《數(shù)理同源》-8-費(fèi)曼的路徑積分（一） 精選

已有 6550 次閱讀 2014-5-14 08:41 |個(gè)人分類:系列科普|系統(tǒng)分類:科普集錦

7. 費(fèi)曼的路徑積分（一）    

已故的著名物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼（RichardPhillips Feynman,，1918-1988）將最小作用量原理應(yīng)用到量子力學(xué)，提出了對(duì)量子論一種完全嶄新的理解，那就是費(fèi)曼路徑積分,。

高中時(shí)代的費(fèi)曼第一次聽他的老師巴德給他講到最小作用量原理,，便為它的新穎和美妙所震撼。我想,，這種感受一直潛藏在費(fèi)曼腦海深處,，之后才能轉(zhuǎn)化成如同一支“神來之筆”，使他在量子理論中勾畫出路徑積分以及費(fèi)曼圖這種天才的神思妙想,。

作為一個(gè)大學(xué)本科生,，費(fèi)曼在MIT了解到量子電動(dòng)力學(xué)面臨著無窮大的困難。費(fèi)曼是一個(gè)勇于挑戰(zhàn),、充滿創(chuàng)造力的科學(xué)家,，他不被當(dāng)時(shí)物理學(xué)的困境和前輩們的一籌莫展所嚇倒，而是將此視作一個(gè)機(jī)會(huì),，并由此而立下雄心大志：首先要解決經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的發(fā)散困難,，然后將它量子化，從而獲得一個(gè)令人滿意的量子電動(dòng)力學(xué)理論,。費(fèi)曼說^【1】：“既然他們對(duì)我想要解決的這一問題都沒有給出一個(gè)令人滿意的答案,，我就不必理睬他們的工作?！?/span>費(fèi)曼憑直覺把這個(gè)無窮大的原因歸結(jié)為兩點(diǎn)：一是因?yàn)殡娮硬荒茏约簩?duì)自己產(chǎn)生作用,，二是來源于場(chǎng)的無窮多個(gè)自由度。當(dāng)費(fèi)曼到達(dá)普林斯頓大學(xué)成為約翰·惠勒的學(xué)生之后,，他將自己的想法告訴惠勒,。惠勒比費(fèi)曼大7歲,，與波爾和愛因斯坦均有交往,，兩位名師手下的高徒，對(duì)物理學(xué)的理解顯然比當(dāng)時(shí)的費(fèi)曼更勝一籌,?；堇债?dāng)即指出費(fèi)曼想法中幾個(gè)錯(cuò)誤所在，但也保留了這個(gè)年輕人想法中的某些精華部分,。在惠勒的指導(dǎo)和幫助下,，費(fèi)曼興致勃勃地開始了他的博士研究課題。不久之后,，兩人首先合作解決了經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中的無窮大問題^【2】,。

費(fèi)曼始終沒有忘記中學(xué)時(shí)聽到最小作用量原理時(shí)給他帶來的震撼，總想由此而導(dǎo)出電動(dòng)力學(xué),。因而,，他對(duì)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)構(gòu)造了一個(gè)作用量的表達(dá)式（不喜歡公式的讀者請(qǐng)忽略以下幾個(gè)表達(dá)式,，只讀上下文也能很好地理解其中的內(nèi)容）^【3】：

                                                                                                                                            （7.1）

由此作用量之表達(dá)式，在一定條件下,，費(fèi)曼可以推導(dǎo)出麥克斯韋方程,。

費(fèi)曼自認(rèn)為比較滿意地解決了經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的問題之后，便想將上述作用量量子化,，以建立量子電動(dòng)力學(xué)的新理論,。盡管費(fèi)曼為此努力了好幾年卻一直未能成功,，他卻始終不渝地堅(jiān)信問題的關(guān)鍵是要尋找適當(dāng)?shù)淖饔昧康谋磉_(dá)式,。

在一次酒店聚會(huì)上，費(fèi)曼偶遇一個(gè)到普林斯頓訪問的歐洲學(xué)者Herbert  Jehle,。費(fèi)曼問他是否知道有誰(shuí)在量子力學(xué)中引進(jìn)過作用量的概念,？Jehle說：“有啊，狄拉克就做過,！”

這時(shí),，費(fèi)曼才知道狄拉克在1933年（距當(dāng)時(shí)好幾年前）^【4】的一篇文章中就已經(jīng)將拉格朗日函數(shù)引入了量子力學(xué)。于是,，費(fèi)曼急不可耐地去圖書館找來了那篇文章,，并在Jehle的幫助下，理解并發(fā)展了狄拉克的想法,，幾年來的冥思苦想終于在狄拉克文章的啟發(fā)下得到了答案,。之后，在此基礎(chǔ)上,，費(fèi)曼進(jìn)而提出了與最小作用量原理相關(guān)的量子力學(xué)路徑積分法,。

對(duì)應(yīng)于牛頓定律，量子力學(xué)中粒子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律由薛定諤方程描述,。量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)不同的是,，牛頓方程描述的是粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，是一條線,。而薛定諤方程的解卻是一個(gè)全空間的波函數(shù)y,。波函數(shù)的平方被解釋為粒子在空間出現(xiàn)的幾率。既然是一種波,，它最好的類比物當(dāng)然是光波,。從前面幾節(jié)的敘述中我們已經(jīng)了解到：幾何光學(xué)中的最小作用量原理就是費(fèi)馬原理，那兒的作用量指的是“光程”,。而光程又是什么呢,？光程被定義為相應(yīng)時(shí)間內(nèi)光在真空中走過的距離，但它從本質(zhì)上來說,，所對(duì)應(yīng)的是光波的相位,。因?yàn)殡S著光的傳播,，光程增加，其相位便隨之而周期性地變化,。如圖1中左圖所示,。

圖1：光程、相位,、和惠更斯原理

狄拉克認(rèn)為,，量子力學(xué)中幾率波的傳播方式可以類比于光學(xué)中的惠更斯原理（圖1右）?；莞箤⑿羞M(jìn)中的波陣面上任一點(diǎn)都看作是一個(gè)新的次波源,，這些次波源發(fā)出的所有次波下一時(shí)刻所形成的包絡(luò)面，就是原波面在一定時(shí)間內(nèi)所傳播到的新波面,。如果用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來描述,，惠更斯原理可以用下列積分來表示：

                                                           （7.2）

公式中的G(x,y)，是時(shí)刻t₁的波動(dòng)到時(shí)刻t₂的波動(dòng)的轉(zhuǎn)換函數(shù),，或稱之為“核Kernel”,，或傳播子。狄拉克還指出,，傳播子在量子力學(xué)中應(yīng)該對(duì)應(yīng)于：exp(i(t₂- t₁)* L/h),，其中的h 是表征量子效應(yīng)的普朗克常數(shù)，而L則是經(jīng)典力學(xué)中的拉格朗日量,。

 狄拉克的這個(gè)將量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)中拉格朗日量聯(lián)系起來的提議,，立即在費(fèi)曼腦海中產(chǎn)生了巨大反響?！斑@個(gè)想法太妙了,！”費(fèi)曼大受啟發(fā)，也就是說,，經(jīng)典力學(xué)中的作用量應(yīng)該體現(xiàn)在波函數(shù)的相位因子中,！并且，費(fèi)曼進(jìn)一步大膽猜測(cè)：狄拉克的意思可能還不僅僅是說“對(duì)應(yīng)于”,，狄拉克難道是說量子力學(xué)中傳播子就等于exp(i(t₂- t₁)* L /h),？不管怎么樣，如果我讓它們相等,，能得到什么結(jié)果呢,？

 于是，費(fèi)曼開始了他的近似計(jì)算“游戲”,！首先,，費(fèi)曼令e = (t₂- t₁)。首先只考慮當(dāng)e比較小的時(shí)候的情形,，這樣有可能便于作近似,。然后,，他將經(jīng)典的拉格朗日量采取動(dòng)能減去勢(shì)能那種最簡(jiǎn)單的形式：L=T-V=(1/2)m((y-x)/e)²-V。如此而來,，費(fèi)曼得到短時(shí)間內(nèi)波函數(shù)傳播子的表達(dá)式為：

                                                                （7.3）

因?yàn)?/span>G(x,y)是時(shí)刻t₁到時(shí)刻t₂的波函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換函數(shù),，這兒考慮的是粒子出現(xiàn)的幾率波，沒有了“速度”的概念,，因而,，拉格朗日量L不應(yīng)該像經(jīng)典拉格朗日量那樣被看成是坐標(biāo)和速度的函數(shù)，而應(yīng)該被看作是時(shí)刻t₁,、t₂以及對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)x和y的函數(shù),，其中的動(dòng)能也不能寫成速度的函數(shù)的形式。動(dòng)能的表達(dá)式成為：(1/2)m(x-y)²/e²,。

 正因?yàn)閷?duì)速度概念的上述考慮,，狄拉克的假設(shè)只當(dāng)(t₂-t₁)=e為極小量的時(shí)候才能成立。然后,，費(fèi)曼將（7.3）中的指數(shù)函數(shù)按照e 的泰勒級(jí)數(shù)展開。展開指數(shù)項(xiàng)之后,，費(fèi)曼首先發(fā)現(xiàn)他原來認(rèn)為傳播子就等于exp(i(t₂- t₁)* L /h)的猜想不是很準(zhǔn)確的,，至少應(yīng)該還需要一個(gè)因子！所以,，費(fèi)曼興高采烈地對(duì)介紹狄拉克文章給他看的Jehle說：“啊,，狄拉克的意思不是說‘等于’，而是‘正比于’,！”,。加了這個(gè)因子之后，費(fèi)曼將傳播子重新表示為：

                                                                                             （7.4）

費(fèi)曼又對(duì)公式（7.4）作了一些近似考慮和泰勒展開之類的代數(shù)運(yùn)算后,，得到：

                                                                 （7.5）

這個(gè)結(jié)果讓Jehle既興奮又吃驚,，因?yàn)樽笫诌叺谋磉_(dá)式中寫在ih后面的，正是波函數(shù)對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)式,。所以,，費(fèi)曼用傳播子（7.4）代人（7.2），最后導(dǎo)出的方程（7.5）,，實(shí)際上就是含時(shí)的薛定諤方程,！

 （未完待續(xù)）

【1】TheDevelopment of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics，NobelLecture by Richard P. Feynman, December 11, 1965,。

http://www./nobel_prizes/physics/laureates/1965/feynman-lecture.html

【2】R. P.Feynman and J. A. Wheeler. Reaction of the absorber as the

mechanism of radiative damping. Physical Review (2), 59(8):683,

April 1941.

【3】Interactionwith the absorber as the mechanism of radiation

Wheeler, John Archibald and Feynman, Richard Phillips (1945)Interaction with the absorber as the mechanism of radiation. Reviews of ModernPhysics, 17 (2-3). pp. 157-181.

【4】Dirac,Paul A. M. (1933). "The Lagrangian in Quantum Mechanics".Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3: 64–72.;  also see Van Vleck, John H(1928).  "The correspondence principle in the statistical interpretation ofquantum mechanics". Proceedings of the National Academy of Sciences of theUnited States of America (National Academy of Sciences) 14 (2): 178188.

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