課題：§3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型
教學(xué)目標(biāo)：
 知識與技能  結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸,、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義,，理解它們的增長差異性．
 過程與方法  能夠借助信息技術(shù)，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格,，對幾種常見增長類型的函數(shù)的增長狀況進行比較,，初步體會它們的增長差異性；收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù),、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）,，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用．
 情感,、態(tài)度、價值觀 體驗函數(shù)是描述宏觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型,，體驗指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系及其在刻畫現(xiàn)實問題中的作用．
 教學(xué)重點：
 重點  將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù),、一次函數(shù),、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異,，結(jié)合實例體會直線上升,、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義．
 難點  怎樣選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實際問題．
 教學(xué)程序與環(huán)節(jié)設(shè)計： 

教學(xué)過程與操作設(shè)計：
環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容設(shè)計 師生雙邊互動
創(chuàng)

設(shè)

情

境 材料：澳大利亞兔子數(shù)“爆炸”
 在教科書第三章的章頭圖中,，有一大群喝水,、嬉戲的兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋．1859年,，有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子,，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵,，兔子數(shù)量不斷增加,，不到100年,，兔子們占領(lǐng)了整個澳大利亞,，數(shù)量達到75億只．可愛的兔子變得可惡起來,，75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低,，而牛羊是澳大利亞的主要牲口．這使澳大利亞頭痛不已,，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代,，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔,，澳大利亞人才算松了一口氣． 師：指出：一般而言，在理想條件（食物或養(yǎng)料充足,，空間條件充裕,，氣候適宜，沒有敵害等）下,，種群在一定時期內(nèi)的增長大致符合“J”型曲線,；在有限環(huán)境（空間有限，食物有限,，有捕食者存在等）中,，種群增長到一定程度后不增長，曲線呈“S”型．可用指數(shù)函數(shù)描述一個種群的前期增長,，用對數(shù)函數(shù)描述后期增長的
組

織

探

究 
    例1．假設(shè)你有一筆資金用于投資,，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：
 方案一：每天回報40元,；
 方案二：第一天回報10元,，以后每天比前一天多回報10元；
 方案三：第一天回報0 .4元,，以后每天的回報比前一天翻一番．
 請問,，你會選擇哪種投資方案？
 
 探究：
 1）在本例中涉及哪些數(shù)量關(guān)系,？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系,？
 
 
 
 
 2）分析解答（略）
 
 
 
 3）根據(jù)例1表格中所提供的數(shù)據(jù)，你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認(rèn)識,？ 
師：創(chuàng)設(shè)問題情境,，以問題引入能激起學(xué)生的熱情，使課堂里的有效思維增強．

生：閱讀題目,，理解題意,，思考探究問題．

師：引導(dǎo)學(xué)生分析本例中的數(shù)量關(guān)系,，并思考應(yīng)當(dāng)選擇怎樣的函數(shù)模型來描述．

生：觀察表格,，獲取信息,，體會三種函數(shù)的增長差異,，特別是指數(shù)爆炸，說出自己的發(fā)現(xiàn),，并進行交流．

師：引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中三種方案的數(shù)量變化情況,，對于“增加量”進行比較，體會“直線增長”,、“指數(shù)爆炸”等．
環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容設(shè)計 師生雙邊互動
組

織

探

究  
 4）你能借助計算器或計算機作出函數(shù)圖象,，并通過圖象描述一下三種方案的特點嗎？
 
 
 
 
 
 
 5）根據(jù)以上分析,，你認(rèn)為就作出如何選擇,？
 
 
  
師：引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)圖象分析三種方案的不同變化趨勢．

生：對三種方案的不同變化趨勢作出描述，并為方案選擇提供依據(jù)．

師：引導(dǎo)學(xué)生分析影響方案選擇的因素,，使學(xué)生認(rèn)識到要做出正確選擇除了考慮每天的收益,，還要考慮一段時間內(nèi)的總收益．

生：通過自主活動，分析整理數(shù)據(jù),，并根據(jù)其中的信息做出推理判斷,，獲得累計收益并給出本全的完整解答，然后全班進行交流．
  例2．某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo),，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時,，按銷售利潤進行獎勵，且獎金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加但獎金不超過5萬元,，同時獎金不超過利潤的25%．現(xiàn)有三個獎勵模型：
       ．
 問：其中哪個模型能符合公司的要求,？
 
 探究：
 
本例涉及了哪幾類函數(shù)模型？
本例的實質(zhì)是什么,？

 2）你能根據(jù)問題中的數(shù)據(jù),，判定所給的獎勵模型是否符合公司要求嗎？ 師：引導(dǎo)學(xué)生分析三種函數(shù)的不同增長情況對于獎勵模型的影響,，使學(xué)生明確問題的實質(zhì)就是比較三個函數(shù)的增長情況．

生：進一步體會三種基本函數(shù)模型在實際中的廣泛應(yīng)用,，體會它們的增長差異．

師：引導(dǎo)學(xué)生分析問題使學(xué)生得出：要對每一個獎勵模型的獎金總額是否超出5萬元，以及獎勵比例是否超過25%進行分析,，才能做出正確選擇．
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組

織

探

究  
 
 
 
 3）通過對三個函數(shù)模型增長差異的比較,，寫出例2的解答． 生：分析數(shù)據(jù)特點與作用判定每一個獎勵模型是否符合要求．

師：引導(dǎo)學(xué)生利用解析式，結(jié)合圖象,，對三個模型的增長情況進行分析比較,，寫出完整的解答過程．

生：進一步認(rèn)識三個函數(shù)模型的增長差異，對問題作出具體解答．
探
究
與
發(fā)
現(xiàn)  
 冪函數(shù),、指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù)的增長差異分析：
 
 你能否仿照前面例題使用的方法，探索研究冪函數(shù),、指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的增長差異,，并進行交流、討論,、概括總結(jié),，形成較為準(zhǔn)確、詳盡的結(jié)論性報告．
 
  
師：引導(dǎo)學(xué)生仿照前面例題的探究方法,，選用具體函數(shù)進行比較分析．

生：仿照例題的探究方法,，選用具體函數(shù)進行研究,、論證,，并進行交流總結(jié)，形成結(jié)論性報告．

師：對學(xué)生的結(jié)論進行評析,，借助信息技術(shù)手段進行驗證演示．
鞏
固
與
反
思  
 嘗試練習(xí)：
教材P116練習(xí)1,、2；
教材P119練習(xí)．

小結(jié)與反思：
 通過實例和計算機作圖體會,、認(rèn)識直線上升,、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)模型的增長的含義,，認(rèn)識數(shù)學(xué)的價值,，認(rèn)識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活、與其他學(xué)科的密切聯(lián)系,，從而體會數(shù)學(xué)的實用價值,，享受數(shù)學(xué)的應(yīng)用美． 
生：通過嘗試練習(xí)進一步體會三種不同增長的函數(shù)模型的增長差異及其實際應(yīng)用．

師：培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的深刻認(rèn)識，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用美．
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作
業(yè)
與
回
饋  教材P127
 習(xí)題32（A組）第1~5題,；
 （B組）第1題 
課
外
活
動  收集一些社會生活中普遍使用的遞增的一次函數(shù),、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實例,，對它們的增長速度進行比較,，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用；
 有時同一個實際問題可以建立多個函數(shù)模型．具體應(yīng)用函數(shù)模型時,，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣選用合理的函數(shù)模型,？ 
3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型(1)
  【學(xué)習(xí)目標(biāo)】                                                                            學(xué)案24                      
1. 結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸,、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義,，理解它們的增長差異；
2. 借助信息技術(shù),，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格,，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長差異,；
3. 恰當(dāng)運用函數(shù)的三種表示法（解析式,、圖象,、列表）并借助信息技術(shù)解決一些實際問題.
一例題
例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,，這三種方案的回報如下：
 方案一：每天回報40元,；
 方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元,；
 方案三：第一天回報0 .4元,，以后每天的回報比前一天翻一番．
 請問，你會選擇哪種投資方案,？

反思：
① 在本例中涉及哪些數(shù)量關(guān)系,？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？

② 根據(jù)此例的數(shù)據(jù),，你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認(rèn)識,？借助計算器或計算機作出函數(shù)圖象，并通過圖象描述一下三種方案的特點.

例2某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo),，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時,，按銷售利潤進行獎勵，且獎金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加但獎金不超過5萬元,，同時獎金不超過利潤的25%．現(xiàn)有三個獎勵模型：
 ,；；.
問：其中哪個模型能符合公司的要求,？

反思：
① 此例涉及了哪幾類函數(shù)模型,？本例實質(zhì)如何？

② 根據(jù)問題中的數(shù)據(jù),，如何判定所給的獎勵模型是否符合公司要求,？

例3冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性如何,？增長有差異嗎？
計算：函數(shù),，,，，試計算：
 1 2 3 4 5 6 7 8
y1        
y2        
y3 0 1 1.58 2 2.32 2.58 2.81 3
由表中的數(shù)據(jù),，你能得到什么結(jié)論,？

思考：大小關(guān)系是如何的？增長差異,？

二,、練習(xí)
1. 如圖，是某受污染的湖泊在自然凈化過程中，某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時間t（月）的近似函數(shù)關(guān)系：(t≥0,，a>0且a≠1)．有以下敘述
第4個月時,，剩留量就會低于；
每月減少的有害物質(zhì)量都相等,；

若剩留量為所經(jīng)過的時間分別是,，則.
 其中所有正確的敘述是                .
2. 某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個,，2個分裂成4個,，4個分裂成8個……，現(xiàn)有2個這樣的細(xì)胞,，分裂x次后得到的細(xì)胞個數(shù)y為（    ）.
 A．    B. y=2   C. y=2   D. y=2x
3. 某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整,，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越慢,，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時間x的關(guān)系,，可選用（    ）.
 A. 一次函數(shù)      B. 二次函數(shù)
 C. 指數(shù)型函數(shù)    D. 對數(shù)型函數(shù)
4 一等腰三角形的周長是20，底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù),，它的解析式為（     ）.
A. y=20-2x （x≤10）     B. y=20-2x （x<10）                           C. y=20-2x （5≤x≤10）     D. y=20-2x（5<x<10）
5. 某新品電視投放市場后第1個月銷售100臺，第2個月銷售200臺,，第3個月銷售400臺,，第4個月銷售790臺，則銷量y與投放市場的月數(shù)x之間的關(guān)系可寫成          .
6. 某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的,，如果某臺計算機感染上這種病毒,，那么每輪病毒發(fā)作時，這臺計算機都可能感染沒被感染的20臺計算機. 現(xiàn)在10臺計算機在第1輪病毒發(fā)作時被感染,，問在第5輪病毒發(fā)作時可能有          臺計算機被感染. （用式子表示）
7. 某工廠簽訂了供貨合同后組織工人生產(chǎn)某貨物,，生產(chǎn)了一段時間后，由于訂貨商想再多訂一些,，但供貨時間不變,，該工廠便組織工人加班生產(chǎn)，能反映該工廠生產(chǎn)的貨物數(shù)量y與時間x的函數(shù)圖象大致是（     ）.

10. 某廠生產(chǎn)中所需一些配件可以外購,，也可以自己生產(chǎn),，如外購，每個價格是1.10元,；如果自己生產(chǎn),，則每月的固定成本將增加800元，并且生產(chǎn)每個配件的材料和勞力需0.60元,，則決定此配件外購或自產(chǎn)的轉(zhuǎn)折點是____件(即生產(chǎn)多少件以上自產(chǎn)合算)

11.某服裝個體戶在進一批服裝時,，進價已按原價打了七五折，他打算對該服裝定一新價標(biāo)在價目卡上，并注明按該價20%銷售. 這樣,，仍可獲得25%的純利. 求此個體戶給這批服裝定的新標(biāo)價與原標(biāo)價之間的函數(shù)關(guān)系.

12. 經(jīng)市場調(diào)查分析知,，某地明年從年初開始的前個月，對某種商品需求總量 (萬件)近似地滿足關(guān)系
．
寫出明年第個月這種商品需求量 (萬件)與月份的函數(shù)關(guān)系式.

三,、學(xué)習(xí)小結(jié)
1. 兩類實際問題：投資回報,、設(shè)計獎勵方案；
2. 幾種函數(shù)模型：一次函數(shù),、對數(shù)函數(shù),、指數(shù)函數(shù)；
3. 應(yīng)用建模（函數(shù)模型）,；
解決應(yīng)用題的一般程序：
① 審題：弄清題意,，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系,；
② 建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,；
解模：求解數(shù)學(xué)模型,，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；
④ 還原：將用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論,，還原為實際問題的意

8. 下列函數(shù)中隨增大而增大速度最快的是（    ）.
 A．    B． 
 C．       D．
當(dāng)?shù)拇笮￡P(guān)系是      .
3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型
一,、選擇題.
1．某工廠10年來某種產(chǎn)品總產(chǎn)量C與時間t（年）的函數(shù)關(guān)系如下圖所示，下列四種說法,，其中說法正確的是:①前五年中產(chǎn)量增長的速度越來越快?、谇拔迥曛挟a(chǎn)量增長的速度越來越慢　③第五年后,，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)?、艿谖迥旰螅@種產(chǎn)品的產(chǎn)量保持不變
 A．②③ B．②④
           C．①③    D．①④
2．如下圖△ABC為等腰直角三角形,，直線l與AB相交且l⊥AB,，直線l截這個三角形所得的位于直線右方的圖形面積為y，點A到直線l的距離為x,，則y=f（x）的圖象大致為
 
3．用長度為24的材料圍一個矩形場地,，中間且有兩道隔墻，要使矩形的面積最大,，則隔墻的長度為
 A．3   B．4     C．6     D．12
4．已知鐳經(jīng)過100年,，剩留原來質(zhì)量的95．76%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年的剩留量為y,，則y與x的函數(shù)關(guān)系是
 A．y={0．9576}   B．y={0．9576}100x
 C．y=（）x  D．y=1－（0．0424）
5．某人騎自行車沿直線勻速旅行,，先前進了a千米，休息了一段時間，又沿原路返回b千米（b<a）,，再前進c千米,，則此人離起點的距離s與時間t的關(guān)系示意圖是
 
二、填空題.
6．某工廠1992年底某種產(chǎn)品年產(chǎn)量為a,，若該產(chǎn)品的年平均增長率為x,，2000年底該廠這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為y，那么y與x的函數(shù)關(guān)系式是______________________________．
7．周長為l的鐵絲彎成下部為矩形,，上部為半圓形的框架（半徑為r）,，若矩形底邊長為2x，此框架圍成的面積為y,，則y與x的函數(shù)解析式是_________________________________．
8．某輪船在航行中每小時所耗去的燃料費與該船航行速度的立方成正比,，且比例系數(shù)為a，其余費用與船的航行速度無關(guān),，約為每小時b元,，若該船以速度v千米/時航行，航行每千米耗去的總費用為  y  （元）,，則y與v的函數(shù)解析式為________．
9．已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關(guān)系y=a·（0．5）x+b,，現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件,、1．5萬件．則此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為____________________．
10．國家規(guī)定個人稿費納稅辦法為：不超過800元的不納稅,，超過800元而不超過4000元的按超過800元的14%納稅，超過4000元的按全稿酬的11%納稅．某人出版了一本書,，共納稅420元，這個人的稿費為__________元．
三,、解答題.
11.一個體戶有一種貨,，如果月初售出可獲利100元，再將本利都存入銀行,，已知銀行月息為2．4%,，如果月末售出可獲利120元，但要付保管費5元,，問這種貨是月初售出好,，還是月末售出好？

12.某種商品現(xiàn)在定價每年p元,，每月賣出n件,，因而現(xiàn)在每月售貨總金額np元，設(shè)定價上漲x成,，賣出數(shù)量減少y成,，售貨總金額變成現(xiàn)在的z倍．（1）用x和y表示z.  （2）若y=x，求使售貨總金額有所增加的x值的范圍．
 
 
 
 13.茜種商品定價為每件60元，不加收附加稅時每年大約銷售80萬件,，若政府征收附加稅,，每銷售100元要征稅P元，因此每年銷售量將減少萬件,。
 (1) 將政府每年對該商品征收的總稅金y萬元表示為P的函數(shù),，并指出這個函數(shù)的定義域。
 (2) 要使政府在此項經(jīng)營中每年收取的稅金不少于128萬元,，問稅率P%應(yīng)怎樣確定,？
 (3) 在可收稅金不少于128萬元的前提下，要讓廠家獲取最大銷售金額,，則如何確定P值,？
 
14.某工廠有一段舊墻長14m，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這段舊墻為一面建造平面圖形為矩形,，面積為126m2的廠房,，工程條件是：
 (1) 建1m新墻的費用為a元；(2) 修1m舊墻的費用為元,；(3) 拆去1m的舊墻,，用可得的建材建1m的新墻的費用為元，經(jīng)討論有兩種方案：
     ①利用舊墻一段x m（0＜x＜14）為矩形一邊,；
 ②矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14,，問如何利用舊墻建墻費用最省,？
 試比較①②兩種方案哪個更好,。
 

 參考答案
 一、1．A　2．C　3．A　4．A　5．C
 二,、6．y=a（1+x）8
 7． y=－（π+2）x2+lx+r2（0＜x＜）
 8．y=av3+（v＞0）
 9．1．75萬件　10．3800
 三,、
 11．解：設(shè)這種貨的成本費為a元，則若月初售出,，到月末共獲利潤為：
 y1=100+（a+100）×2．4%
 若月末售出,，可獲利y2=120－5=115（元）
 y2－y1=0．024a－12．6=0．024（a－525）
 故當(dāng)成本大于525元時，月末售出好,；成本小于525元時,，月初售出好．
 12．解：（1）npz=p（1+）·n（1－）
 ∴z=
 （2）當(dāng)y=x時，z=
 由z＞1,，得＞1
 x（x－5）＜0,，∴0＜x＜5
 13、(1) 設(shè)商品每年銷售為萬件,，∴
且,，p＞0,，∴0＜p＜12
 (2) y≥128，∴　　∴4≤p≤8
 (3) 廠家銷售收入為?。?≤p≤8）
 ∴當(dāng)p＝4時,，銷售收入最大為3200（萬元）
 14、(1) 方案：修舊墻費用為x·元,，拆舊墻造新墻費用為(4－x)·,，
 其余新墻費用：
 ∴總費用　（0＜x＜14）
 ∴≥35a,，當(dāng)x＝12時,，ymin＝35a
　　　　(2) 方案，利用舊墻費用為14·＝（元）
 建新墻費用為（元）
 總費用為：?。▁≥14）
 ∵函數(shù)在[14, ＋∞)上為增函數(shù),，∴當(dāng)x＝14，ymin＝35.5a
 ∴采用①方案更好些,。
 
 

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