二進(jìn)制數(shù)

常用的進(jìn)制主要是十進(jìn)制（因?yàn)槲覀冇惺畟€(gè)手指，所以十進(jìn)制是比較合理的選擇,，用手指可以表示十個(gè)數(shù)字,，0的概念直到很久以后才出現(xiàn)，所以是1－10而不是0－9）,。電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后,，使用電子管來(lái)表示十種狀態(tài)過于復(fù)雜，所以所有的電子計(jì)算機(jī)中只有兩種基本的狀態(tài),，開和關(guān),。也就是說(shuō)，電子管的兩種狀態(tài)決定了以電子管為基礎(chǔ)的電子計(jì)算機(jī)采用二進(jìn)制來(lái)表示數(shù)字和數(shù)據(jù),。常用的進(jìn)制還有8進(jìn)制和16進(jìn)制,，在電腦科學(xué)中，經(jīng)常會(huì)用到16進(jìn)制,，而十進(jìn)制的使用非常少,，這是因?yàn)?6進(jìn)制和二進(jìn)制有天然的聯(lián)系：4個(gè)二進(jìn)制位可以表示從0到15的數(shù)字，這剛好是1個(gè)16進(jìn)制位可以表示的數(shù)據(jù),，也就是說(shuō),，將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成16進(jìn)制只要每4位進(jìn)行轉(zhuǎn)換就可以了。

二進(jìn)制的“00101000”直接可以轉(zhuǎn)換成16進(jìn)制的“38”,。一個(gè)字是電腦中的基本存儲(chǔ)單元,，根據(jù)計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的不同,字具有不同的位數(shù)，現(xiàn)代電腦的字長(zhǎng)一般是32位的,，也就是說(shuō),，一個(gè)字的位數(shù)是32。字節(jié)是8位的數(shù)據(jù)單元,一個(gè)字節(jié)可以表示0－255的數(shù)據(jù),。對(duì)于32位字長(zhǎng)的現(xiàn)代電腦,，一個(gè)字等于4個(gè)字節(jié)，對(duì)于早期的16位的電腦,，一個(gè)字等于2個(gè)字節(jié),。

二進(jìn)制數(shù)

二進(jìn)制數(shù)

加法運(yùn)算步驟如下：

（1）首先是最右數(shù)碼位相加,。這里加數(shù)和被加數(shù)的最后一位分別為“0”和“1”,，根據(jù)加法原則可以知道，相加后為“1”,。
（2）再進(jìn)行倒數(shù)第二位相加,。這里加數(shù)和被加數(shù)的倒數(shù)第二位都為“1”，根據(jù)加法原則可以知道,，相加后為“（10）2”,，此時(shí)把后面的“0”留下，而把第一位的“1”向高一位進(jìn)“1”,。
（3）再進(jìn)行倒數(shù)第三位相加,。這里加數(shù)和被加數(shù)的倒數(shù)第二位都為“0”，根據(jù)加法原則可以知道，本來(lái)結(jié)果應(yīng)為“0”,，但倒數(shù)第二位已向這位進(jìn)“1”了,，相當(dāng)于要加“被加數(shù)”、“加數(shù)”和“進(jìn)位”這三個(gè)數(shù)的這個(gè)數(shù)碼位,，所以結(jié)果應(yīng)為0 1=1,。
（4）最后最高位相加,。這里加數(shù)和被加數(shù)的最高位都為“1”,，根據(jù)加法原則可以知道，相加后為“（10）2”,。一位只能有一個(gè)數(shù)字,，所以需要再向前進(jìn)“1”，本身位留下“0”,，這樣該位相加后就得到“0”,，而新的最高位為“1

二進(jìn)制數(shù)

（1）首先最后一位向倒數(shù)第二位借“1”，相當(dāng)于得到了（10）2,，也就是相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)中的2,，用2減去1得1。
（2）再計(jì)算倒數(shù)第二位,，因?yàn)樵撐煌瑯訛椤?”,，不及減數(shù)“1”大，需要繼續(xù)向倒數(shù)第三位借“1”（同樣是借“1”當(dāng)“2”）,，但因?yàn)樗谏弦徊街幸呀杞o了最后一位“1”（此時(shí)是真實(shí)的“1”）,，則倒數(shù)第二位目前為1，與減數(shù)“1”相減后得到“0”,。
（3）用同樣的方法倒數(shù)第三位要向它們的上一位借“1”（同樣是當(dāng)“2”）,，但同樣已向它的下一位（倒數(shù)第二位）借給“1”（此時(shí)也是真實(shí)的“1”），所以最終得值也為“0”,。
（4）被減數(shù)的倒數(shù)第四位盡管與前面的幾位一樣,，也為“0”，但它所對(duì)應(yīng)的減數(shù)倒數(shù)第四位卻為“0”,，而不是前面幾位中對(duì)應(yīng)的“1”,，它向它的高位（倒數(shù)第五位）借“1”（相當(dāng)于“2”）后，在借給了倒數(shù)第四位“1”（真實(shí)的“1”）后,，仍有“1”余,，1–0=1，所以該位結(jié)果為“1”,。
（5）被減數(shù)的倒數(shù)第五位原來(lái)為“1”,，但它借給了倒數(shù)第四位，所以最后為“0”，而此時(shí)減數(shù)的倒數(shù)第五位卻為“1”,，這樣被減數(shù)需要繼續(xù)向它的高位（倒數(shù)第六位）借“1”（相當(dāng)于“2”）,，2–1=1。
（6）被減數(shù)的最后一位本來(lái)為“1”,，可是借給倒數(shù)第五位后就為“0”了,，而減數(shù)沒有這個(gè)位，這樣結(jié)果也就是被減數(shù)的相應(yīng)位值大小,，此處為“0”,。

在二進(jìn)制數(shù)的加、減法運(yùn)算中一定要聯(lián)系上十進(jìn)制數(shù)的加,、減法運(yùn)算方法,，其實(shí)它們的道理是一樣的，也是一一對(duì)應(yīng)的,。在十進(jìn)制數(shù)的加法中,，進(jìn)“1”仍就當(dāng)“1”，在二進(jìn)制數(shù)中也是進(jìn)“1”當(dāng)“1”,。在十進(jìn)制數(shù)減法中我們向高位借“1”當(dāng)“10”,，在二進(jìn)制數(shù)中就是借“1”當(dāng)“2”。而被借的數(shù)仍然只是減少了“1”,，這與十進(jìn)制數(shù)一樣,。

二進(jìn)制數(shù)

乘法運(yùn)算示例
把二進(jìn)制數(shù)中的“0”和“1”全部當(dāng)成是十進(jìn)制數(shù)中的“0”和“1”即可,。根據(jù)十進(jìn)制數(shù)中的乘法運(yùn)算知道,，任何數(shù)與“0”相乘所得的積均為“0”，這一點(diǎn)同樣適用于二進(jìn)制數(shù)的乘法運(yùn)算,。只有“1”與“1”相乘才等于“1”,。乘法運(yùn)算步驟：

（1）首先是乘數(shù)的最低位與被乘數(shù)的所有位相乘，因?yàn)槌藬?shù)的最低位為“0”,，根據(jù)以上原則可以得出,，它與被乘數(shù)（1110）2的所有位相乘后的結(jié)果都為“0”。
（2）再是乘數(shù)的倒數(shù)第二位與被乘數(shù)的所有位相乘,，因?yàn)槌藬?shù)的這一位為“1”,，根據(jù)以上原則可以得出，它與被乘數(shù)（1110）2的高三位相乘后的結(jié)果都為“1”,，而于最低位相乘后的結(jié)果為“0”,。
（3）再是乘數(shù)的倒數(shù)第三位與被乘數(shù)的所有位相乘，同樣因?yàn)槌藬?shù)的這一位為“1”,，處理方法與結(jié)果都與上一步的倒數(shù)第二位一樣,，不再贅述,。
（4）最后是乘數(shù)的最高位與被乘數(shù)的所有位相乘，因?yàn)槌藬?shù)的這一位為“0”,，所以與被乘數(shù)（1110）2的所有位相乘后的結(jié)果都為“0”,。
（5）然后再按照前面介紹的二進(jìn)制數(shù)加法原則對(duì)以上四步所得的結(jié)果按位相加（與十進(jìn)制數(shù)的乘法運(yùn)算方法一樣），結(jié)果得到（1110）2×（0110）2=（1010100）2,。

二進(jìn)制數(shù)

（1）首先用“1”作為商試一下,，相當(dāng)于用“1”乘以除數(shù)“110”，然后把所得到的各位再與被除數(shù)的前4位“1001”相減,。按照減法運(yùn)算規(guī)則可以得到的余數(shù)為“011”,。
（2）因?yàn)椤?11”與除數(shù)“110”相比，不足以被除,，所以需要向低取一位,，最終得到“0111”，此時(shí)的數(shù)就比除數(shù)“110”大了,，可以繼續(xù)除了。同樣用“1”作為商去除,，相當(dāng)于用“1”去乘除數(shù)“110”,，然后把所得的積與被除數(shù)中當(dāng)前四位“0111”相減。根據(jù)以上介紹的減法運(yùn)算規(guī)則可以得到此步的余數(shù)為“1”,。
（3）因?yàn)椤?”要遠(yuǎn)比除數(shù)“110”小,，被除數(shù)向前取一位后為“11”，仍不夠“110”除,，所以此時(shí)需在商位置上用“0”作為商了,。
（4）然后在被除數(shù)上繼續(xù)向前取一位，得到“110”,。此時(shí)恰好與除數(shù)“110”完全一樣,，結(jié)果當(dāng)然是用“1”作為商，用它乘以除數(shù)“110”后再與被除數(shù)相減,，得到的余數(shù)正好為“0”,。證明這兩個(gè)數(shù)能夠整除。
這樣一來(lái),，所得的商（1101）2就是兩者相除的結(jié)果,。

各種數(shù)制表示的相互關(guān)系

1．二進(jìn)制與十進(jìn)制間的相互轉(zhuǎn)換：

（1）二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制

方法：“按權(quán)展開求和”
例：（1011.01）2
＝（1×23＋0×22＋1×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2）10
＝（8＋0＋2＋1＋0＋0.25）10
＝（11.25）10

規(guī)律：個(gè)位上的數(shù)字的次數(shù)是0，十位上的數(shù)字的次數(shù)是1,，......,，依獎(jiǎng)遞增，而十分位的數(shù)字的次數(shù)是-1,，百分位上數(shù)字的次數(shù)是-2,，......,，依次遞減?！∽⒁猓翰皇侨魏我粋€(gè)十進(jìn)制小數(shù)都能轉(zhuǎn)換成有限位的二進(jìn)制數(shù),。

（2）十進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制
十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制數(shù)：“除以2取余，逆序排列”（短除反取余法
例：（89）10＝（1011001）2
289
244……1
222……0
211……0
25……1
22……1
21……0
0……1

十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制數(shù)：“乘以2取整,，順序排列”（乘2取整法）
例：(0．625)10=(0．101)2
0．625
X2
1．251
X2
0．50
X2
1．01

二進(jìn)制數(shù)

二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)：從小數(shù)點(diǎn)開始,，整數(shù)部分向左、小數(shù)部分向右,，每3位為一組用一位八進(jìn)制數(shù)的數(shù)字表示,，不足3位的要用“0”補(bǔ)足3位，就得到一個(gè)八進(jìn)制數(shù),。

八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)：把每一個(gè)八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成3位的二進(jìn)制數(shù),，就得到一個(gè)二進(jìn)制數(shù)。
例：將八進(jìn)制的37.416轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)：
37．416
011111．100001110
即：（37.416）8＝（11111.10000111）2
例：將二進(jìn)制的10110.0011轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制：
010110.001100
26.14
即：（10110.011）2＝（26.14）8

3．十六進(jìn)制與二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換：
二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)：從小數(shù)點(diǎn)開始,，整數(shù)部分向左,、小數(shù)部分向右，每4位為一組用一位十六進(jìn)制數(shù)的數(shù)字表示,，不足4位的要用“0”補(bǔ)足4位,，就得到一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)。

二進(jìn)制數(shù)

4、整數(shù)的數(shù)制轉(zhuǎn)換

采用“基數(shù)除法”,，具體步驟如下：
（1）將給定的十進(jìn)制整數(shù)除以基數(shù)2,，余數(shù)便是等值的二進(jìn)制的最低位。
（2）將上一步的商再除以基數(shù)2,，余數(shù)便是等值的二進(jìn)制數(shù)的次低位,。
（3）重復(fù)步驟2，直到最后所得的商等于0為止,。各次除得的余數(shù),，便是二進(jìn)制各位的數(shù)，最后一次的余數(shù)是最高^[1]