一直在想四大力學的聯(lián)系,，尤其最近知道了路徑積分是量子與統(tǒng)計的共同基礎之后，便懷疑電動力學是否也能納入到這一框架下,。泰勒《自然規(guī)律中蘊蓄的統(tǒng) 一性》暗示了我們,，從經(jīng)典力學、幾何光學,、電磁學,、量子力學到廣義相對論、相對論熱力學,，作用量無處不在,。其普適性,，恰如對稱性與守恒律（諾特定理）,。在 google上搜索相關(guān)文獻，無意中發(fā)現(xiàn)一篇奇文,，摘錄如下：

1.經(jīng)典力學
最小作用量原理的數(shù)學形式的δS=δ∫Ldt=0,，我們 稱S為作用量，δ是變分計算,，L(q,dq/dt,t)是拉格朗日函數(shù),，力學中常用的形式是L=T-V（也就是動能減去勢能，真是個奇怪的數(shù)?。?，由此可 以推得拉格朗日方程：d/dt·?L/?q^-?L/?q=0（記廣義坐標q對時間的微商dq/dt=q^）。一般大可以認為拉格朗日方程就相當于牛頓方 程,，但是它比牛頓方程多一些東西——廣義坐標并不像牛頓方程中使用的坐標那樣必須是位形空間中的坐標,，即使你要抱怨q和x相比形式上只不過是換了一個字母 而已，但q的含義確實比x要更廣泛的多,。
除了拉格朗日方程以外,，我們還有兩樣寶——哈密頓正則方程：q^=?H/?p,p^=-?H/?q（其中 H是哈密頓量，它一般等于T+V,，但切記并不是所有時候都是這樣的,，在這里，我們記dq/dt=q^,，dp/dt=p^）,；以及哈密頓-雅可比方程：?S /?t+H(p,q,t)=0，這個方程的參數(shù)已經(jīng)不是q,dq/dt,t而是p,q,t,，實際上正則方程中我們已經(jīng)是這樣應用的了,。物理學家普遍這么 說：正則方程是在以p與q為坐標撐開的相空間中的運動方程——雖然沈慧川先生一再批評這個觀點，但我們依然認為他的批評是完全可以無視的。
我相信 沒有學過經(jīng)典力學（理論力學）的網(wǎng)友們已經(jīng)被這點東西給弄糊涂了,，他們有些人甚至不熟悉微積分,！但是沒有關(guān)系，我們應當鼓勵物理學愛好者先弄懂數(shù)學,，而不 要對他們采取不屑的態(tài)度,。我想說的是，雖然很多愛好者一再避之,，但數(shù)學實際上并沒有想象中的那么可怕,，所有人都能行。

2.電磁學
一 提起電磁學,，問題就與相對論就有著不可割裂的聯(lián)系了,，朗道在他的經(jīng)典場論中精辟的論述至今讓我流連忘返。在通過一些基本問題的討論中得到了電磁場張量 F_{μυ}以及它的逆變張量F^{μυ}和四維電流密度J_{μυ},、四維矢勢A^{μυ}后（在形式上,，這些四維張量無非就是寫4×4矩陣而已，計算 起來也是如此）,，我們湊出拉格朗日密度L~=-1/4·F_{μυ}F^{μυ}+4π/c·J_{μυ}A^{μυ}（注意這不是拉格朗日函數(shù),，兩者的 關(guān)系是L=∫L~dV，其中V是體積）,，很難理解,？我們暫時去掉“源”的那一項，這樣的話,，不考慮受到激發(fā)的自由電磁波的拉格朗日密度就是 L~=-1/4·F_{μυ}F^{μυ},，把其中所有項寫開來就是L~=1/2·εE2-1/2·(1/μ)B2，覺不覺的和彈簧振子的拉格朗日函數(shù) L=1/2·mv2-1/2·kx2很像,？這就是電場與磁場交互激發(fā),，此消彼長的電磁波啊,！由此再通過最小作用量原理（實際上是通過連續(xù)體的拉格朗日方 程）可以計算得出麥克斯韋方程組：
▽×E=-?B/?t——法拉第電磁感應定律,，電場旋度與磁場變化之間的關(guān)系；
▽×B=μj+με?E/?t——麥克斯韋電位移定律,，磁場旋度與電場變化之間的關(guān)系,；
▽·E=ρ/ε——電場E散度與電荷密度ρ之間的關(guān)系，也就是說電場是有源場,；
▽·B=0——磁場B散度等于0,，也就是說磁場是無源場。
當然以上內(nèi)容在初學者眼里,，尤其是微積分都不熟悉的初學者眼里,，會是很難理解的——你無法期望一個不大懂得微積分的人能理解磁場B的散度等于零是什么意思,，它與場的無源性質(zhì)有什么樣的關(guān)聯(lián)。
3.量子力學
幾乎是經(jīng)典的物理系統(tǒng)的波函數(shù)是這樣的：ψ=Cexp[iS/h~],。一般來說,，平面波波函數(shù)應該是Cexp[i(px-Et)/h~]，而為了引入作用量,，考察px-Et具有能量×時間的量綱,，這正好與作用量S不謀而合。
量 子力學有三種基本的描述方法,，一種是用薛定諤方程,，另外一個是海森堡給出的，第三種形式最漂亮的當屬費曼給出的路徑積分,，可以由路徑積分推得薛定諤方程,， 但這并不是本篇文章想要說的，這里想說的是,，作用量在量子世界中也具有一席之地,。求?ψ/?t，我們得到的是?ψ/?t=i/h~·?S/?t·ψ,。如果 你還記得哈密頓-雅可比方程?S/?t+H=0,，只消再用上它,，我們就可以推得薛定諤方程：ih~?ψ/?t=Hψ——當然,，這里的H并非哈密頓量，而是 哈密頓算子了,。

4.熱力學
本來通過統(tǒng)計力學,，以配分函數(shù)定義幾個熱力學函數(shù)，再以路徑積分的方法求其配分函數(shù),，基本上這方面的問題 就與最小作用量原理相結(jié)合了起來,，但我們現(xiàn)在討論的卻是熱力學與最小作用量原理的相關(guān)話題。這貨首先是由亥姆霍茲提出的,，有興趣的童鞋可以翻翻史料,，這部 分內(nèi)容大概僅僅具有類比和啟發(fā)的意義，而沒有更深層的意義了,，所以很難在教本中——尤其是中國的教科書中找到這些內(nèi)容,。
首先，描述系統(tǒng)所用的作用 量應當是一個在時空中的不變量（與朗道的《經(jīng)典場論》中的某一段很相似,？）,，我們有∫Ldt=∫L0dt0，然而dt與dt0之間是有著相對論鐘慢效應 的,，所以L與L0之間也差一個洛倫茲因子,。而相對論熱力學給出熵、壓強乃是相對論不變的，而體積,、溫度,、內(nèi)能則是反變的（γ^(-1)）。于是我們構(gòu)造出 如下拉格朗日量：L=TS-U.則可以與經(jīng)典力學的哈密頓量定義做比較,，套用正則方程,，得到熱力學第一定律的方程：
dU=TdS-PdV.這一點我曾發(fā)過,，但幾乎未引起任何人的注意,。

5.廣義相對論
為 了建立引力場方程，在這里我們依然尋找引力場的拉格朗日密度,，進而將最小作用量原理寫出來。采用如下記號：R是標量曲率張量,，g是度規(guī),，Ω的時空的“體 積”。那么可以證明√-g·R就是我們要找的拉格朗日密度,，它是最簡單的形式,，至多還差一個常系數(shù)α，最小作用量原理寫做：δS=δ{α∫√- g·RdΩ}=0.通過硬算（算了一頁紙,，這種東西就需要你跟它死磕），我們得到無源引力場方程：R_{μυ}-1/2·g_{μυ}R=0.我們在這里 最好先不要考慮引力場源,，在完成無源場方程后,，我們不要忘記再添上引力場源那一項就好:R_{μυ}-1/2·g_{μυ}R=kT_{μυ}——右側(cè)的 T_{μυ}是表示場源物質(zhì)的能量動量張量,，而k則是一個系數(shù)。這個方程就是愛因斯坦給出的引力場方程,。當然只有引力場方程還不夠,，我們還需要運動方程， 也就是測地線方程,，通過δS=δ∫ds=0,，我們就可以得到測地線方程：d2x^{μ}/dτ2+Γ^{μ}_{λσ}·dx^{λ} /dτ·dx^{σ}/dτ。如果讓Γ^{μ}_{λσ}=0,，看看d2x^{μ}/dτ2=0這形式,，它與牛頓力學中勻速運動的加速度a=d2x /dt2=0如出一轍。

除此之外,，光學尚有費馬定理δ∫nds=0,，其中n是折射率,，而ds是光走過的一小段路線，由此是可以推得光學的一些基本定理的,；環(huán)顧當今理論物理學研究前沿,，無論是基本的量子場論還是超弦理論、M理論,，物理學家構(gòu)建物理學大廈時,，總是要先找到拉格朗日量和作用量。

【評 述】：最小作用量原理是分析力學的靈魂,，而分析力學是牛頓力學形式化的結(jié)果,，可見數(shù)學形式的完備化對于理論物理的深遠影響。欲窮千里目,，更上一層樓,。如果 理論物理想看得更遠，需要站在巨人——“數(shù)學”的肩膀上,。這就是“數(shù)學物理”這門學科的深遠意義,。請那些鄙視數(shù)學的“實驗物理學家”們深思。

至于那位“實驗物理學家”的關(guān)于“為什么數(shù)學會使物理上升為藝術(shù)”的疑問,，可參考“宇宙的心弦”《作用量與物理之美》（系列博文）

最小作用量原理與物理之美1——導言

 愛 因斯坦說過：“我想知道上帝是如何設計這個世界的,。對這個或那個現(xiàn)象、這個或那個元素的譜我不感興趣,。我想知道的是他的思想,，其他的都只是細節(jié)問題?！苯?代物理隱隱約約的表明,，我們?nèi)祟愃坪跻呀?jīng)接近于上帝的終極設計了,，最小作用量原理,、對稱與守恒可能就是上帝設計世界的原則。最小作用量原理,、對稱與守恒不 同于F=ma,、F=GMm/r^2、F=kx,、F=kQq/r^2這類的普通物理定律,，他是物理定律的定律，是一切其他普通物理定律的基礎,。

最 小作用量原理是一個令人神往的課題,，費恩曼上高中時聽到他的老師巴德給他講的時候就被深深震撼了，我也是一樣,。當我第一次從費恩曼的書中看到這個原理時,， 真是有種無法言表的喜悅,，好像是我窺見了上帝設計世界的圖紙一般。后來我就如饑似渴的學習者有關(guān)引人入勝的最小作用量原理的知識,，同時越來越被這偉大的原 理所吸引,。

最小作用量原理這個偉大的思想應該被優(yōu)秀的中國學生所充分了解，可是據(jù)我所知我們班以前除我之外沒有人聽說過它,，在我的積極推廣 之后才有一些人知道了這么個東西,，而利用這個周六的一個交流機會我才把最小作用量原理講給全班同學聽了。從個人角度來說,，我認為人活在世上不知道最小作用 量原理是一大憾事,；從民族的角度來說，一個民族不具備先進的物理思想是很難在科學上引領(lǐng)全世界的,，也就是生產(chǎn)力的巨大飛躍總是先發(fā)生在外國,，我們跟著學而 已。古中國文化昌盛,，可是卻不具備完整科學的思想,，看看古代的科技類的書才有多么點，而其中技術(shù)類和理論類的比值又是多么高,。因此古中國的科技并沒有什么 突破,，蒸汽機、發(fā)電機等革命性的發(fā)明就不屬于中國,。而西方從歐幾里得,、畢達哥拉斯開始就試圖建立科學的理論體系，后來牛頓又為科學界作出了一個建立理論體 系的表率,。西方的科學重思想,、重理論、重基礎研究,，等這些成熟了,，技術(shù)的飛躍就指日可待了。因此物理思想是非常重要的,，重要性遠遠超過知識本身,，尤其是最 小作用量原理這樣深刻、神奇的物理思想,，更應該被我們優(yōu)秀的中國中學生所掌握,。因此，我就在這里擔當一個傳播者的角色,，把這一思想傳播給本博客的讀者們,。

作用量這個概念還是比較抽象的，我不想一上來就給作用量下定義,，這樣會很難理解,，我會在之后的幾篇文章中由淺入深的介紹,。

最小作用量原理與物理之美2——自然中無處不在的極值

觀 察自然界的各種現(xiàn)象，會發(fā)現(xiàn)極值往往出現(xiàn),。知道這一點非常重要,，在最小作用量被明確提出之前，人們已經(jīng)研究了很多極值問題,。我們先來看一些比較簡單的極值 問題,，會對最小作用量原理有一個更深刻的認識，也能從中看出最小作用量原理的起源與歷史,。物理定律都有兩種表述形式：一種是普通的我們高中學的形式,，用 力、加速度,、電場強度等概念描述的物理定律,；另一種是極值的形式，在一個物理過程中某個量取得極值,。這兩種表述形式是等價的,。

先看一個最簡單的例子，如圖,，兩個電阻R1,、R2并聯(lián)，輸入的電流為I,，求I1,、I2是多少。這個問題初中生都會做,，用并聯(lián)時電壓相等加上歐姆定律就可以作了,。可以容易的求得

現(xiàn)在我們換一種方法：I1,、I2的取值使得熱功率最小,。根據(jù)焦耳定律有

為了取得P的最小值我們對上式兩邊求導（以I1為自變量）。
可得 再利用I=I1+I2亦可得

求P的二階導數(shù)發(fā)現(xiàn)>0,，果然是極小值,。

靜電平衡也可以用兩種方式來解釋。為了得到電荷總是分布在導體的表面這個結(jié)論,，我們一方面可以利用電荷之間互相排斥來說明；另一方面,，我們可以利用導體的靜電能最低來求出電荷的分布,。
看一個小題：半徑分別為r和R的同心金屬球面以細導線相連，已知整個系統(tǒng)帶有電荷Q,，求靜電平衡時,，內(nèi)求所帶的電荷q,。
我們現(xiàn)在用靜電能最低來證明q=0。設靜電能為W,，則

為了求得W的最小值兩邊求導（以q為自變量）

因為r<>R所以q=0,。 求W的二階導數(shù)發(fā)現(xiàn)>0，果然是極小值,。

再來看一個例子,。如圖那樣把一個鐵鏈子的兩端系在水平的棒上，鐵鏈子會形成一個美妙的曲線（懸鏈線）,。為了計算這條曲線的方程,，我們可以用受力分析來做，但還有另一種方法,，即鐵鏈子的真實形狀使得其重力勢能最低,。你無論怎么改變鐵鏈子的形狀，得到的重心總會比真實情況高,。

水 珠也很有代表性,。如果在太空中忽略重力，那么水珠會成為球形——相同體積的所有立體圖形中表面積最小的,，在物理中我們說表面勢能最?。ū砻鎻埩挂后w有 一個表面勢能，其大小正比于液體表面積）,。如果考慮重力,，液體的形狀會是怎樣的呢？是哪一個量取最小值呢,，重力勢能還是表面勢能,？聰明的造物主選擇了這么 一個量：重力勢能加上表面勢能最低。重力盡可能的把重心往下拽,，表面張力又盡可能的使液體保持球形,，最后就形成了一個扁扁的類似橢球的形狀（不考慮液體與 地面之間的分子力）。

以上種種現(xiàn)象表明,，造物主似乎是個精明的經(jīng)濟學家,，他總是盡心設計物理定律使得“成本”最小。很久以前,，人們認為這些 極值問題僅僅是一些物理定律的偶然結(jié)果,，可是隨著理論的發(fā)展，人們似乎慢慢認識到極值才是宇宙中最本質(zhì)的定律,。在今天,，物理學家們已經(jīng)找到了一種以統(tǒng)一的 形式和精確的數(shù)學去描述這些極值問題的原理——最小作用量原理。

最小作用量原理與物理之美3——費馬原理

對于幾何光學中 的許許多多的定律,，費馬找到了一種統(tǒng)一的描述,，現(xiàn)在被稱為費馬原理,，被認為是最小作用量原理在幾何光學中的特例，是最小作用量原理最早的成功例子,。上一篇 文章并沒有真正寫最小作用量原理,，寫的僅僅是一些簡單的極值問題（千萬不要認為那就是最小作用量原理），而本文與下一篇文章則將寫最小作用量原理在幾何光 學與動力學的特例,，并給出比較精確的數(shù)學公式（這是為了后面的橫向比較和更深刻地理解最小作用量原理）,，對微積分頭痛的人可以跳過公式只看文字。費馬原理 是這么說的：過空間中兩定點的光,，實際路徑總是光程最短,、最長或恒定值的路徑。其中光程定義為該介質(zhì)的折射率乘以路程,。寫成數(shù)學的形式就是：

其 中,，δ是變分符號，p1,、p2表示空間中兩個固定點,，n為介質(zhì)的折射率，s表示路程,。為了理解上式的含義,，我們需要和導數(shù)做一個類比。我們對一個函數(shù)求導 數(shù),，如果導數(shù)值等于零,，那么可以判斷出原函數(shù)在該點處會取得極小值、極大值或恒定值,。上面的式子和導數(shù)有一個顯著的不同,，導數(shù)研究的是以字母為自變量的函 數(shù)的極值，而上式想求的則是以一個函數(shù)（位置隨時間變化的函數(shù)）為自變量的泛函的極值,。我們把每一條路徑看作是位置隨時間變化的函數(shù),，把這個函數(shù)看作自變 量，我們要求的則是各條路徑中光程取極值的那條路徑,；就像我們求導求的是各個x中使得y取極值的那個點,。函數(shù)求極值可以用導數(shù)，泛函求極值則可以用變分 法,，即δS=0（其中S是一個泛函）,。大家就把δ理解成和導數(shù)相類似的東西就可以了。大家可能還見過費馬原理的另一種表述：過空間中兩定點的光,，實際路徑 總是時間最短,、最長或恒定值的路徑。就是把光程換成時間t了,，即：

這兩種表述是等價的,，因為

上面推導中v表示光在某介質(zhì)中的傳播速度（v=c/n），c表示真空中光速（是個常數(shù)）,，其余字母的解釋和前面一樣,。
在幾何光學中，我們把作用量S定義為

也就是說作用量在幾何光學中的形式就是等號右邊的那部分,。

有 了費馬原理,，就有了全部幾何光學，我們可以從費馬原理出發(fā)退出所有的幾何光學定理,。這是費馬原理的強大威力之一,。首先看最簡單的，光在同種均勻介質(zhì)中沿直 線傳播,，從費馬原理當然一眼就能推出來,。光走其他的路徑肯定比直線所花的時間要長（暫不討論廣義相對論中的時空彎曲）。
再來證明平面鏡反射中反射角等于入射角,。我們把S點對稱到平面鏡的另一邊,，用直線聯(lián)結(jié)S’與P，得到的就是時間最短的路徑,，聯(lián)結(jié)SO,，通過簡單的平面幾何知識就可以得到反射角等于入射角的結(jié)論。
折 射定律亦可以從費馬原理推出來,，但是稍顯麻煩,，在這里就不定量討論了。我想說的是光之所以發(fā)生折射確實是因為光走那條關(guān)了一道彎的路徑是時間最短的,。記得 很小的時候我就知道光可以發(fā)生折射,，可是我就一直弄不明白好端端的直線光為什么不走，非要走一條怪異的拐彎的路線,。我曾經(jīng)問過很多老師光為什么會發(fā)生折 射,，他們都沒有給我滿意的答復，直到我看見了費馬原理才徹底弄明白了這個問題,。

下面我要重點說一下費馬原理如何簡潔的證明圓錐曲線的光學性質(zhì),。這里的圓錐曲線都被鍍上了一層銀，可以當鏡子用,。
(1) 從橢圓一個焦點發(fā)出的光,，經(jīng)過橢圓的反射，會匯集到另一個焦點上,。證明：根據(jù)橢圓的定義,，F(xiàn)1P+PF2=定值，根據(jù)費馬原理，光的實際路徑是光程極小,、 極大或定值的路徑,，所以F1到圓錐曲線上任意一點再到F2是光走的實際路徑，所以從F1發(fā)出的光經(jīng)過圓錐曲線反射會匯集到F2,。
(2)從拋物線的 焦點發(fā)出的光,，經(jīng)過拋物線反射會形成平行光束。證明：做出拋物線的準線,，F(xiàn)1P等于P到準線的距離,，即這兩段光程相等。光的實際路徑至于光程的取值有關(guān),， 所以從F1發(fā)出的經(jīng)過拋物線反射的光和直接從準線向右發(fā)出的光完全等效,，因此從F1發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射會形成平行光束,。
(3)從雙曲線的一 個焦點發(fā)出的經(jīng)過雙曲線反射形成的光,，好像是從雙曲線的另一個焦點直接發(fā)出的。證明：因為F1P-F2P=定值,，所以對極值的取得沒有影響,，即從F2發(fā)出 的經(jīng)過P反射的光與從F1直接發(fā)出的經(jīng)過P的光取極值的路徑相同，即路徑是一樣的,。故證明了雙曲線的光學性質(zhì),。
要知道，從數(shù)學上證明上述性質(zhì)是相當麻煩的,，而有了費馬原理則可以幾句話就把問題解決,，一點高深的數(shù)學也沒用。這是費馬原理的另一個強大威力,。

至 于費馬原理為什么是對的,，《費恩曼物理學講義 第二卷》第19章給出了一個精彩闡述。他是這么說的：“要是他遵循一條需要不同時間的路徑,，則當它到達時就有不同相位,。而在某一點上的總振幅等于光能到達 的所有不同路徑振幅貢獻的總和。所有那些提供相位差異很大的路徑將不會合成任何東西,。但如果你能找出一整序列路徑,，他們都具有幾乎相同的相位，則小小的貢 獻便將加在一起而在到達之處得到一個可觀測的總振幅,。因此,，重要路徑就成為許多能給出相同相位彼此靠近的路徑?！倍挥袝r間取極值的那條路徑,，才能保證路 徑有微小變化時時間保持不變（再次與導數(shù)類比,，函數(shù)取極值的那個點，當x有微小變化Δx時,，Δy=Δx*y’=0,，其余的點Δy都是一個不為0的數(shù)）。因 此,，時間取極值的路徑被疊加了,，成為了實際路徑,，而其余的任何可能路徑都被不同的相位給抵消沒了,。

這個甚至可以解釋光的衍射現(xiàn)象。當我們用一個很細的狹縫來擋住一部分光時,，時間不取極值的某些路徑也因為有一部分光被擋住而不能很好的疊加為零,，因此這種情況下光并不是總衍直線傳播，而是產(chǎn)生了光可以繞到障礙物后面的的現(xiàn)象,，即衍射現(xiàn)象,。

我們已經(jīng)看到了最小作用量原理在光學中的應用，它可以代替所有其他幾何光學定律,。下篇文章我將寫最小作用量原理在力學中的特例,，以及如何代替整個牛頓力學。

最小作用量原理與物理之美4——力學

就像最小作用量原理可以推導出所有幾何光學定律一樣,，力學中也存在一個最小作用量原理的特例可以推導出整個牛頓力學,。今天我們就來研究研究這個。

有 這樣一個事實：假定有一個質(zhì)點在引力場中通過自由運動從某處移動至另一處——你把它拋出去,，他就會上升又落下,。如果畫出x-t圖（為了簡化，只考慮一維的 運動,，設x軸是豎直的軸）,，那么運動圖像是一條拋物線。你可以嘗試著通過起點和終點畫一些別的曲線,，如果計算出經(jīng)歷整條路徑期間動能減重力勢能對時間的積 分,，你會發(fā)現(xiàn)所獲得的數(shù)值比實際運動所獲得的要大。如果我們設作用量S為

那么上面的事實換句話說就是作用量S在實際運動中取得最 小值,。對上面字母的解釋：t1,、t2表示運動的起點和終點時刻，1/2*m*v^2是研究物體的動能,，V(x)是其勢能（這里把它寫成是隨x變化的函 數(shù)）,。當物體只受重力的時候，V(x)=mgx,。我們在上一篇文章中說過,，一個泛函取得極值可以令其變分等于0,，所以在力學中，最小作用量原理的特例就寫 作：


我們可以先定性的理解實際情況確實作用量最小,。X增大時勢能是增大的,，作用量中勢能前有個負號，所以應該在x比較大的時候多呆一段時間,，而x比較小的地方盡可能快地往上爬,，以保證動能減勢能之差對時間累積之后盡可能小。

下面我想用基本的微積分變一個驚人的魔術(shù)：從最小作用量原理推導出牛頓第二定律F=ma,！
我沒完整學過變分法,，因此我將主要根據(jù)《費恩曼物理學講義 第二卷》第19章的內(nèi)容，不直接用變分法而用高中生就能接受的初等的微積分來推導,。
我 們現(xiàn)在想要求的是一個泛函S的極值[之所以說S是泛函是因為,，S的自變量是x隨時間變化這個函數(shù)x(t)]，可以類比當初學導數(shù)的過程,。先回憶一下我們還 沒學求導公式的時候是怎么求導的：要求一個函數(shù)的極值,，我們可以令x有一個無窮小的變化Δx，代入函數(shù)的表達之后運算并舍掉高階無窮小量最后算出Δy,，令 導數(shù)等于Δy/Δx等于0即可求得y在何時取得極值,。我們將模仿上述過程求泛函S的極值。

先進行一些前期工作,。首先把v換掉,，根據(jù)v是x對t的導數(shù)得到

在 下面的推導中，為了方便有時把x(t)簡寫作x,。我們稱真實路徑為x0(t),，而x(t)則表示某條假想的嘗試路徑。我們設真實路徑與實際路徑有一微小差 別（當作小量）記作η(t),。同樣為了方便有時把η(t)簡寫作η,。因為我們的數(shù)學模型規(guī)定了p1、p2是空間中兩個固定點,，因此有 η(t1)=0,，η(t2)=0（這個規(guī)定是必須的，否則得不到任何有價值的東西）,。

有了上面這些東西,，我們開始對S進行運算。

忽略掉高階無窮小,，即含有η^2或更高次冪的項,，得到

下面對V(x0+η)變形，如果知道泰勒級數(shù)的人可以容易的理解V(x0+η)如何展開,，如果不知道的話也不要緊,，類比導數(shù)（類比導數(shù)是多么重要?。。,。,。?/p>

我們知道y可以寫作y=y0+Δy=y0+y’*Δx,，其中y表示y對x的導數(shù),。那個η和Δx地位是相當?shù)模琕(x)和y地位是相當?shù)?，類比著我們可以寫?br>
其中V’表示V的導數(shù),。所以

還記得δS的定義吧，它就是我們的嘗試路徑得到的S減去實際路徑得到的S0,。所以

現(xiàn)在的問題是,，這里是某個積分，雖然我們還不知道x0是什么,，但是我確實知道不管η是什么，這一積分必須恒為零,。

我們需要做的是把積分號里面那部分寫成η乘以某個東西,，如果這個東西恒為零了，那么整個積分式就恒為零,。
所以我們想用所謂的分部積分對S進行變形,。

分部積分可以從導數(shù)的乘法公式得來，假設我們有某個函數(shù)f（以t為自變量）,，我們想求f*η對t的導數(shù),，則有

兩邊同時積分得到

上面的式子就叫做分部積分。令上式的f=m*dx0/dt可以得到

來看上式的第一項,，因為前面說過的,，η(t1)=0，η(t2)=0,，所以第一項等于零,！所以

我們終于得到了想要的結(jié)果——某個東西乘以η(t)總等于0！那就令這個東西恒等于零好了,！看看這是什么,？

第一項中x0對t的二階導數(shù)正是加速度a，第二項中勢能V(x0)的導數(shù),，不正是-F么?。?！上面那個式子其實就是F=ma!!!

好了,，花了這么大的力氣終于從最小作用量原理推導出了牛頓第二定律,，從而基本上可以解決任何經(jīng)典力學問題了。

在 《最小作用量原理與物理之美2——自然中無處不在的極值》中我舉了重力勢能最低,、表面勢能最低的例子,，這其實就是作用量中動能那一項恒等于零的結(jié)果。需要 注意的是,，盡管我們總是叫最小作用量原理,，實際上作用量不一定最小，它可以是極小值,、極大值或者恒定值,，重力勢能最低實際上是作用量取極大值的情況（作用 量中勢能前有個負號）。

有了這個力學的最小作用量原理,，我們只要把合適的V(x)帶進去就可以得到各種各樣的結(jié)果,，很多東西就能被理解了。有人會說牛頓力學不是錯的么,，相對論更準確,，從最小作用量原理推出的是不準確的結(jié)果，那么它本身也不會正確,。

我想說的是,，原理本身沒有錯，主要是我們的推導沒有考慮任何相對論效應,，作用量本身也沒有經(jīng)過相對論的修正,，但是嚴謹?shù)谋硎鍪强梢詫崿F(xiàn)的。

最小作用量原理與物理之美5——構(gòu)建整個世界

有 人曾經(jīng)問過我有沒有一個公式可以描述整個世界,，我的回答就是,，可能會有，這個定律很可能就是最小作用量原理,?！犊膳碌膶ΨQ》生動地說道：整個宇宙的終極設 計可以寫到一張餐巾紙上，那一行緊湊的公式可以推導出所有物理定律,。而那張餐巾紙上寫的,，其實就是作用量S的表達式。我們前面看到了S在幾何光學中的特 例,，也看到了他在經(jīng)典力學中的特例,。終極設計的S中一些量為常數(shù)，就可以退化成各種各樣的特例,。在電磁學,、熱學、相對論,、量子力學中,，S也有各自的退化形 式,。而一旦終極設計的S中的所有項我們都弄清楚了，我們也就可以自豪地宣稱我們理解宇宙了,?？上覀冸x這個夢想還差得很多。

當年20世紀初 的時候,，物理學大廈貌似被全部推翻了,，似乎一切舊的理論都被新的理論所取代了。但是,，“在如此多的廢墟中間,，還有什么東西屹立長存呢？最小作用量原理迄今 未經(jīng)觸動,，人們似乎相信他會比其他原理更久長,。事實上，它是更加模糊,，更加抽象,。”龐加萊（Poincaré）（又被翻譯成彭加勒）如是說,。他還說道： “作為普遍的原理,，最小作用量原理和守恒原理具有極高的價值，他們是在許多物理定律的陳述中尋求共同點時得到的,，因此，他們仿佛代表著無數(shù)觀察的精髓,?！?確實，很難想象最小作用量原理會被推翻,，因為在最小作用量原理之外我們想不到還有什么更普遍而真實的原理了?，F(xiàn)代物理已經(jīng)全部構(gòu)建在最小作用量原理之上， 如果發(fā)現(xiàn)最小作用量原理不成立了,，那可以說整個物理就沒有什么對的東西了,。

據(jù)說廣義相對論就是建立在最小作用量的基礎上的。定性的來說,，光 在彎曲的時空中走的仍是光程最短的路徑,，雖然在我們的眼中他并沒有走直線，但是就像在籃球上劃一條長度最短的線不是直線一樣,，光在彎曲時空中光程最短的路 徑并不是直線,。因為我對廣義相對論不熟悉，這里就不多說了,。

費恩曼從高中起就對最小作用量原理非常癡迷,，這也正奠定了他后來那么牛的基礎,。 我們現(xiàn)在知道量子力學有三種等價表述：第一種是海森堡建立矩陣力學；第二種是薛定諤建立的波動力學,；第三種則是費恩曼建立的基于作用量的量子力學——路徑 積分,。費恩曼的這種表述發(fā)明的最晚，但是卻是最簡捷,、最容易理解的一種表述（費恩曼自己是這么說的,，到底是不是容易理解我不清楚）。
據(jù)說有一次開 物理大會的時候,，一個叫斯羅特尼克的物理學家做了一個報告,，用舊的量子力學方法給出了描述電子從中子上反彈的方式的一些新結(jié)果，他在算的時候用了幾個月的 時間,。費恩曼當時剛剛發(fā)明他的新理論,，急迫的想驗證理論的正確性，于是他那天晚上就回去算了同樣的東西,，想看看能否給出同樣的結(jié)果,。第二天費恩曼找到了斯 羅特尼克并對比了結(jié)果。斯羅特尼克都快瘋了：“你說你昨天晚上算了出來是什么意思,，它可花了我6個月的時間?。?！”核對結(jié)果時,，費恩曼還發(fā)現(xiàn)斯羅特尼克算 的是個零動量轉(zhuǎn)換情況下的特解，而他算得卻是這個問題的一種普遍形式的通解,！可見費恩曼的理論有多么大的優(yōu)越性,，可見最小作用量原理在復雜問題上的優(yōu)越 性！

不僅僅是相對論,、量子力學需要最小作用量原理,，甚至同一場理論、弦論都直接把最小作用量原理作為其理論根基,?？梢姡钚∽饔昧吭硪呀?jīng)是物理的靈魂了,。

最小作用量原理與物理之美6——對稱守恒與作用量

作用量的形式變幻多端,，有人曾問過我我們是怎么知道作用量的表達式的。我想說的是,，人類還沒有一套完整的直接寫出不同領(lǐng)域的作用量的方法,，但是利用物理定律的對稱性人們可以更容易得找到正確的作用量。物理定律的對稱性和平常所說的幾何對稱還稍有不同，我來簡單介紹一下吧,。

對 稱的定義要點是這樣的：如果有一樣東西,，我們可以對它做某種事情，在做完之后,，這個東西看起來依舊和先前一樣,，那它就是對稱的（見《費恩曼物理學講義第一 卷》第52章）。比如我們熟悉的軸對稱圖形,，我們把它經(jīng)過鏡面反射,，它看起來和原來一樣，因此它就是對稱的,。作用量的對稱性就是物理定律的對稱性,。對于物 理定律來說，他們應該滿足一些對稱性,。例如,，F(xiàn)=ma這樣的定律，我們在實驗室做實驗,、在海底做實驗,、在外太空作實驗都可以得到，不會在哪里發(fā)現(xiàn) F=2ma或者F=m^2*a,。我們稱這些物理定律滿足空間平移對稱,。物理定律還滿足時間平移對稱，我們一百年以前做的實驗發(fā)現(xiàn)的定律,，現(xiàn)在再做還會發(fā)現(xiàn) 同樣的定律,，一百年以后依然如此，物理定律的形式不隨時間的流逝而改變,，就稱這些定律滿足時間平移對稱,。還有一個比較普遍的對稱稱為空間旋轉(zhuǎn)對稱，即我們 無論臉朝著哪個方向看到的物理定律都應該都是相同的,。以上三個對稱性，是適用于所有物理定律的,，至今沒有發(fā)現(xiàn)任何物理定律例外,。還有一些對稱性只是被部分 滿足。比如鏡像對稱,，把整個世界的左和右顛倒過來,，在弱互相作用發(fā)生的時候世界就會改變，但在其他過程中世界還是原來的模樣,。還有電荷共軛對稱,，除了在弱 互相作用發(fā)生時，我們把世界上所有的正物質(zhì)與反物質(zhì)對換,，物理定律不變,。（可見弱互相作用很特殊）,。

對稱與守恒有著一種深刻而神秘的聯(lián)系。 這一聯(lián)系是19世紀的一位女數(shù)學家——艾米?諾特爾（Emmy Noether）發(fā)現(xiàn)的,，后人將其命名為諾特爾定理：作用量的每一種連續(xù)對稱性都有一個守恒量與之對應,。在諾特爾定理發(fā)現(xiàn)之前，物理學家們在尋找守恒量的 時候需要經(jīng)過不知多少次嘗試,，甚至連所研究的物理過程究竟有多少守恒量都不知道,。如果物理學家們只能用不停的試探來尋找守恒量的話，事情將十分令人討厭,。 在需要考慮更抽象的作用量的今天就更是如此了,。

下面我們列出幾種常見的作用量對稱與守恒之間的對應關(guān)系：
時間平移對稱——能量守恒；空間平移對稱——動量守恒,；空間旋轉(zhuǎn)對稱——角動量守恒,；鏡像對稱——宇稱守恒

從 上面的對應可以看出，時間平移對稱應該是顯然成立的,，所以能量守恒牢不可破,，所有物理定律沒有例外；而宇稱除了在弱互相作用下都守恒,，正對應著除了在弱互 相作用發(fā)生時把世界的左右顛倒之后作用量不變（至于宇稱是什么,，我也沒有清楚的了解，反正是量子力學中的一個量,，當年是楊振寧和李政道發(fā)現(xiàn)的宇稱在弱互相 作用下不守恒）,。

最小作用量原理、對稱,、守恒,，就這樣聯(lián)系在一起了：世界的運行滿足最小作用量原理，作用量的形式受對稱性的約束,，對稱性又 與某個守恒定律等價,。看來上帝的設計充滿了美與和諧,，一點也不像曾經(jīng)想象的那樣僅僅是一堆一堆唯象物理定律的堆砌,。確實，造物主設計宇宙的時候?qū)懴碌牟豢?能是f=μN,、F=kx這樣的東西,，直接寫出作用量的表達式，再給出幾個對稱性,，宇宙就變得穩(wěn)定而有趣了,。很多人抱怨物理很亂，可是我看到的只有物理之 美！