拓?fù)鋽?shù)學(xué)中有數(shù)字幻方內(nèi)容,，我國古代所稱“縱橫圖”，就屬于數(shù)字幻方,。

將1到n2 中的自然數(shù)排列成縱橫各有n 個(gè)數(shù)的正方形,，使每行、每列及兩條主對(duì)角線n 個(gè)數(shù)的和都相等[等于n（n2+1）/2],，這種排列就稱為n 階幻方,，也叫n 階縱橫圖。例如,，由1-9數(shù)構(gòu)成的3階幻方,，其縱橫和對(duì)角三個(gè)數(shù)之和都是：3（32+1）/2=15。下面,，我們先來看一下實(shí)物上面的幻方,。

圖1              圖2             圖3

圖1是出土玉器上面刻的四階幻方，圖2是數(shù)字幻方的細(xì)部照片,，圖3是該幻方的數(shù)字表格,，其縱橫、對(duì)角四個(gè)數(shù)之和皆等于34。

        圖4                   圖5

圖4是銀幣上面的五階幻方,，圖5是其數(shù)字表格,，其縱橫、對(duì)角四個(gè)數(shù)之和皆等于65,。

圖6                   圖7

    圖6是陜西省博物館藏出土的鐵質(zhì)阿拉伯?dāng)?shù)字六階幻方,，圖7是該幻方的數(shù)字表格，其縱橫,、對(duì)角五數(shù)之和皆為111,。

在中國歷史上，起初“縱橫圖”只是一種數(shù)字游戲,。到了南宋時(shí)的數(shù)學(xué)家楊輝,，才把它作為一個(gè)數(shù)學(xué)問題加以深入研究。楊輝在他的《續(xù)古摘奇算法》書中,，搜集了各種類型的縱橫圖,，并對(duì)其中部分縱橫圖構(gòu)造的規(guī)則和方法加以說明。
    楊輝列出的縱橫圖,，共有十三幅：洛書數(shù)（三階幻方）一幅,，四四圖（四階幻方）兩幅，五五圖（五階幻方）兩幅,，六六圖（六階幻方）兩幅,，七七圖（七階幻方）兩幅，六十四圖（八階幻方）兩幅,，九九圖（九階幻方）一幅,，百子圖（十階幻方）一幅。所謂的三階《洛書數(shù)幻方》（見圖8,、圖9）,，就與《周易》有關(guān)系。

      圖8                圖9

歷史上研究周易圖的學(xué)者,，還給《洛書》匹配上了八卦,，于是就有了“八卦縱橫圖”。還有《方明八卦幻方》（見圖10）,。八卦六合幻方,，六面的任意一面的四角卦數(shù)之和皆為18。

         圖10

楊輝還給出了“周易六十四卦數(shù)”的八階幻方（見圖11）,。楊輝周易64卦數(shù)幻方,，縱橫、對(duì)角六數(shù)之和皆為260,。楊輝的六十四卦數(shù)縱橫圖,，雖然縱橫、對(duì)角八個(gè)卦數(shù)之和都是260，但是從卦的陰陽爻數(shù)看,，卻沒有“幻方”關(guān)系,。

        圖11

    北宋易學(xué)家邵雍，給出的《周易》六十四卦數(shù)是乾1至坤64（見圖表12）,。               

  這六十卦四符號(hào)的正方形排列,，就是邵雍《先天圖》內(nèi)的方圖，其對(duì)角八個(gè)卦數(shù)之和都是260,。   

      
圖12

筆者在十二年前排出了新的六十四卦縱橫圖（見圖13）,，其縱橫與對(duì)角，八個(gè)卦的陰爻數(shù)皆等于24,，八個(gè)卦的陽爻數(shù)也皆等于24,。  

圖13

把邵雍的六十四卦數(shù)代入圖13，則得圖14的八階幻方,。其縱橫與對(duì)角八數(shù)之和皆等于260,。

圖14

把十七世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼的六十四卦二進(jìn)制數(shù)代入圖13，則得圖15的八階幻方（化作十進(jìn)制）,。其縱橫與對(duì)角八數(shù)之和皆等于252,。

圖15