開始……

（一）

阿黃是大家敬愛的警官,，他性格開朗,，身體強壯，是大家心目中健康的典范,。

但是,，近一個月來阿黃的身體狀況出現(xiàn)異常：情緒失控的狀況時有發(fā)生。有時候忍不住放聲大笑,，有時候有時候愁眉不展,，有時候老淚縱橫，有時候勃然大怒……

如此變化無常的情緒失控是由什么引起的呢,？據(jù)警隊同事勇男描述,，由于復習考試寢室不熄燈與多媒體作業(yè)的困擾,，阿黃近日出現(xiàn)了失眠等癥狀；與此同時,，阿黃近日登陸一個叫做“xiaonei網(wǎng)”的網(wǎng)站十分頻繁,。經(jīng)醫(yī)生進一步診斷，由于其他人也遇到同樣的考試壓力,、作息不規(guī)律的情況而并未出現(xiàn)情緒失控,；并且，其它登陸XIAONEI網(wǎng)的眾多同學表現(xiàn)正常,，因此可基本排除它們是情緒失控的原因,。黃SIR的病情一度陷入僵局……
最近，阿黃的病情有了新的眉目：據(jù)一位對手相學與占卜術十分精通的小巫婆透露,，阿黃曾經(jīng)私下請她對自己的病情進行診斷,。經(jīng)過觀察與分析終于有了重大發(fā)現(xiàn)：原來阿黃的病情正在被潛伏在他體內的三種侍神控制！他們是：修羅王,、阿修羅,、羅剎神。

據(jù)悉,，這三種侍神是情緒積聚激化而形成的自然神靈,，他們相克相生，是游離于個體意識之外的精神產(chǎn)物,，可以對人的情緒起到支配作用,。每一天，都會有一位侍神主宰阿黃的情緒,。并且,，不同的侍神會導致不同的情緒突然表現(xiàn)。然而,，當前的科技水平無法幫助我們診斷,，當前哪位侍神是主宰侍神；更糟的是,，不同的侍神(3 個)與不同的情緒（4種）并不存在顯而易見的一一對應關系,。
所以，乍看上去,，阿黃的病情再次陷入僵局……

我們怎樣才能把握阿黃情緒變化的規(guī)律,？
我們怎樣才能通過阿黃的情緒變化，推測他體內侍神的變化規(guī)律,？

關鍵詞：兩類狀態(tài)：
情緒狀態(tài)（觀察狀態(tài)）：放聲大笑,，愁眉不展，老淚縱橫，勃然大怒
侍神狀態(tài)（隱狀態(tài)）：修羅王,，阿修羅,，羅剎神

（二）

阿黃的病情引來了很多好心人的關心。這與阿黃真誠善良的品格不無關系,。
關于侍神的特點,，占卜師和很多好心人找來了許多珍貴資料。其中很多人經(jīng)過一段時間的觀察與記錄后,，在貌似毫無規(guī)律的數(shù)據(jù)背后,，發(fā)現(xiàn)了侍神與情緒之間的內在規(guī)律！,！他們在多次觀測后,，建立在大量數(shù)據(jù)基礎上，表現(xiàn)出宏觀的內在聯(lián)系,！
由于這些好心人大部分是TONGJI大學的人,，所以，這種規(guī)律被稱作統(tǒng)計規(guī)律,。這些人被稱為統(tǒng)計學家（orz太土了）…………

具體的規(guī)律被概括為：
1. 每天,，哪位侍神主宰與前一天侍神是誰有很大關系！即：前一個侍神會影響下一個侍神出現(xiàn)的概率多少,。
三個侍神,，兩兩之間的轉化的幾率的大小，我們總結在一個對應表中：

便于某些自稱為數(shù)學家的人計算,，我們習慣于寫成矩陣形式：


2.每位侍神主宰時,，所對應的情緒出現(xiàn)也有一定的規(guī)律：某種侍神出現(xiàn)時，情緒的出現(xiàn)有一定的規(guī)律性,。比如,，如果今天的侍神是修羅王，那么阿黃放聲大笑的概率是不同侍神對應的不同情緒出現(xiàn)的幾率,，我們也歸納在一張表中：


便于計算,，也可以寫成矩陣的格式。


3．由于每天的侍神狀態(tài),，情緒狀態(tài)都取決于前一天，所以,，只有知道最開始阿黃的情緒狀態(tài),，即初始狀態(tài)，才有可能來推導隨后的日子里,，阿黃體內的侍神和情緒的變化情況,。

我們假定，阿黃體內的侍神首先出現(xiàn)的概率滿足下面的表格
修羅王 阿修羅 羅剎神
〔0.63 0.17 0.20〕

至此,，我們已經(jīng)掌握了研究阿黃情緒變化規(guī)律的所有信息,，它包括：
兩類狀態(tài)：侍神狀態(tài),，情緒狀態(tài)
三種關系：侍神的轉換關系，侍神與情緒的關系,，侍神的初始狀態(tài)

便于計算,，我們用數(shù)學語言來定義，便于今后計算,。

修羅王 阿修羅 羅剎神
初始狀態(tài)矩陣：Π＝〔0.64 0.17 0.20〕

狀態(tài)轉移矩陣：
A =

兩態(tài)混合矩陣（描述侍神狀態(tài)和情緒狀態(tài)對應關系）

（三）

知道了關于阿黃的這些信息后,，我們能做些什么呢？

一,、估計“放聲大笑”－“老淚縱橫”－“勃然大怒”出現(xiàn)的概率：

“放聲大笑”－“老淚縱橫”－“勃然大怒”是一種非常危險的組合,！如果某三天內阿黃出現(xiàn)了“放聲大笑”－“老淚縱橫”－“勃然大怒”的情緒變化，會引起嚴重精神損傷??！那么，這種情緒組合出現(xiàn)的概率是多少呢,？

看起來比較麻煩,，因為“放聲大笑”可以對應三種侍神；其余兩個也可以,。三天,，三種侍神，所有可能為3*3*3＝27種,。

根據(jù)全概率公式：所以：
P（笑－淚－怒）＝P（笑－淚－怒 | 修羅王－修羅王－修羅王）＋P（笑－淚－怒 | 修羅王－修羅王－阿修羅）＋P（笑－淚－怒 | 修羅王－修羅王－羅剎神）＋………………＋P（笑－淚－怒 | 羅剎神－羅剎神－羅剎神）
一共27項相加,，就可以把所有的可能計算出來！
可以想像,，這樣的計算是災難性的,。

當然，在計算機計算時,，可以用遞歸法簡化計算,，降低復雜度。
①我們來把每一天,，阿黃的情緒狀態(tài)串起來,，多天就形成一個狀態(tài)序列。其中第t天的狀態(tài)就是Ykt

②在計算序列中某一中間狀態(tài)的概率時,，用所有可能到達該狀態(tài)的路徑之和表示,。

比如在t=2時間，狀態(tài)為阿修羅的概率可以用下面的路徑計算：

最后的觀察狀態(tài)的部分概率表示,，這些狀態(tài)所經(jīng)過的所有可能路徑的概率,。比如：

③用αt ( j ) 表示在時間t時 狀態(tài)j的部分概率。計算方法如下：

αt ( j )= P( 觀察情緒 | 侍神是j ) * P(在t時間所有到j的途徑)

其中兩項相乘中的第一項我們由兩狀態(tài)混合矩陣就可以得到：

而后一項，我們需要前一項的結果來確定,。這也表現(xiàn)了HMM每個環(huán)節(jié)的狀態(tài)是基于前一環(huán)節(jié)狀態(tài)的特點,。

④如果說，每一環(huán)節(jié)都依賴前一環(huán)節(jié),，那么最初的環(huán)節(jié),，也就是最初的狀態(tài)怎么來計算呢？
很簡單,。初始狀態(tài)Π就派上它的用場了,。
比如：第一天阿黃放聲大笑，那么：
a1（修羅王）＝0.63×0.6＝0.378
a1（阿修羅）＝0.17×0.25＝0.0425
a1（羅剎神）＝0.20×0.05＝0.01
歸納成數(shù)學式：
⑤我們說過,，后一天侍神的情況是由前一天來決定的?，F(xiàn)在，如果知道了at（j）,，那么,，后面一天的情況at＋1（j）也應該知道了吧。怎么來算at＋1（j）呢,？
太枯燥了～還是繼續(xù)上面的例子吧
比如,，t＝2時，情緒為老淚縱橫,，侍神為阿修羅,，那么：
a2（阿修羅）＝P（阿修羅時老淚縱橫的概率）×P(所有到達阿修羅的概率)
其中：
P(所有到達阿修羅的概率)
＝a1（修羅王）×P(修羅王→阿修羅)＋a1（阿修羅）×P（阿修羅→阿修羅）＋a1（羅剎神）×P(羅剎神→阿修羅)
＝0.378×0.25＋0.0425×0.125＋0.01×0.675

這樣，知道a1,，知道at和at＋1的關系,，迭代啊迭代，迭迭代代無窮匱矣……最終會找到你需要的狀態(tài)的概率的,。
（而且,，在編成時運用迭代可降低算法復雜度，不太懂,，不多扯……）



最后,，解答“放聲大笑－老淚縱橫－勃然大怒”的概率
每天的三個概率對應三位侍神
第一天：放聲大笑
(0.63 × 0.6) = 0.37800002
(0.17 ×0.25) = 0.0425
(0.2 ×0.05) = 0.010000001

第二天：老淚縱橫
(((0.37800002×0.5) + (0.0425*0.375) + (0.010000001*0.125)) * 0.15) = 0.03092813
(((0.37800002*0.25) + (0.0425*0.125) + (0.010000001*0.675)) * 0.25) = 0.026640628
(((0.37800002*0.25) + (0.0425*0.375) + (0.010000001*0.375)) * 0.35) = 0.039965626
第三天：勃然大怒
(((0.03092813*0.5) + (0.026640628*0.375) + (0.039965626*0.125)) * 0.05) = 0.0015225002
(((0.03092813*0.25) + (0.026640628*0.125) + (0.039965626*0.675)) * 0.25) = 0.009509727
(((0.03092813*0.25) + (0.026640628*0.375) + (0.039965626*0.375)) * 0.5) = 0.01635469
所以，最終所有可能加起來,，“放聲大笑－老淚縱橫－勃然大怒”的概率為
0.0015225002＋0.009509727＋0.01635469=0.027386917
黃SIR暫時可以放心,。

（四）

還有什么應用呢？

二,、由觀測狀態(tài)推測最大可能性的隱狀態(tài),，

即：由阿黃情緒變化推測體內侍神的變化

1.還是用窮舉法吧

總之，變化是有限地,，概率是知道地，每步是可算地，大小是可比地……

算一算,，比一比,，總能找到最可能的一條路。

只是隨著天數(shù)增長,、侍神數(shù)增長等,，計算的復雜度會呈指數(shù)增加，這一點很不利,。

又枯燥了～再舉個例子：

比如,，某三天，阿黃十分不幸地出現(xiàn)了“放聲大笑－老淚縱橫－勃然大怒”的情緒變化,。

我們十分想知道：是怎樣的侍神組合,，最可能導致這種情緒？

最佳組合要?。?/P>

MAX{P（笑－淚－怒 | 修羅王－修羅王－修羅王）,P（笑－淚－怒 | 修羅王－修羅王－阿修羅）,P（笑－淚－怒 | 修羅王－修羅王－羅剎神）,………………,P（笑－淚－怒 | 羅剎神－羅剎神－羅剎神）}

27個里面比出一個概率最大的來,，搞定～

2. 程序計算，我們用遞歸方法降低計算復雜度：

我們知道,，對應于阿黃的每一個情緒狀態(tài),，侍神的變化只有一個最佳路徑，也許是這樣：

每一條 部分最優(yōu)路徑都對應一個關聯(lián)概率--部分概率 （相當于前面的那個中間概率）,。與前面不同是最有可能到達該狀態(tài)的一條路徑的概率,。

① 我們定義： δ(i,t)是所有序列中在t時刻以狀態(tài)i終止的最大概率。當然它所對應那條路徑就是部分最優(yōu)路徑,。δ(i,t)對于每個i,t都是存在的,。這樣我們就可以順藤摸瓜找下去，在序列的最后一個狀態(tài)找到整個序列的最優(yōu)路徑,。

②那么,，最初的狀態(tài)（t＝1）的最優(yōu)路徑是什么？我們還是要依賴初始狀態(tài)矩陣Π

這和上次的算法是一樣的,。

δ(修羅王,1)＝0.378

δ(阿修羅,1)＝0.0425

δ(羅剎神,1)＝0.01

③那么,，對于時間為t時刻的中間狀態(tài)，如何來找它的部分概率（即最佳路徑）呢,？

再舉個具體例子,，t時刻，到達X狀態(tài)的路徑可能有ABC三條,。

由此圖可以看出,，到達X的最優(yōu)路徑是下面三條中的一條：

(狀態(tài)序列), . . ., A, X

(狀態(tài)序列), . . ., B, X

(狀態(tài)序列), . . ., C, X

我們就要比較：

P（到達A的最佳路徑）×P（A到達X的概率）

P（到達B的最佳路徑）×P（B到達X的概率）

P（到達C的最佳路徑）×P（C到達X的概率）

再乘以P（X（某種侍神）對應的觀測狀態(tài)（某種情緒））就可以算得狀態(tài)概率

④那么，在t時刻對應某種觀察狀態(tài)的概率記為δt（i）,，那么

第一天,，由于沒有先導,，只能直接利用兩狀態(tài)轉換矩陣計算：

第t天：

δt（i）＝MAX｛δt－1（j）×P（j狀態(tài)→i狀態(tài)）×i狀態(tài)下對應觀察狀態(tài)概率｝

數(shù)學公式為：

這樣，又可以迭迭代代無窮匱矣了～

最后,，我們再來計算黃SIR“放聲大笑－老淚縱橫－勃然大怒”的最可能侍神組合：

第一天：放聲大笑

修羅王(0.63 * 0.6) =0.37800002

阿修羅(0.17 * 0.25) = 0.0425

羅剎神(0.2 * 0.05) = 0.010000001

第二天：老淚縱橫

修羅王max ((0.37800002*0.5), (0.0425*0.375), (0.010000001*0.125)) * 0.15 = 0.028350003

阿修羅max ((0.37800002*0.25), (0.0425*0.125), (0.010000001*0.675)) * 0.25 = 0.023625001

羅剎神max ((0.37800002*0.25), (0.0425*0.375), (0.010000001*0.375)) * 0.35 =0.033075

第三天：勃然大怒

修羅王max ((0.028350003*0.5), (0.023625001*0.375), (0.033075*0.125)) * 0.05 = 0.000708750

阿修羅max ((0.028350003*0.25), (0.023625001*0.125), (0.033075*0.675)) * 0.25 = 0.00558140

羅剎神max ((0.028350003*0.25), (0.023625001*0.375), (0.033075*0.375)) * 0.5 =0.006201562

可見,，第一天，修羅王主宰阿黃最為可能,；

第二天,，由修羅王變?yōu)榱_剎神，造成阿黃老淚縱橫的可能最大,；

而第三天,，繼續(xù)由羅剎神主宰阿黃，造成勃然大怒的可能最大

所以,，對應“放聲大笑－老淚縱橫－勃然大怒”最可能的侍神組合為：修羅王－羅剎神－羅剎神

尾聲

一,、了解了這個故事，我們就粗淺地了解了隱馬爾科夫模型的構成,。它包括兩類狀態(tài),，三種關系：Π（初始狀態(tài)）A（狀態(tài)轉移矩陣）B（兩狀態(tài)混合矩陣）

二、HMM模型的初步了解就到這里,。其主要功能有三：

1.根據(jù)已知的HMM找出一個觀察序列的概率,。（計算某種情緒組合出現(xiàn)概率）

2.根據(jù)觀察序列找到最有可能出現(xiàn)的隱狀態(tài)序列 （由情緒組合推導侍神組合）

3.從觀察序列中得出HMM （這是最難的HMM應用。也就是根據(jù)觀察序列和其代表的隱狀態(tài),，生成一個三元組HMM ( Π,A,B),。使這個三元組能夠最好的描述我們所見的一個現(xiàn)象規(guī)律。限于水平,，不討論）

三,、上面應用中，1設計到FORWARD算法,，2設計Viterbi算法,，可以查閱資料，都可以在程序中實現(xiàn),。

四,、生物信息中涉及到HMM的應用有很多。在蛋白質DOMAIN描述,，分子進化樹的構建中都會應用這個模型,。其實大同小異：我們能看得見的就是觀察狀態(tài)：序列（情緒），而隱藏在當前序列背后的各種隱狀態(tài)：比如基因……（修羅王,，阿修羅,，羅剎神……）?；虬l(fā)生了怎樣的進化過程,，我們不能直接觀測,，但可以用應用3――從觀察序列中得到HMM，用已知序列進行訓練,，生成包含實際序列信息的HMM模型,，就可以通過已有的序列來進行基因的人工注釋（大概是這個意思，F(xiàn)T）

五,、感謝來自這個網(wǎng)站：

www.comp./roger/HiddenMarkovModels/html_dev/main.html

提供的大量介紹，數(shù)據(jù),，圖表,，小程序，很有幫助

特別感謝丁香園里的崔曉源進行的詳盡翻譯和解釋,，這篇文章的思路歸功于他的翻譯作品,。

六、感謝主人公姓名雷同者的大力支持,，體諒和鼓勵,，以及所有帶來靈感的同學～你們讓生活更精彩！