在討論梯度、散度,、旋度時(shí),，我們引進(jìn)了算子

而 ， ，

在前面一些章節(jié)和習(xí)題中我們證明了不少有關(guān)梯度,、散度,、旋度的恒等式.例如：

（1）div ，

（2）rot , 等,，

這些等式我們都是利用梯度,、散度、旋度的表達(dá)方式進(jìn)行計(jì)算而得到的,，計(jì)算常較復(fù)雜,，所得的結(jié)果也難于記憶，現(xiàn)在我們歸結(jié)出幾條 算子的運(yùn)算法則,，以供參考.

注意到 是一個(gè)符號矢量,，又是一個(gè)微分算子，這就決定了 在運(yùn)算中的二重性,，既要當(dāng)做一個(gè)矢量來進(jìn)行矢量運(yùn)算,，又要進(jìn)行微分運(yùn)算.

1、加法規(guī)則

,， ,，

（其中 、 是常量）.

2,、乘法規(guī)則

,， ，

,， ,

,， .

一定要作用在一人數(shù)量函數(shù)或矢量函數(shù)時(shí)才有實(shí)際意義,，其作用方式有三種：

,，讀作“ 乘 ”， ,，讀作“ 點(diǎn)乘 ”,， ，讀作“ 叉乘 ”

注意到“ ”的后面必需是數(shù)量函數(shù),，而“ ”“ ”后面必需矢量函數(shù)才有意義.不然,，如 ， 或 是沒有意義的.

實(shí)際上,，加法規(guī)則中的三個(gè)等式,，我們在習(xí)題中利用梯度、旋度、散度的表達(dá)式已證明過,，對于乘法規(guī)則中的幾個(gè)等式,，在這里只證明其中的一個(gè)，其他的讀者可自行證明之.

證明

可以看到,，加法規(guī)則和乘法規(guī)則與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則相似. 在 的運(yùn)算中時(shí)常要用到下列公式： ,， (3.1) , (3.2) (3.3)

這里舉一個(gè)例子說明這些公式的用法.

例1 寫出 的表達(dá)式.

可利用公式（7.1），注意到這公式右方第一項(xiàng)還可寫成：

, , ,

但將這公式用到 上情況就不一樣了,，將所有可能采取的各種次序?qū)懺谙旅妫?/font>

,， ， ,， ,，

由于在 中， 要受到前面兩個(gè) 的作用,，因此只能寫成 .對公式右邊第二項(xiàng)情況也是類似的.于是有

,， 即

另外為了方便起見, 我們定義算子：

，

并規(guī)定

由定義知,， 和 的意義是完全不相同的.

例2

上述式子中,，例如“ ”，因 只作用在 上,， 看成常矢量而可提到 的前面來,，又如“ ”因 只作用在 上就不必寫成 了，記成 即可.

例3 求 ,， ，并驗(yàn)證：

,，

解 將公式（7.1）用到 上,，在這里 只作用在 上，對 不起作用,，因而得到的等式右方一項(xiàng)為 ,，而第二項(xiàng)為 ，即有

（*）

同理

而 （**）

由（*）及（**）兩式即有

例4 驗(yàn)證 ,，其中a是常矢量,，

證明 由斯托克斯公式 在其中取 ，即有

而 , 故有 ,，

例5 驗(yàn)證

,， （3.4）

(3.5)

證明 由高斯公式 ，在其中取 ,，即有

,， . 同理有 (3.4)減去(3.6)即得(3.5)式. (3.4)，(3.5)兩式分別稱為第一，第二格林公式,，在數(shù)學(xué)物理方程中要用到.

現(xiàn)在將常用的一些公式寫在下面以備查用（有些沒有證明過的留待讀者在習(xí)題中加以證明）.

, ,，

，

,， ,， ，

,，

,，

， ,，

,， ，

, , .

高斯公式 .

斯托克斯公式 .

格林公式 .

其中 ,，格林公式中的 是 平面上的封閉曲線.