)展,，要處理好傳授知識與培養(yǎng)能力的關(guān)系，注重培養(yǎng)學生的獨立性和自主性，引導學生質(zhì)疑,、調(diào)查,、探究，在實踐中學習,，促進學生在教師指導下,，主動地,、富有個性地學習,。在教學過程中實現(xiàn)師生互動的要求：尊重、贊賞、寬容的師生關(guān)系,；學關(guān)系上，注重幫助,、引導,、交往；對待自我上,，做到設(shè)疑,、反思、創(chuàng)新,。 以學生為主的教學模式,，是新課改的基本理念，本節(jié)課以學生討論為主,，突出學生在本課中的主體作用,。教師的作用主要體現(xiàn)在兩個方面：

   一是提出問題：教師應首先舉一些生活中的例子，讓學生發(fā)散思維,，提出許多新的,、有意義的例子，作為問題分析 的主題和切入點,。

   二是引導學生分析：首先,引導學生用數(shù)學的眼光觀察生活,，發(fā)現(xiàn)或提出切合學生知識與能力的問題；

      其次,，通過分析,，確定解決該問題的不同方案；然后,，讓學生運用數(shù)學知識解決問題,；最后再展示成果、交流在解決問題中對函數(shù)的認識,。在學生的匯報過程中,，教師還應把握函數(shù)思維的大方向，以防學生在函數(shù)問題的分析和思考中出現(xiàn)錯誤,。討論以及對結(jié)果做出客觀的評價,。通過教與學的過程是學生經(jīng)歷同伴間的協(xié)作分工,、合作交流、爭辯,、研討的學習過程,，從而積累數(shù)學活動中的經(jīng)驗。從而使學生用初等函數(shù)近似表示實際問題的變化規(guī)律,。學生匯報完成以后,，教師應指導學生對回報的成果進行總結(jié)，讓學生能夠?qū)瘮?shù)問題有一個整體的認識,。

“函數(shù)的應用”,，本節(jié)課以學生討論為主，突出學生在本課中的主體作用,。

教師的作用主要體現(xiàn)在兩個方面：

教師應首先舉一些生活中的例子,，起到拋磚引玉的作用，讓學生發(fā)散思維,，提出許多新的,、有意義的例子，

作為問題分析的主題和切入點,。引導學生分析:

首先,引導學生用數(shù)學的眼光觀察生活,，發(fā)現(xiàn)或提出切合學生知識與能力的問題；

其次,，通過分析,，確定解決該問題的不同方案；

然后,，讓學生運用數(shù)學知識解決問題,；

最后再展示成果、交流在解決問題中對函數(shù)的認識,。

在學生的匯報過程中,，教師還應把握函數(shù)思維的大方向，以防學生在函數(shù)問題的分析和思考中出現(xiàn)錯誤,。

討論以及對結(jié)果做出客觀的評價,。通過教與學的過程是學生經(jīng)歷同伴間的協(xié)作分工、合作交流,、爭辯,、研討

的學習過程，從而積累數(shù)學活動中的經(jīng)驗。從而使學生用初等函數(shù)近似表示實際問題的變化規(guī)律,。學生匯報

完成以后,，教師應指導學生對回報的成果進行總結(jié)，讓學生能夠?qū)瘮?shù)問題有一個整體的認識,。在學生總結(jié)

過后,，教師要對學生的匯報和總結(jié)作評價，并且引導學生對匯報中出現(xiàn)的一些錯誤或問題進行糾正,，并分析

問錯誤或問題產(chǎn)生的原因,，追根溯源，從根本上解決問題,。

    假設(shè)檢驗的基本思想是小概率反證法思想,。小概率思想是指小概率事件（P<0.01或P<0.05）在一次試驗中基本上不會發(fā)生。反證法思想是先提出假設(shè),，再用適當?shù)慕y(tǒng)計方法確定假設(shè)成立的可能性大小,，如可能性小,則認為假設(shè)不成立，若可能性大,，則還不能認為假設(shè)不成立。

案例：某地區(qū)羊患某種病的概率是0.25,，且每頭羊患病與否是彼此獨立的,。今研制一種新的預防藥，任選12頭羊做實驗,，結(jié)果這12頭羊服用此藥后均未患病,。問此藥是否有效？

    初看起來,，會認為這藥一定有效,，因為服藥的羊均未患病。但細想一下,，會有問題,，因為大部分羊不服

藥也不會患病，患病的羊只占?左右,。這12頭羊都未患病,，未必是藥的作用。分析這問題的一個自然想法是：若藥無效,，隨機抽取12頭羊都不患病的可能性大不大,。若這件事發(fā)生的概率很小，幾乎不會發(fā)生,，那么現(xiàn)在我們這幾頭羊都未患病,，應該是藥的效果，即藥有效。

現(xiàn)假設(shè)藥無效,，在此假設(shè)下令X表示任取12頭羊中患病的頭數(shù),，則X服從n=12,p=0.25的二項分布。即：

這個概率很小,，該事件幾乎不會發(fā)生,，但現(xiàn)在它確實發(fā)生了，說明我們的假設(shè)不對,，藥是有效的,。

這里的分析思想有些象反證法，但并不相同,。給定假設(shè)后,，我們發(fā)現(xiàn)，一個概率很小幾乎不會發(fā)生的事件卻發(fā)生了,，從而否定我們的“假設(shè)”,。

應該指出的是，當我們作出判斷“藥是有效的”時,，是可能犯錯誤的,。犯錯誤的概率是0.032。也就是說,，我們有近97%的把握認為藥是有效的,。

察爾汗鹽湖位于青海西部的柴達木盆地，是中國最大的鹽湖,，也是世界上最著名的內(nèi)陸鹽湖之一,，距西寧750公里。鹽湖東西長160多公里,，南北寬20—40公里,，鹽層厚約為2—20米，面積5800平方公里,，海拔2670米,。湖中儲藏著500億噸以上的氯化鈉，可供全世界的人食用1000年,。還出產(chǎn)聞名于世的光鹵石,，它晶瑩透亮，十分可愛,。伴生著鎂,、鋰、硼,、碘等多種礦產(chǎn),，鉀,、鹽資源極為豐富。

　　又名察爾汗鹽池,。海拔最低點為2200多米,，由達布遜、南霍布遜,、北霍布遜,、澀聶4個鹽湖匯聚而成。格爾木河,、素棱果勒河等10多條內(nèi)陸河注入,。由于降水量極少，大量水分通過蒸發(fā)流失,，形成深厚的鹽層,，湖內(nèi)鹽蓋厚30米左右，最厚處達60米,。其主要成分是氯化鈉,、氯化鉀、氯化鎂,，儲量達20多億噸,。青藏公路和青藏鐵路通過鹽湖，路基全是用鹽鋪成,，長32千米,，分別被稱為萬丈鹽橋和鋼鐵彩虹。

　　“察爾汗”是蒙古語,，意為“鹽澤”。鹽湖地處戈壁瀚海,，這里氣候炎熱干燥,，日照時間長，水份蒸發(fā)量遠遠高于降水量,。因長期風吹日曬,，湖內(nèi)便形成了高濃度的鹵水，逐漸結(jié)晶成了鹽粒,，湖面板結(jié)成了厚厚的鹽蓋,，異常堅硬。令人難以置信的是鹽湖上還有一條長32公里的公路和鐵路穿行而過,，是一座浮在鹵水上的“萬丈鹽橋”,，公路和鐵路是格爾木至敦煌公路的一段和青藏鐵路的一段。

　　格爾木蒙古語意為“河流密集的地方”,，境內(nèi)的察爾汗鹽湖是世界上最大的鹽湖,，面積5658平方公里,，是我國最大的鉀鎂鹽礦床，各種鹽總儲量超過600億噸,，鉀肥年產(chǎn)量超過400萬噸,。

這是一個神奇的樹種，它的生長總是和鳳凰與鮮血緊密相連……這是一個多變的樹種,，春夏為綠色,，深秋為黃色，冬天為紅色……這是一個堅強的樹種,，活著三千年不死,、死后三千年不倒、倒后三千年不朽……

為期幾十天的研修就要結(jié)束了,，回顧這幾十天的培訓,，有汗水，更有收獲,。在這幾十天培訓中,，我聆聽了名師精彩的講座，感受了教學名師的風采,，也更新了教學觀念,。各位專家的精彩講座和指導老師的點評給了我很多啟示，讓我受益匪淺,，更激起了我的反思,。反思是教師的一塊“自留地”,，只有不斷耕耘，才能檢討自己的教育理念與行為,，只有不斷的更新自己的知識,，不斷提高自身素質(zhì)，不斷的完善自己,，才能教好學生,。也學習了很多很有用的教學思路，對教學有了總體的把握,，并對各個單元的重點進行了研討和探究,。通過完成作業(yè)，讓我們對教學的思路和方法有了更深的思考,；通過在線研討,，我們把平常存在的問題提出來，大家互相幫忙,，相互解決,；通過專家和指導老師的點評，讓我們找到了自己的優(yōu)點和不足,，為今后我們的教學指明了方向,。

1、通過培訓我認識到：在今后的教學中,，應立足于自己的本職工作,，加強理論學習，轉(zhuǎn)變教育教學觀念,，積極實踐新課改,，鋪設(shè)好自己的專業(yè)化發(fā)展之路。

2,、通過培訓學習,，我深深地認識到課程是要面向全體學生的，是要考慮到學生的個別差異性的,。因此，我們要改變教師的角色,，成為學生的朋友,。教師要學會欣賞每一位學生，發(fā)現(xiàn)每一位學生的閃光點,。在老師的關(guān)注中,，學生不僅會喜歡老師，喜歡上課,，產(chǎn)生融洽和諧的師生情感,，還會在課堂上積極表現(xiàn),，快樂愉快地去學習。

培訓是結(jié)束了,，但是真正的歷程才剛剛開始,，教師的學習和教學研究是無止境的，這還需要自己在以后的教學中不斷的充實自己,，不斷的學習,，不斷的提升，不斷加強修養(yǎng)才能勝任教育這項工作,。正如有的老師所說的,，培訓收獲不是一篇文章了得，重要的是在以后的教學中能發(fā)揮作用,，這才是培訓的真正目的,。

陰雨天氣終于在今天被陽光趕走，培訓在這樣晴朗的夏日結(jié)束,，有迷茫有抱怨有遺憾有失落,，有欣喜有快樂有滿足有不舍。就這樣吧,，這段讓我歡喜讓我憂的培訓告終,，我會攜著這些未曾遺失的美好繼續(xù)上路。