球部分復(fù)習(xí)

二. 知識結(jié)構(gòu)：

【典型例題】

[例1] 在球內(nèi)有相距9cm的兩個平行截面,，面積分別是和,，球心不在截面間，求球面面積,。

解題：如圖1,，設(shè)球半徑為R，由已知CE=7,，AF=20,，EF=9

則由,，即，解得R²=625

   即球面面積為

圖1

[例2] 過半徑為R的球面上一點(diǎn)作兩兩垂直的弦SA,、SB、SC

（1）求證：為定值,；

（2）求三棱錐S—ABC的體積的最大值,。

解題：（1）如圖2，設(shè)SA,、SB確定的平面截球面為球小圓O₁

∵ SA⊥SB   ∴ AB為小圓直徑,，連結(jié)SO₁并延長交小圓于D，連結(jié)SD

∵ SC⊥SA,，SC⊥SB    ∴ SC⊥平面SAB   又由SDC平面SAB

∴ SC⊥SD    ∴ 截面SCD為球大圓,，即CD過球心O

∴

而CD=2R   故

圖2

（2）三棱錐體積設(shè)為，則

故

當(dāng)且僅當(dāng)SA=SB=SC時,，三棱錐S—ABC取得最大值

小結(jié)：（1）在解球的問題時,，經(jīng)常利用截面，把球的問題轉(zhuǎn)化為圓的問題來處理。

（2）解最值問題的一般方法是建立目標(biāo)函數(shù),，利用代數(shù)方法求該函數(shù)的最值,，本題用到了均值不等式，即

若,，則,，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立,。

[例3] 一等邊圓錐（軸截面為正三角形）內(nèi)接于一球,，若圓錐底面半徑為，求該球的體積和表面積,。

解題：如圖3,，設(shè)圓錐的軸截面截球面為大圓O，S為圓錐的頂點(diǎn),，SC為軸,，又設(shè)球半徑為R

由，則,，即

由,，則

故  

由球的體積公式和表面積公式，得

圖3

小結(jié)：把兩個或兩個以上的簡單幾何體組成在一起而形成的幾何體叫結(jié)合體或組合體,，它的構(gòu)成一般有切接形式,，若結(jié)合只涉及有公共旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)體，一般利用軸截面轉(zhuǎn)化為平面問題來處理,。

[例4] 設(shè)地球上有A,、B兩點(diǎn)，它們各在北緯30°,、60°的緯度圈上,，且經(jīng)度差為90°，求A,、B兩點(diǎn)間的球面距離,。

解題：如圖4，設(shè)A,、B兩點(diǎn)分別位于北緯30°,、60°的緯度圈⊙O₁和⊙O₂上

利用異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，有

在球大圓ABO中,，設(shè)弦AB所對的圓心角為,，則由余弦定理

故

即A、B兩點(diǎn)間的球的距離為

圖4

[例5] 如果正四棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個半徑為R的球面上,，求這樣的正四棱柱體積的最大值,。

解題：如圖5,，取正四棱柱對角面所在平面，截得球大圓O,，設(shè)正四棱柱底面正方形邊長為,，高為

由，,，有

即

設(shè)正四棱柱的體積為V,，則

即體積的最大值為

圖5

[例6] 將兩個棱長相等的正四面體和正八面體拼接起來，使其中一個面完全重合,，求拼接所得的新的多面體的面數(shù),。

解題：如圖6，ABCDEF為正八面體,，BCEG為正四面體,，取BE中點(diǎn)M，連結(jié)AG,、GM、CM,，則是二面角A—BE—C的平面角,，是二面角G—BE—C的平面角

由正八面體和正四面體的性質(zhì)易得

故與互補(bǔ)，即面ABE與面GBE共面

同理可證面BCF與面BCG共面,，面GEC與面DEC共面

所以,，拼接所得的新的多面體為七面體。

圖6

[例7] 求半徑為R的球內(nèi)接正三棱錐的最大體積,。

解：在正三棱錐S—ABC中,，作SG⊥面ABC于G，則G為正的中心

在SG上取一點(diǎn)O,，使OS=OA=OB=OC=R

設(shè)AB=,，則OG=

設(shè)，,，則

在中,，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”,。

[例8]（2003安徽初賽）在邊長為1的正方體C內(nèi),，作一個內(nèi)切大球O，再在C內(nèi)的一個角內(nèi),，作小球O₂,，使它與大球外切，同時與正方體的三個面相切,，則球O₂的面積為（    ）

A.     B.     C.     D.

解：如圖,，設(shè)球O₂的半徑為,，且設(shè)球O₂作在內(nèi)，則球心O₁,，O₂在對角線BD₁上

設(shè),，則  

在中，

于是

,，則

故選A,。

[例9] 一個球外接于四面體ABCD，另一個半徑為1的球與平面ABC相切,，且兩球內(nèi)切于點(diǎn)D,，已知AD=3，,，,，則四面體ABCD的體積等于（    ）

A.     B.     C. 3    D. 5

解：選A

首先證明四面體ABCD的高DH為另一個球的直徑，如圖,，設(shè)DE⊥AB,，DF⊥AC，垂足分別為E,，F,，則AE=AF=AD

從而，,，

因此,，四面體外接球的中心在DH上

故AD=BD=CD，則AC=AB=2AE=

于是,，

所以,，

[例10] 在棱長為的正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球，過正方體中兩條互為異面的棱的中點(diǎn)作直線,，該直線被球面截在球內(nèi)的線段長為（    ）

A.     B.     C.     D.

解：選B

如圖,，M，N是正方體的兩條互為異面直線的棱的中點(diǎn),，直線MN與內(nèi)切球O的表面相交于E₁F兩點(diǎn),，連結(jié)MO交對棱于P，則P為對棱的中點(diǎn),，取EF的中點(diǎn)G,，則OG⊥EF，又易知PN⊥MN,，從而OG//PN,，且，在中,，,，則,，故EF

[例11] 一個球與正四面體ABCD的六條棱都相切，若正四面體的棱長為,，求這個球的體積,。

解：如圖，設(shè)球O與正四面體ABCD的各棱都相切,，其中與AB切于E,，與CD相切于F，交換A與B,，C與D,，正四面體的空間位置沒有變，E,，F仍為切點(diǎn),，由對稱性點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，F為CD中點(diǎn)

連BF,，AF,，由正面體性質(zhì)知，,，FE⊥AB

同理EF⊥CD

由于EF過切點(diǎn)且與切線垂直,，所以EF必過球心O

即EF為與正四面體的各棱都相切的球的一條直徑

由于

所以球半徑為，球體積

[例12] 正三棱錐有半徑為R的內(nèi)切球,，求所有這樣的正三棱錐體積的最小值。

解：設(shè)正三棱錐P—ABC,，球心為O,，球O與底面切于點(diǎn)M，與側(cè)面切于E,，PE交BC于F,，則F為BC中點(diǎn)，M為的中心,，連OE,、OF，設(shè)

則正三棱錐P—ABC的體積為

在中,，,，則，

在中,，

則

故

當(dāng)且僅當(dāng)即時,，等號成立

所以體積最小值為，此時正三棱錐成為正四面體,。

[例13] 在單位正方體內(nèi)有兩球,，它們既與正方體對角線上交于同一點(diǎn)的三個面相切,，又互相相切，求：

（1）此兩球體積之和的最小值,；（2）面積之和的最小值,。

解：如圖，設(shè)球O₁,、O₂分別與正方體交于一點(diǎn)A和C₁的三個面相切且互相外切,，所以O₁、O₂在正方體的對角線AC₁上

自O₁作O₁M⊥面AC于M,，自M作MN⊥AB于N,，故O₁N⊥AB

由球O₁與交于A點(diǎn)的三個面相切，故與三個面ABC,，ABB₁,，ADA₁的距離相等，故O₁M=MN=AN=

由此,，同理

由   即

兩球體積之和為

  （∵ ）

當(dāng)且僅當(dāng)時,，

注：① 此題用到了冪平均不等式

② 還可求面積和最小值

[例14] 如圖，在斜三棱柱中,，,，

，側(cè)面與底面ABC所成的二面角為,，E,、F分別是棱B₁C₁、A₁A的中點(diǎn),。

（1）求A₁A與底面ABC所成的角,；

（2）證明A₁E//平面B₁FC；

（3）求經(jīng)過四點(diǎn)的球的體積,。

解：（1）過作A₁H⊥平面ABC,，垂足為H，連結(jié)AH并延長交BC于G

連結(jié)EG,，于是為A₁A與底面ABC所成的角

由為的平分線

又AB=ACAG⊥BC,，且G為BC中點(diǎn)

又由三垂線，有A₁A⊥BC

由A₁A//B₁B,，且EG//B₁B,，則EG⊥BC

于是為二面角A—BC—E的平面角

，由為平行四邊形,，則

證：（2）設(shè)EG與B₁C交點(diǎn)為P,，則點(diǎn)P為EG中點(diǎn)，連結(jié)PF

在AGEA₁中,，由F為A₁A中點(diǎn),，則AE//FP,，而FP平面B₁FC，A₁E平面B₁FC,，所以A₁E//平面B₁FC

（3）連結(jié)A₁C,，在和A₁AB中，由于AC=AB,，

由已知得

又A₁H⊥平面ABC為外心

設(shè)所求球的球心為O,，則，且球心O與A₁A中點(diǎn)的連線OF⊥A₁A

在中,，

故所求球的半徑,，球的體積

【模擬試題】

一. 選擇題：

1. 半球內(nèi)有一個內(nèi)接的正方體，其下底面在半球的大圓上,，則這個半球面的面積與正方體的表面積之比為（    ）

    A.     B.     C.     D.

2. 設(shè)球內(nèi)切于圓柱,，則此圓柱全面積與球面積之比等于（    ）

    A.     B.     C.     D.

3. 設(shè)地球半徑為R，在北緯30°圈上有A,、B兩地,，它們的經(jīng)度差為120°，那么這兩地間的緯度線長等于（    ）

    A.     B.     C.     D. R

4. 在北緯60°的緯度圈上,，有甲,、乙兩地，兩地間緯度圈上的弧長等于（R為地球半徑）,，則這兩地的球面距離是（    ）

    A.     B.     C.     D.

5. 一個正方體內(nèi)接于表面積為4的球,，則正方體的全面積是（    ）

    A.     B. 8    C.     D.

6. 若四面體的一條棱長為x，其余棱長都是1,，則該四面體的體積取最大值時,，x的值為（    ）

    A.     B. 2    C.     D.

二. 填空題

1. 斜三棱柱的一個側(cè)面的面積為S，另一條側(cè)棱到這個側(cè)面的距離是,，則這個三棱柱的體積是         。

2. A,、B,、C是半徑為1的球面上的三點(diǎn)，B,、C兩點(diǎn)的球面距離為,，A、B和A,、C兩點(diǎn)間的球面距離均為,，則球心O到截面ABC的距離為          。

3. P,、A,、B,、C是球O面上的四點(diǎn)，且PA,、PB,、PC的兩兩垂直，PA=PB=PC=9,，則球心O到截面ABC的距離為         ,。

4. 圓錐的軸截面是一邊長為2的正三角形，則圓錐的內(nèi)接正方體的棱長為        ,。

5. 正八面體的對角線長為,，則它的棱長為         。

6. 半徑為R的地球表面上,，有兩點(diǎn)A,、B同在緯度為弧度的緯度圈上，其經(jīng)度差為,，則兩點(diǎn)A,、B的球面距離是         。

7. 過球面上同一點(diǎn)的兩個截面成角,，其中一個截面過球心,，兩個截面的平行直徑之間的距離為10cm，則球的半徑為        ,。

8. 在平面幾何里,，有勾股定理：“設(shè)的兩邊AB、AC互相垂直,，則

,。”拓展到空間,，類比平面幾何的勾股定理,，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A—BCD的三個側(cè)面ABC,、ACD,、ADB兩兩相互垂直，則            ,。

9. 下列五個正方體圖形中,，是正方體的一條對角線，點(diǎn)M,、N,、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出⊥面MNP的圖形的序號是           。（寫出所有符合要求的圖形序號）

【試題答案】

一.

1. A

提示：由,，,，

2. B

提示：利用圓柱軸截面可知

，則

3. C

    提示：緯度線長為

4. D

    提示：先求經(jīng)度差為,，則球面距離為

5. B

提示：如答圖1為過正方體ABCD—A­₁B₁C₁D₁對角面A₁C的截面,，設(shè)正方體棱長為，則由,，即

,，故正方體全面積為8

圖1

6. D

提示：如答圖2，設(shè),，其余棱長均為1,，取M、N分別為棱AD,、BC的中點(diǎn)

則,，

四面體ABCD的體積為

當(dāng)且僅當(dāng)，即時,，體積V取得最大值

圖2

二.

1.

    提示：把斜三棱柱補(bǔ)成平行六面體,，由平行六面體的體積為三棱柱體積的2倍即得

2.

提示：如答圖3，球心O與球面上三點(diǎn)A,、B,、C構(gòu)成三棱錐，由已知OA=OB=OC=1,，,，則OA⊥面BOC

設(shè)OA⊥面BOC   設(shè)O到面ABC距離為

    即O到面ABC的距離為

圖3

3.

提示：如答圖4，把三棱錐P—ABC補(bǔ)成正方體,，則正方體中心即為球心O,，而O到面ABC的距離為

圖4

4.

提示：如答圖5，設(shè)為圓錐的軸截面,，O為圓錐底面中心,，AC、A₁C₁分別為正方體下底和上底面對角線

設(shè)正方體棱長為x,，則,，過S作SO⊥PQ于O交A₁C₁于E，則

由,，即

故

圖5

5. （利用正八面體圖象特征）

6.

7. 20cm（由）

8.

9. ①、④,、⑤