二,、化歸思想

1. 化歸思想的概念。

人們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題,，如果直接應(yīng)用已有知識(shí)不能或不易解決該問(wèn)題時(shí),，往往將需要解決的問(wèn)題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問(wèn)題,，最終使原問(wèn)題得到解決,，把這種思想方法稱為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。

從小學(xué)到中學(xué),，數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)一個(gè)由易到難,、從簡(jiǎn)到繁的過(guò)程；然而,，人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué),、理解和掌握數(shù)學(xué)的過(guò)程中，卻經(jīng)常通過(guò)把陌生的知識(shí)轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí),、把繁難的知識(shí)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的知識(shí),，從而逐步學(xué)會(huì)解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此,，化歸既是一般化的數(shù)學(xué)思想方法,，具有普遍的意義；同時(shí),，化歸思想也是攻克各種復(fù)雜問(wèn)題的法寶之一,，具有重要的意義和作用。

2. 化歸所遵循的原則,。

化歸思想的實(shí)質(zhì)就是在已有的簡(jiǎn)單的,、具體的、基本的知識(shí)的基礎(chǔ)上,，把未知化為已知,、把復(fù)雜化為簡(jiǎn)單、把一般化為特殊,、把抽象化為具體,、把非常規(guī)化為常規(guī)，從而解決各種問(wèn)題,。因此,，應(yīng)用化歸思想時(shí)要遵循以下幾個(gè)基本原則： 

（1）數(shù)學(xué)化原則,，即把生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型,，從而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)找到解決問(wèn)題的方法,。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活,。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一就是要利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的各種問(wèn)題,，課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)的目標(biāo)之一就是培養(yǎng)實(shí)踐能力。因此,，數(shù)學(xué)化原則是一般化的普遍的原則之一,。

（2）熟悉化原則，即把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題,。人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程,，就是一個(gè)不斷面對(duì)新知識(shí)的過(guò)程；解決疑難問(wèn)題的過(guò)程,，也是一個(gè)面對(duì)陌生問(wèn)題的過(guò)程,。從某種程度上說(shuō)，這種轉(zhuǎn)化過(guò)程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)既是一個(gè)探索的過(guò)程,，又是一個(gè)創(chuàng)新的過(guò)程,；與課程標(biāo)準(zhǔn)提倡培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神是一致的,。因此，學(xué)會(huì)把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題,，是一個(gè)比較重要的原則,。

（3）簡(jiǎn)單化原則，即把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題,。對(duì)解決問(wèn)題者而言,，復(fù)雜的問(wèn)題未必都不會(huì)解決，但解決的過(guò)程可能比較復(fù)雜,。因此,，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，尋求一些技巧和捷徑,，也不失為一種上策,。

（4）直觀化原則，即把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題,。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一便是它具有抽象性,。有些抽象的問(wèn)題，直接分析解決難度較大，需要把它轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題,，或者借助直觀手段,，比較容易分析解決。因而,，直觀化是中小學(xué)生經(jīng)常應(yīng)用的方法,，也是重要的原則之一,。
    3. 化歸思想的具體應(yīng)用,。

學(xué)生面對(duì)的各種數(shù)學(xué)問(wèn)題,，可以簡(jiǎn)單地分為兩類：一類是直接應(yīng)用已有知識(shí)便可順利解答的問(wèn)題；另一種是陌生的知識(shí),、或者不能直接應(yīng)用已有知識(shí)解答的問(wèn)題，需要綜合地應(yīng)用已有知識(shí)或創(chuàng)造性地解決的問(wèn)題,。如知道一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬,，求它的面積,，只要知道長(zhǎng)方形面積公式的人,，都可以計(jì)算出來(lái)，這是第一類問(wèn)題,；如果不知道平行四邊形的面積公式,，通過(guò)割補(bǔ)平移變換把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，推導(dǎo)出它的面積公式,，再計(jì)算面積,，這是第二類問(wèn)題。對(duì)于廣大中小學(xué)生來(lái)說(shuō),，他們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中所遇到的很多問(wèn)題都可以歸為第二類問(wèn)題,，并且要不斷地把第二類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第一類問(wèn)題。解決問(wèn)題的過(guò)程,，從某種意義上來(lái)說(shuō)就是不斷地轉(zhuǎn)化求解的過(guò)程,，因此，化歸思想應(yīng)用非常廣泛,。

化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用如下表,。

4．解決問(wèn)題中的化歸策略,。

（1）化抽象問(wèn)題為直觀問(wèn)題,。

數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是它具有很強(qiáng)的抽象性，這是每個(gè)想學(xué)好數(shù)學(xué)的人必須面對(duì)的問(wèn)題,。從小學(xué)到初中,，再到高中，數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象性不斷加強(qiáng),，學(xué)生的抽象思維能力在不斷接受挑戰(zhàn),。如果能把比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為操作或直觀的問(wèn)題，那么不但使得問(wèn)題容易解決,，經(jīng)過(guò)不斷的抽象→直觀→抽象的訓(xùn)練,，學(xué)生的抽象思維能力也會(huì)逐步提高。下面舉例說(shuō)明,。

案例：

分析：此問(wèn)題通過(guò)觀察,，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)的,。但是對(duì)于小學(xué)和初中的學(xué)生來(lái)說(shuō),，還沒(méi)有學(xué)習(xí)等比數(shù)列求和公式,。如果把一條線段看作1, 先取它的一半表示，再取余下的一半的一半表示,，這樣不斷地取下去,，最終相當(dāng)于取了整條線段。因此，上式的結(jié)果等于1, 這樣利用直觀手段解決了高中生才能解決的問(wèn)題,。

（2）化繁為簡(jiǎn)的策略,。

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題比較復(fù)雜，直接解答過(guò)程會(huì)比較繁瑣,，如果在結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系相似的情況下,，從更加簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，找到解決問(wèn)題的方法或建立模型,，并進(jìn)行適當(dāng)檢驗(yàn),，如果能夠證明這種方法或模型是正確的，那么該問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)便得到解決,。下面舉例加以說(shuō)明,。

案例１：把186拆分成兩個(gè)自然數(shù)的和，怎樣拆分才能使拆分后的兩個(gè)自然數(shù)的乘積最大,？187呢,？

分析：此題中的數(shù)比較大，如果用枚舉法一個(gè)一個(gè)地猜測(cè)驗(yàn)證,，比較繁瑣,。如果從比較小的數(shù)開(kāi)始枚舉，利用不完全歸納法,，看看能否找到解決方法。如從10開(kāi)始,，10可以分成：1和9, 2和8, 3和7, 4和6, 5 和5,。它們的積分別是：9, 16, 21, 24, 25?？梢猿醪秸J(rèn)為拆分成相等的兩個(gè)數(shù)的乘積最大,，如果不確定，還可以再舉一個(gè)例子,，如12可以分成：1和11, 2和10, 3和9, 4和8, 5和7, 6和6, 它們的積分別是：11, 20, 27, 32, 35, 36,。由此可以推斷：把186拆分成93和93, 93和93的乘積最大，乘積為8649,。適當(dāng)?shù)丶右詸z驗(yàn),，如92和94的乘積為8648, 90和96的乘積為8640, 都比8649小。

因?yàn)?/SPAN>187是奇數(shù),，無(wú)法拆分成相等的兩個(gè)數(shù),，只能拆分成相差1的兩個(gè)數(shù)，這時(shí)它們的乘積最大,。不再舉例驗(yàn)證,。

案例2：你能快速口算85×85＝，95×95＝，105×105＝嗎,？

分析：仔細(xì)觀察可以看出,，此類題有些共同特點(diǎn)，每個(gè)算式中的兩個(gè)因數(shù)相等,，并且個(gè)位數(shù)都是5,。如果不知道個(gè)位數(shù)是5的相等的兩個(gè)數(shù)的乘積的規(guī)律，直接快速口算是有難度的,。那么,，此類題有什么技巧呢？不妨從簡(jiǎn)單的數(shù)開(kāi)始探索,，如15×15＝225,25×25＝625,35×35＝1225,。通過(guò)這幾個(gè)算式的因數(shù)與相應(yīng)的積的特點(diǎn)，可以初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：個(gè)位數(shù)是5的相等的兩個(gè)數(shù)的乘積分為左右兩部分：左邊為因數(shù)中5以外的數(shù)字乘比它大1的數(shù),，右邊為25（5乘5的積）,。所以85×85＝7225，95×95＝9025,，105×105＝11025,，實(shí)際驗(yàn)證也是如此。

很多學(xué)生面對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題,，可能知道怎么解答,，但是只要想起解答過(guò)程非常繁瑣，就會(huì)產(chǎn)生退縮情緒,，或者在繁瑣的解答過(guò)程中出現(xiàn)失誤,，這是比較普遍的情況。因此,，學(xué)會(huì)化繁為簡(jiǎn)的解題策略,，對(duì)于提高解決繁難問(wèn)題的能力大有幫助。

（3）化實(shí)際問(wèn)題為特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題,。

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,，應(yīng)用于生活。與小學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)的生活中的實(shí)際問(wèn)題,，多數(shù)可以用常規(guī)的小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決,；但有些生活中的實(shí)際問(wèn)題表面上看是一些常用的數(shù)量，似乎能用常規(guī)的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題,。但真正深入分析數(shù)量關(guān)系時(shí),，可能由于條件不全面而無(wú)法建立模型。這時(shí),，就需要超越常規(guī)思維模式,，從另外的角度進(jìn)行分析,，找到解決問(wèn)題的方法。下面舉例說(shuō)明,。

案例1：某旅行團(tuán)隊(duì)翻越一座山,。上午9時(shí)上山，每小時(shí)行3千米,，到達(dá)山頂時(shí)休息1小時(shí),。下山時(shí)，每小時(shí)行4千米,，下午4時(shí)到達(dá)山底,。全程共行了20千米。上山和下山的路程各是多少千米,？

分析：由于只知道上山和下山的速度,，不知道上山和下山的具體時(shí)間，因此無(wú)法直接求出上山和下山的路程,，但是知道總路程,。仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：題中給出了兩個(gè)未知數(shù)量的總和以及與這兩個(gè)數(shù)量有關(guān)的一些特定的數(shù)量，如果用假設(shè)的方法,，那么就類似于雞兔同籠問(wèn)題,。假設(shè)都是上山，那么總路程是18（6×3）千米,，比實(shí)際路程少算了2千米,，所以下山時(shí)間是2﹝2÷（4－3）﹞小時(shí)，上山時(shí)間是4小時(shí),。上山和下山的路程分別是12千米和8千米,。

案例2：李阿姨買了2千克蘋果和3千克香蕉用了11元，王阿姨買了同樣價(jià)格的1千克蘋果和2千克香蕉,，用了6.5元。每千克蘋果和香蕉各多少錢?

分析：此題初看是關(guān)于單價(jià),、總價(jià)和數(shù)量的問(wèn)題,，但是，由于題中沒(méi)有告訴蘋果和香蕉各自的總價(jià)是多少,，無(wú)法直接計(jì)算各自的單價(jià),。認(rèn)真觀察，可以發(fā)現(xiàn)：題中分兩次給出了不同數(shù)量的蘋果和香蕉的總價(jià),，雖然題中有蘋果和香蕉各自的單價(jià)這兩個(gè)未知數(shù),，但這二者沒(méi)有直接的關(guān)系，如果用方程解決,，也超出了一元一次方程的范圍,。那么這樣的問(wèn)題在小學(xué)的知識(shí)范圍內(nèi)如何解決呢,？利用二元一次方程組加減消元的思想，可以解決這類問(wèn)題,；具體來(lái)說(shuō)就是把兩組數(shù)量中的一個(gè)數(shù)量化成相等的關(guān)系,，再相減，得到一個(gè)一元一次方程,。不必列式推導(dǎo),，直接分析便可：1千克蘋果和2千克香蕉6.5元，那么可得出2千克蘋果和4千克香蕉13元,；題中已知2千克蘋果和3千克香蕉11元,。用13減去11得2，所以香蕉的單價(jià)是每千克2元,。再通過(guò)計(jì)算得蘋果的單價(jià)是每千克2.5元,。

（4）化未知問(wèn)題為已知問(wèn)題。

對(duì)于學(xué)生而言,，學(xué)習(xí)的過(guò)程是一個(gè)不斷面對(duì)新知識(shí)的過(guò)程,，有些新知識(shí)通過(guò)某些載體直接呈現(xiàn)，如面積和面積單位,，通過(guò)一些物體或圖形直接引入概念,；而有些新知識(shí)可以利用已有知識(shí)通過(guò)探索，把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí),。如平行四邊形面積公式的學(xué)習(xí),，通過(guò)割補(bǔ)平移，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形求面積,。這種化未知為已知的策略,，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常常見(jiàn)。下面舉例說(shuō)明,。

案例：水果商店昨天銷售的蘋果比香蕉的2倍多30千克,，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售香蕉多少千克,？

分析：學(xué)生在學(xué)習(xí)列方程解決問(wèn)題時(shí)學(xué)習(xí)了最基本的有關(guān)兩個(gè)數(shù)量的一種模型：已知兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系以及這兩個(gè)數(shù)量的和或差,，求這兩個(gè)數(shù)量分別是多少。題中的蘋果和香蕉的關(guān)系,，不是簡(jiǎn)單的倍數(shù)關(guān)系,；而是在倍數(shù)的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)條件，即蘋果比香蕉的2倍還多30千克,。假如把180減去30得150,，那么題目可以轉(zhuǎn)化為：如果水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍，那么這兩種水果一共銷售了150千克,。銷售香蕉多少千克,？這時(shí)就可以列方程解決了,，設(shè)未知數(shù)時(shí)要注意設(shè)誰(shuí)為x，題目求的是哪個(gè)量,。

這個(gè)案例能給我們什么啟示呢,？教師在教學(xué)中要讓學(xué)生學(xué)習(xí)什么？學(xué)生既要學(xué)習(xí)知識(shí),，又要學(xué)習(xí)方法,。學(xué)生不僅要學(xué)會(huì)類型套類型的解題模式，更重要的是在理解和掌握最基本的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上,，形成遷移類推或舉一反三的能力,。教師在上面最基本的模型基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生深入思考以下幾個(gè)問(wèn)題：

1. 水果商店昨天銷售的蘋果比香蕉的2倍少30千克,，這兩種水果一共銷售了180千克,。銷售蘋果多少千克？

2. 水果商店昨天銷售的香蕉比蘋果的多30千克,，這兩種水果一共銷售了180千克,。銷售蘋果多少千克？

3. 水果商店昨天銷售的香蕉比蘋果的少30千克,，這兩種水果一共銷售了120千克,。銷售蘋果多少千克？

4. 水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍,，銷售的梨是香蕉的3倍,。這三種水果一共銷售了180千克。銷售香蕉多少千克,？

5. 水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍,，銷售的梨是蘋果的2倍。這三種水果一共銷售了210千克,。銷售香蕉多少千克,？

從以上幾個(gè)題目的步數(shù)來(lái)說(shuō)，可能已經(jīng)超越了教材基本的難度標(biāo)準(zhǔn),。但筆者近年來(lái)一直有一個(gè)理念：“高標(biāo)準(zhǔn)教學(xué),，標(biāo)準(zhǔn)化考試”教師們可以在課堂上大膽探索，這樣的問(wèn)題經(jīng)過(guò)引導(dǎo)和啟發(fā),，學(xué)生到底能否解決？學(xué)生是否能在數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維能力上得到更好的發(fā)展,？是否貫徹了課程標(biāo)準(zhǔn)提倡的不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展的理念,？

（5）化一般問(wèn)題為特殊問(wèn)題。

數(shù)學(xué)中的規(guī)律一般具有普遍性,，但是對(duì)于小學(xué)生而言,，普遍的規(guī)律往往比較抽象,，較難理解和應(yīng)用。如果舉一些特殊的例子運(yùn)用不完全歸納法加以猜測(cè)驗(yàn)證,，也是可行的解決問(wèn)題的策略,。下面舉例說(shuō)明。

案例：任意一個(gè)大于4的自然數(shù),，拆成兩個(gè)自然數(shù)之和,，怎樣拆分才能使這兩個(gè)自然數(shù)的乘積最大？

分析：此問(wèn)題如果運(yùn)用一般的方法進(jìn)行推理,，可以設(shè)這個(gè)大于4的自然數(shù)為N,。如果N為偶數(shù)，可設(shè)N＝2K（K為任意大于2的自然數(shù)）,；那么N＝K＋K＝（K－1）＋（K＋1）＝（K－2）＋（K＋2）＝…,，

因?yàn)?SPAN>K²>K²－1>K²－4>…，

所以K×K>（K－1）×（K＋1）>（K－2）×（K＋2）>…,，

所以把這個(gè)偶數(shù)拆分成兩個(gè)相等的數(shù)的和,，它們的積最大。

如果N為奇數(shù),，可設(shè)N＝2K＋1（K為任意大于1的自然數(shù)）,；那么N＝K＋（K＋1）＝（K－1）＋（K＋2）＝（K－2）＋（K＋3）＝…，

因?yàn)?SPAN>K²＋K>K²＋K－2>K²＋K－6>…,，

所以K×（K＋1）>（K－1）×（K＋2）>（K－2）×（K＋3）>…,，

所以把這個(gè)奇數(shù)拆分成兩個(gè)相差1的數(shù)的和，它們的積最大,。

仔細(xì)觀察問(wèn)題可以發(fā)現(xiàn),，題中的自然數(shù)只要大于4, 便存在一種普遍的規(guī)律；因此,，取幾個(gè)具體的特殊的數(shù),，也應(yīng)該存在這樣的規(guī)律。這時(shí)就可以把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題,，僅舉幾個(gè)有代表性的比較小的數(shù)（只要大于4）進(jìn)行枚舉歸納,，如10,11等，就可以解決問(wèn)題,，具體案例見(jiàn)前文,。

化歸思想作為最重要的數(shù)學(xué)思想之一，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中無(wú)所不在,，對(duì)于學(xué)生而言,，要學(xué)會(huì)善于運(yùn)用化歸的思想方法解決各種復(fù)雜的問(wèn)題，最終達(dá)到在數(shù)學(xué)的世界里舉重若輕的境界,。