什么是多面體的外接球,，如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,，那么稱(chēng)這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球?yàn)槎嗝骟w的外接球,。

多面體的外接球問(wèn)題,，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn),，也是高考考察的一個(gè)熱點(diǎn)，當(dāng)然這熱點(diǎn)不是“重點(diǎn)”,，而是難點(diǎn),！有多少優(yōu)秀的孩子們被這個(gè)球弄得亂七八糟！

研究多面體的外接球問(wèn)題,，又要運(yùn)用球的性質(zhì),，要命的是還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用,，接下來(lái),，我們通過(guò)幾道例題來(lái)探討這類(lèi)問(wèn)題的求解策略。

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定義法

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例7,、矩形ABCD中,，AB=6，CD=8,，沿對(duì)角線AC將平面ACD折起,，構(gòu)成一個(gè)四面體，求四面體D-ABC外接球的體積為。

解析：（如圖）因?yàn)樗拿骟w的外接球的球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，由矩形的對(duì)角線互相平分,，可得點(diǎn)O到四個(gè)頂點(diǎn)A,、B、C,、D的距離都相等,。所以點(diǎn)O就是四面體外接球的球心，因此,，求四面體外接球的半徑可轉(zhuǎn)化為先求矩形的對(duì)角線長(zhǎng),，再計(jì)算半徑,。

實(shí)際上,，我們可以得到：有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形組成的三棱錐,，外接球球心在公共斜邊的中點(diǎn)處。

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構(gòu)造直角三角形

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例8,、正三棱錐V-ABC中,，其中側(cè)棱VA=4，AB=BC=AC=2,，求三棱錐V-ABC外接球的半徑為,。

解析：設(shè)正三棱錐底面△ABC外心是E,，外接球的球心為O，如圖,，由球的截面的性質(zhì),，可得OE⊥平面ABC，又VE⊥平面ABC,，所以球心O必在VE所在的直線上,，設(shè)外接球的半徑為R，

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軸截面

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例9、三棱錐S-ABC中,，其中SA⊥平面 ABC,，

∠BAC=30°，且SA=8，BC=3,，求三棱錐S-ABC外接球的體積為,。

解析：尋找底面△ABC的外心M,，過(guò)M作底面△ABC的垂線MN，使得MN=SA,，則外接球的球心必在直線MN上,，因?yàn)镾A⊥平面ABC，所以四邊形AMNS是矩形,，且O到A,、B距離相等，所以O(shè)是MN的中點(diǎn),，所以O(shè)A即為外接球的一條半徑,。

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向量法

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例10,、如圖,，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-EFGH中，M為上底的中心,，則三棱錐M-ACF外接球的表面積為,。

解析：三棱錐M-ACF沒(méi)有特殊垂直的關(guān)系,，不容易找出球心的位置，但是三棱錐M-ACF放置在正方體中,，我們可以建立空間直角坐標(biāo)系,，利用球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等求出球心的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算出半徑,。

多面體的外接球問(wèn)題是有關(guān)球類(lèi)的問(wèn)題的基本題型之一，因?yàn)樗苋轿?、多角度,、深層次考察空間想象能力,，所以深受命題人青睞。這類(lèi)問(wèn)題由于不易畫(huà)圖而變得抽象難解,，所以在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)首先考慮構(gòu)造典型的幾何體模型,，其次尋找球心，通過(guò)“截面”把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題,，當(dāng)然最后還有我們的空間直角坐標(biāo)系,，通過(guò)建系發(fā)揮空間向量的威力！