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快樂課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“一元一次方程”-華東師范大學(xué)出版社七年級下冊 一,、 本單元概述 我們小學(xué)時，就已經(jīng)學(xué)習(xí)過了“方程”,，并且會“解方程”,。 小學(xué)學(xué)習(xí)的方程，就是“一元一次方程”,，只是那時沒有“元”和“次”的概念而已,，現(xiàn)在到了初中，給起了個專用名字,。 其實,，我們從小學(xué)一年級就接觸方程了，并會解最簡單的方程,。只不過那時，沒有出現(xiàn)“字母符號”,，而是用“符號（ ）”來代表“未知數(shù)”,，并且直接“填上值”。 如：2+（ ）=5,，（ ）里填“3”,。 所以，對于最簡單的“一元一次方程”,，我們就可以根據(jù)記憶或根據(jù)“逆運算”直接得出解,。 后來，正式接觸方程后,，知道了“等式的性質(zhì)”,，就可以解稍復(fù)雜點的一元一次方程。 那么,，對于任意形式的一元一次方程,，用什么方法，使解方程變得“簡潔,、快速,、準確”呢？ 二,、“方程”概念再學(xué)習(xí) “一元一次方程”這個概念,，命名的規(guī)則是什么,？代表著什么意義？ “元”,，就是“未知數(shù)”,，“一元”就是“只有一個未知數(shù)”。 代表未知數(shù)的符號,，可以是任意選擇的,，為了統(tǒng)一，一般按“x,、y,、z”的順序選用，即在一元一次方程中,，用“x”來代表“未知數(shù)”,。 “次”,，是“整式”才使用的概念,，是含有未知數(shù)項的最高次數(shù),，“一次”就是“含有未知數(shù)項的最高次為一次”,。 “一元一次”,，表示“代數(shù)形式”是“整式”,，且“未知數(shù)只有一個”、“未知數(shù)的次數(shù)為1”,。 “方程”,，是“含有未知數(shù)的等式”,。“方程”一詞來源于中國古算術(shù)書《九章算術(shù)》。在這本著作中,，已經(jīng)會列一元一次方程,。法國數(shù)學(xué)家笛卡爾把未知數(shù)和常數(shù)通過代數(shù)運算所組成的方程稱為代數(shù)方程,。在19世紀以前,，方程一直是代數(shù)的核心內(nèi)容。 “等式”,，是“含有等號的式子”,。其形式是：把相等的兩個代數(shù)式用等號連接起來。 綜上,，我們可得出“一元一次方程”的完整描述： 1,、由等號連接兩個整式。 2,、兩個整式中所有項,，都只含有一個共同的未知數(shù)。 3,、該未知數(shù)的最高次數(shù)為“1”,。 即，“一元一次方程”概念的四要素是：等號,、整式,、一元、一次,。 一元一次方程的標準形式（即所有一元一次方程經(jīng)“代數(shù)變形”都能變成的形式）是： ax+b=0(a,，b為常數(shù)，且a≠0）,，這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù),。 等式兩邊同時加上(或減去)同一個代數(shù)式,，所得結(jié)果仍相等。 若a=b,，那么a+c=b+c 等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的代數(shù)式,，所得結(jié)果仍相等。 若a=b，那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c （c≠0） 性質(zhì)3：（該性質(zhì)在以后,，會很經(jīng)常地使用） 等式兩邊同時乘方（或開方）,，兩邊依然相等。 若a=b,，那么有a^c=b^c或(c次根號a)=(c次根號b) 性質(zhì)4：（上學(xué)期幾何證明時的“等量代換”,，就是性質(zhì)4） 等式具有傳遞性。 若a1=a2,a2=a3,a3=a4,……an=an,那么a1=a2=a3=a4=……=an 由等式的基本性質(zhì),，可拓展一些常用“等式變形” 拓展1： 等式兩邊同時被一個代數(shù)式減,，結(jié)果仍相等。 如果a=b,，那么c-a=c-b（由性質(zhì)1拓展） 拓展2： 等式兩邊取相反數(shù),，結(jié)果仍相等。 如果a=b,，那么-a=-b（同拓展1,，由性質(zhì)1拓展） 拓展3： 等式兩邊不等于0時，被同一個數(shù)或式子除,，結(jié)果仍相等,。 如果a=b≠0，那么c/a=c/b（由性質(zhì)2拓展） 拓展4： 等式兩邊不等于0時,，兩邊取倒數(shù),，結(jié)果仍相等。 如果a=b≠0,，那么1/a=1/b（同拓展3,，由性質(zhì)2拓展） 等式的性質(zhì)，是等式變形的基礎(chǔ),，在進行等式變形時,，要注意乘除變形時“0”的特殊性，當字母變形到分母時,，要首先確認“該字母所代表的值是否可能為0”,，如果“不能確定一定不為0”，則該字母不能變形到分母,。 “解方程”,，就是把任意形式的方程進行“等式變形”，最終變形為“x=a”,。 最終變形結(jié)果“x=a”,，即為“方程的解”，a可稱為“方程的根”,。 “x=a”,，為“賦值語句”,，即給“未知數(shù)x”賦值為“a”。 用“a”替換方程中的“未知數(shù)x”,，方程等號兩邊的值,，一定要相等。 如替換后,，兩邊的值相等,，則該賦值成立； 如替換后,，兩邊的值不相等,，則該賦值不成立。 這就是“方程的檢驗”或稱為“驗根”,。 在這要提醒所有的同學(xué)們,，“解方程”是數(shù)學(xué)中，唯一可由學(xué)生“自行批改”的題目,。 所以,，解方程“絕對不允許出錯”。 三,、解決復(fù)雜形式的一元一次方程 解方程,，就是“代數(shù)變形”?！胺匠痰拇鷶?shù)變形”分為兩類： 1,、利用“計算法則”，可進行“代數(shù)式變形”,，此種變形可以“只變一邊”也可以“兩邊分別變”,。 解一元一次方程，常用“代數(shù)式變形”有：整式運算,、通分等,。 2、利用“等式性質(zhì)”,，可進行“等式變形”,，此種變形必須是“兩邊同時變”。 解一元一次方程,，常用“等式變形”有：移項,、去分母等。 解方程的通常步驟：去分母→去括號→移項→合并同類項→系數(shù)化為一,。 ⒈去分母： 由于分數(shù)運算的特殊性,，分數(shù)乘除計算很方便，分數(shù)加減計算中,，同分母加減也很方便,，就是異分母加減非常討厭。 而解方程時,，存在合并同類項,，所以，當方程中出現(xiàn)“異分母”時,，一般要“去分母”,。 教材和各種輔導(dǎo)書，在講去分母的方法時,，都是根據(jù)“等式的性質(zhì)2”,，在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)（不含分母的項也要乘）。 這種方法在實際使用時,，很多學(xué)生會漏乘“不含分母的項”,。所以，多余老師對于“去分母”環(huán)節(jié),，提出如下建議： A利用“通分”,，進行“代數(shù)式變形”，兩邊分別通分,?！巴ǚ帧焙螅仁匠蔀椤癆/B=C/D”的比例形式,。 B此時,，分母之間可直接進行“約分”，即“A/B=C/D”可等式變形為“A/C=B/D”,。 C利用“比例的內(nèi)項之積=外項之積”,，將等式“去分母”成為“A?D=B?C”的乘積形式。 這種方法,，由于充分利用了小學(xué)經(jīng)過“充足訓(xùn)練”的通分,、約分和比例轉(zhuǎn)換，正確率非常高,。 并且,，“比例的內(nèi)項之積=外項之積”，其依據(jù)就是“等式的性質(zhì)2”,。 特別提醒： 解方程時,，不要一見分母就想去分母，要看實際情況,，只有“同類項出現(xiàn)異分母”才是需要去分母的,。 ⒉去括號： “去括號”，屬于“代數(shù)式變形”,，其依據(jù)是“整式計算法則的乘法分配律”,。 一般先去小括號,，再去中括號，最后去大括號,，記住：如括號外有減號或除號的話一定要變號,。 ⒊移項： A依據(jù)：等式的性質(zhì)1（也可以說是：根據(jù)加減互為逆運算進行等式變形）。 B含有未知數(shù)的項變號后都移到方程一邊,，把不含未知數(shù)的項移到邊,。 C把方程一邊某項移到另一邊時，一定要變號{例如：移項時將+改為-,，×改為÷},。 ⒋合并同類項： A把方程化成ax=b(a≠0）的形式； B依據(jù)：利用“整式計算法則的乘法分配律（逆用乘法分配律）”進行“代數(shù)式變形”,。 A在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a,，得到方程的解x=b/a. B依據(jù)：等式的性質(zhì)2（也可以說是：根據(jù)乘除互為逆運算進行等式變形）。 例：（3x+1)/2-2=(3x-2)/10-(2x+3)/5 一般教材方法： 1,、去分母,，（方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)10）得：5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3) 2、去括號得：15x+5-20=3x-2-4x-6 3,、移項得：15x-3x+4x=-2-6-5+20 4,、合并同類項得：16x=7 5、系數(shù)化為1得：x=7/16,。 多余老師方法： 1,、去分母： A由于“同類項有異分母”，先“通分”得：（3x+1-4）/2=[3x-2-2（2x+3]/10 B分母間“約分”得：3X-3=（3X-2-4X-6）/5 C“比轉(zhuǎn)換為乘積”得：5（3X-3）=-X-8 2,、去括號得：15X-15=-X-8 3,、“加減逆運算”得：15X+X=15-8 4、合并得：16X=7 5,、“乘除逆運算”得：X=7/16 哪種方法更適合你,，自行選擇。 “快速,、簡便,、準確”的方法，就是好方法,。 數(shù)學(xué)中,，除了“基本性質(zhì)”和“運算法則”外，都可根據(jù)實際情況“靈活選用”已學(xué)過的各種“變形方法”,，以求達到“快速,、簡便、準確”。 小學(xué)計算中,，有專門的“簡便計算”要求,，到中學(xué)后，一般不會再專門提這項要求,，但“簡便運算”這項要求,，不是消失了，而是做為中學(xué)生,，“簡便運算”應(yīng)該成為你遇到計算類問題的“條件反射”。 四,、列方程解應(yīng)用題 在小學(xué)已學(xué)習(xí)較淺的一元一次方程應(yīng)用題,，到了初中開始利用一元一次方程解較難的應(yīng)用題。 一元一次方程應(yīng)用題牽涉到許多的實際問題,，例如工程問題,、植樹問題、比賽比分問題,、行程問題,、行船問題、相向問題分段收費問題,、盈虧,、利潤問題。 分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系,，利用其中的相等關(guān)系列出方程,，是用數(shù)學(xué)解決實際問題的一種方法.（即“代數(shù)方法”） 在小學(xué)算術(shù)中，我們學(xué)習(xí)了用“算術(shù)方法”解決實際問題的有關(guān)知識,，那么,，一個實際問題能否應(yīng)用一元一次方程來解決呢？若能解決,，怎樣解,？用一元一次方程解應(yīng)用題與用算術(shù)方法解應(yīng)用題相比較，它有什么優(yōu)越性呢,？ 為了回答上述這幾個問題,，我們來看下面這個例題． 例1 某數(shù)的3倍減2等于某數(shù)與4的和，求某數(shù)． 算術(shù)方法：（4+2）÷（3-1)=3． 答：某數(shù)為3． 代數(shù)方法：設(shè)某數(shù)為x,，則有3x-2=x+4． 解之,，得x=3． 答：某數(shù)為3． 縱觀例1的這兩種解法，很明顯,，算術(shù)方法不易思考,，而應(yīng)用設(shè)未知數(shù)，列出方程并通過解方程求得應(yīng)用題的解的方法，有一種化難為易之感,，這就是我們學(xué)習(xí)運用一元一次方程解應(yīng)用題的目的之一． 即：“代數(shù)方法”降低“思維難度”,。 所以，沒有“思維難度”時,，不一定非用“代數(shù)方法”,，“算術(shù)方法”就很好。 做一元一次方程應(yīng)用題的主要步驟： ⒈認真審題（審題） ⒉分析已知和未知量 ⒊找一個合適的等量關(guān)系 ⒋設(shè)一個恰當?shù)奈粗獢?shù) ⒌列出合理的方程 （列式） ⒍解出方程（解題） ⒎檢驗 ⒏寫出答案（作答） 第1至第3環(huán)節(jié),，是解決方程應(yīng)用題的核心內(nèi)容,，但這些內(nèi)容除了并不在解答中體現(xiàn)。 把這3個環(huán)節(jié)做好,，第4和第5兩個環(huán)節(jié),，就自然解決了。 余下的第6至第8環(huán)節(jié)就只是“解方程”和“最后總結(jié)陳詞環(huán)節(jié)”,。 如何做好,，第1至第3，這3個環(huán)節(jié)呢,？ 這就要用到,，小學(xué)數(shù)學(xué)老師經(jīng)常要求的“畫線段圖”和“列數(shù)量關(guān)系”。 “列數(shù)量關(guān)系”可稱為“列表法”： 1,、審題,，根據(jù)應(yīng)用題的不同類型，“列出文字數(shù)量關(guān)系”,，這相當于“表頭” 2,、將已知和未知量，相應(yīng)“填在”對應(yīng)的“數(shù)量項”,。（表并不需要實際畫出,，但由于對應(yīng)分析，相當于有一個“數(shù)量關(guān)系表”,。 做為中學(xué)生,，要養(yǎng)成把“文字”，快速轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)語言”的習(xí)慣,。 審題,、分析時，能畫圖的先畫圖,，因為圖形最直觀,；不適合畫圖的，再“列表”,；復(fù)雜一些的題目,，需要二者結(jié)合使用。 總之，要把題目變得盡可能“直觀,、簡潔”,，并開始鍛煉一項非常重要的“數(shù)學(xué)能力”——將要解決的每一道具體題目，都能總結(jié)成一種類型,；從而做到——每解決一道新題目,，就解決了一個新類型。 五,、多余的話 做題要“守規(guī)矩”,，但“規(guī)矩”只限于“性質(zhì)和法則”，所謂“方法或步驟”并不是“規(guī)矩”,。 數(shù)學(xué),，越學(xué)越活，你就把數(shù)學(xué)學(xué)通了,、學(xué)精了。 |
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