“奇文共欣賞，疑義相與析”,，這兩句詩是晉代著名作家和詩人陶淵明在第一首《移居》詩中的最后兩句,，意思是共同欣賞詩文、分析疑難之意.2011年高考已落下帷幕,，其中全國大綱卷理科第12題似曾相識,，原來該題與08浙江卷理科第9題和10年浙江卷理科第16題，都是以平面向量為背景的最值問題,， 雖然題設(shè)條件各異構(gòu)思各有千秋,，但命題都以能力立意，重點考查靈活運用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決問題的能力,，其解題入口較寬方法多樣,，對學(xué)生綜合素質(zhì)的考查具有異曲同工之妙，“佳題共頎賞,，解法相與析”,，下面將這三道考題及其解法一一呈現(xiàn)出來與大家分享.

考題1（08年浙江卷理科第9題）已知是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,，則的最大值是（    ）

解法1（代數(shù)法）依題意,，由得，,，所以 .又,，所以有即，解得,，故選.

點評 代數(shù)法的難點和關(guān)鍵是要將向量運算轉(zhuǎn)化為數(shù)的運算,，最終將等式轉(zhuǎn)化為不等式從而使問題獲解.

解法2（坐標(biāo)法）作， 并分別以作為軸,，則,，設(shè)，于是,，整理得點的軌是一個圓.所以表示該圓上的點到原點的距離,，所以的最大值是該圓的直徑，故選擇.

點評  本解法通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo),， 運用數(shù)形結(jié)合思想將向量問題代數(shù)化幾何化,，從而使問題得以解決.

解法3（幾何法）如圖1,，作，則

,，,，依題意，所以               

四點在以為直徑的圓上,，所以,，故選.

   　　　　 圖1

點評  該解法將向量問題幾何化，以形助數(shù)解法直觀簡明.

考題2（10年浙江卷理科第16題）已知平面向量滿足,，且與的夾角為,，則的取值范圍是＿＿

解法1（代數(shù)法）因為，所以,，又與的夾角為,，故有，即,，因為這個關(guān)于的一元二次方程有實根,，所以，

解得又,，又,，故的取值范圍是.

解法2（坐標(biāo)法）如圖2，作平行四邊形,，使，

   　　圖2

由向量加法的平行四邊形法則知,，.

以點為坐標(biāo)原點,，以所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，

依題意,，則,，因為直線的傾斜角為，所以,，所以,，又因為，所以,，所以,，所以，故的取值范圍是.

點評 本解法綜合運用數(shù)形結(jié)合思想,、函數(shù)方程思想和化歸轉(zhuǎn)化思想,，靈活運用坐標(biāo)法，將向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題,，將求的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域問題致使問題順利解決.

解法3  如圖2,，在直角坐標(biāo)系中作,，因為，所以點在單位圓上.又,，而與的夾角為,，故直線的傾斜角為，則其斜率為,，故直線為,，因該直線與單位圓有公共點，所以圓心到直線的距離不大于半徑,，即,，解得，故的取值范圍是.

點評  本解法根據(jù)直線與圓有公共點,，所以圓心到直線的距離不大于半徑列不等式,，從而求出取值范圍.

解法4（幾何法）如圖2，作平行四邊形,，使,，由向量加法的平行四邊形法則知，,，因為,，所以點在以點為圓心半徑為1中心角為的弧上（端點除外）.由圖可知當(dāng)與圓相切于點時最大，其值為,，故的取值范圍是.

評析  本解法是極富創(chuàng)新意識的構(gòu)造性解法,，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造圖形，并讓部分圖形動起來,，使問題變成一個動態(tài)幾何問題,，然后觀察圖形的運動變化，從而得出問題的直觀解法.

考題3（2011年高考全國大綱卷理科第12題）設(shè)向量滿足,，則的最大值等于(  )

命題意圖與參考答案如下：

【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積知識與均值不等式的綜合運用能力,，能夠有效地考查考生對數(shù)學(xué)知識的掌握情況以及應(yīng)用能力.

【解析】依題意得，.一方面,，由向量數(shù)量積的法則得,，;另一方面，由向量數(shù)量積的定義及均值不等式得,，,，所以，于是有

,，即,，解得，即的最大值是2,，故選.

       上述解法的核心部分是,，將最值問題轉(zhuǎn)化為不等式求解,，其中用到了均值不等式、數(shù)量積不等式以及解不等式等有關(guān)知識,，對能力要求較高.下面我們運用數(shù)形結(jié)合思想,，根據(jù)向量的模、夾角,、減法運算和數(shù)量積的幾何意義構(gòu)造平面幾何圖形,，將向量問題幾何化給出該題的一個直觀解法.

【另解】如圖3，作,，并使,，

              圖3

以為弦作弧并使該弧所含圓周角為，設(shè)點為弧上任意一點(除外),，則,，設(shè)，則,，所以.由圖知當(dāng)點為弧的中點時,，最大其值為弧所在圓的直徑，易求得,，由正弦定理  得,，，故選.

向量集數(shù)與形于一身,，是考查向量知識和數(shù)形結(jié)合思想的絕好載體,，倍受命題人青睞，這三道不同年度的高考題如同云南的“三道茶”各具特色耐人品味.數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想,，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚有詩云:“數(shù)缺形時不直觀,，形無數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好,，隔裂分家萬事休”.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形,、位置關(guān)系結(jié)合起來,，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化,，抽象問題具體化,，從而起到優(yōu)化解題過程的目的.