2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(必修+選修II)

    本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3至4頁,?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回,。

第Ⅰ卷

注意事項：

1．答題前,，考生在答題卡上務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚,，并貼好條形碼,。請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目,。

2．每小題選出答案后,，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后,，再選涂其他答案標號,，在試題卷上作答無效,。

3．第Ⅰ卷共l2小題,，每小題5分，共60分,。在每小題給出的四個選項中,，只有一項是符合題目要求的。

一,、選擇題

(1)復數(shù),，為的共軛復數(shù)，則

（A）    （B）    （C）     （D）

【答案】B

【命題意圖】本題主要考查復數(shù)的運算.

【解析】|z|2-(1+i)-1=.

(2)函數(shù)的反函數(shù)為

（A）             （B）

（C）            （D）

【答案】B

【命題意圖】本題主要考查反函數(shù)的求法.

【解析】由原函數(shù)反解得,又原函數(shù)的值域為,所以函數(shù)的反函數(shù)為.

(3)下面四個條件中,，使成立的充分而不必要的條件是

（A）   （B）   （C）   （D）

【答案】A

【命題意圖】本題主要考查充要條件及不等式的性質.

【解析】即尋找命題,使,且推不出,逐項驗證知可選A.

(4)設為等差數(shù)列的前項和,，若，公差,，,，則 

（A）8         （B）7           （C）6           （D）5

【答案】D

【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列的基本公式的應用.

【解析】解法一，解得.

解法二: ,，解得.

(5)設函數(shù),，將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合,，則的最小值等于

（A）        （B）            （C）         （D）

【答案】C

【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)的周期性及三角函數(shù)圖像的平移變換.

【解析】由題意得,解得,又,令,得.

(6)已知直二面角,點,，,為垂足,，,為垂

足．若,，則到平面的距離等于

(A)          (B)             (C)          (D) 1 

【答案】C

【命題意圖】本題主要考查空間點到平面距離的求法.

【解析】如圖,過作,垂足為,因為是直二面角, ,∴平面,

∴,,,∴平面,故的長為點到平面的距離.在中,由等面積法得.

(7)某同學有同樣的畫冊2本,，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友每位朋友1本,，則不同的贈送方法共有

(A)4種           (B)10種        (C)18種        (D)20種

【答案】B

【命題意圖】本題主要考查兩個原理與排列組合知識,，考察考生分析問題的能力.

【解析】分兩類:一是取出1本畫冊,3本集郵冊,此時贈送方法有種；

二是取出2本畫冊,2本集郵冊,，此時贈送方法有種.故贈送方法共有10種.

(8)曲線在點(0,2)處的切線與直線和圍成的三角形的面積為

(A)            (B)           (C)          (D)1 

【答案】A

【命題意圖】本題主要考查利用導數(shù)求切線方程和三角形面積公式.

【解析】∴曲線在點(0,2)處的切線的斜率故切線方程是,在直角坐標系中作出示意圖得圍成的三角形的三個頂點分別為(0,0),、(1,0)、(, ),，∴三角形的面積是.

(9)設是周期為2的奇函數(shù),，當時，,則

(A) -          (B)          (C)            (D)

【答案】A

【命題意圖】本題主要考查利用函數(shù)的周期性和奇偶性求函數(shù)值的方法.

【解析】由是周期為2的奇函數(shù),利用周期性和奇偶性得: .

(10)已知拋物線C：的焦點為,，直線與交于,，兩點．則

(A)         (B)           (C)            (D) 

【答案】D

【命題意圖】本題主要考查直線與拋物線的位置關系,余弦定理的應用.

【解析】聯(lián)立消去得,解得,不妨設點在軸的上方,于是，兩點的坐標分別為(4,4),(1,),又,可求得.在中,由余弦定理.

(11)已知平面α截一球面得圓，過圓心且與α成二面角的平面β截該球面得圓.若該球面的半徑為4,，圓的面積為4,，則圓的面積為

 (A)7            (B)9        (C)11          (D)13

【答案】D

【命題意圖】本題主要考查二面角的概念與球的性質.

【解析】如圖所示,由圓的面積為4知球心到圓的距離,在中,, ∴,故圓的半徑,∴圓的面積為. 

(12)設向量，,，滿足|,，，,，則的最大值等于

  (A)2              (B)            (c)        (D)1

【答案】A

【命題意圖】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算,、向量加減法、四點共圓的條件及數(shù)形結合的思想.

【解析】如圖,，設,，則，,，∴四點共圓,，當為圓的直徑時，最大,，最大值為2.

絕密★啟用前

2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(必修+選修II)

第Ⅱ卷

注意事項：

1答題前,，考生先在答題卡上用直徑0．5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚,，然后貼好條形碼,。請認真核準條形碼卜的準考證號、姓名和科目,。

2第Ⅱ卷共2頁,，請用直徑0．5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域  內作答，在試題卷上作答無效,。

3第Ⅱ卷共l0小題,，共90分。

二,、填空題：本大題共4小題,，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上(注意：在試卷上作答無效)

(13)的二項展開式中,，的系數(shù)與的系數(shù)之差為       .

【答案】0

【命題意圖】本題主要考查二項展開式的通項公式和組合數(shù)的性質.

【解析】由得的系數(shù)為,的系數(shù)為,而=,所以的系數(shù)與的系數(shù)之差為0.

(14)已知,,則       .

【答案】

【命題意圖】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系和二倍角的正切公式.

【解析】由,得,故,

∴.

(15)已知,、分別為雙曲線: 的左、右焦點,，點,，點的坐標為(2，0),，為的平分線．則        .

【答案】6

【命題意圖】本題主要考查三角形的內角平分線定理,，雙曲線的第一定義和性質.

【解析】為的平分線，∴ ∴

又點，由雙曲線的第一定義得.

(16)己知點,、分別在正方體的棱,、上，且,，則面與面所成的二面角的正切值等于      .

【答案】

【命題意圖】本題主要考查正方體中二面角的求法.

【解析】延長交的延長線于,連結,則為面與面的交線,由得,∴為中點.設正方體的棱長為1,則,又,∴∴平面,∴∴是面與面所成的二面角的平面角,在中,,故面與面所成的二面角的正切值等于.

三．解答題：本大題共6小題,，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

(17)(本小題滿分l0分)(注意：在試題卷上作答無效)

的內角,、,、的對邊分別為、,、.已知, ,求.

【命題意圖】本題主要考查正弦定理、三角形內角和定理,、誘導公式,、輔助角公式,考查考生對基礎知識、基本技能的掌握情況.

【解析】由及正弦定理可得

                    …………………………………3分

又由,,故

           =

=           …………………………………7分

,

因為  ,

所以  ,

                    …………………………………10分

【點評】三角函數(shù)與解三角形的綜合性問題,，是近幾年高考的熱點,，在高考試題中頻繁出現(xiàn).這類題型難度比較低，一般出現(xiàn)在17或18題,，屬于送分題,，估計以后這類題型仍會保留,，不會有太大改變.解決此類問題,，要根據(jù)已知條件,，靈活運用正弦定理或余弦定理,，求邊角或將邊角互化.

 (18)(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)

    根據(jù)以往統(tǒng)計資料,，某地車主購買甲種保險的概率為0.5,，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3,設各車主購買保險相互獨立.

(I)求該地1位車主至少購買甲,、乙兩種保險中的l種的概率,；

(Ⅱ)表示該地的l00位車主中,甲,、乙兩種保險都不購買的車主數(shù).求的期望.   

【命題意圖】本題主要考查獨立事件的概率,、對立事件的概率、互斥事件的概率及二項分布的數(shù)學期望,，考查考生分析問題,、解決問題的能力.

【解析】記表示事件: 該地的1位車主購買甲種保險；

表示事件: 該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險,；

表示事件: 該地的1位車主至少購買甲,、乙兩種保險中的l種；

表示事件: 該地的1位車主甲,、乙兩種保險都不購買.

(I), ,    ……………………………3分

   ……………………………6分

(Ⅱ),

,即服從二項分布, ……………………………10分

所以期望  .        ……………………………12分

【點評】概率與統(tǒng)計是每年的必考題,，一般安排在解答題的前3題.本題屬于已知概率求概率類型. 考查保險背景下的概率問題，要求考生熟練掌握獨立事件的概率、對立事件的概率,、互斥事件的概率及二項分布的數(shù)學期望.

(19)(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)

如圖,，四棱錐中， ,,，側面為等邊三角形,，.

(Ⅰ)證明：平面；

(Ⅱ)求與平面所成角的大小.

【命題意圖】以四棱錐為載體考查線面垂直證明和線面角的計算,，注重與平面幾何的綜合.

解法一：(Ⅰ)取中點,，連結，則四邊形為矩形,，,，連結，則,，.

又,故,所以為直角.        ………………3分

由,,,得平面,所以.

與兩條相交直線,、都垂直.

所以平面.                                 ………………6分

另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面.   ………………6分

(Ⅱ)由平面知，平面平面.

作,垂足為,則平面ABCD,.

作,垂足為,則.

連結.則.

又,故平面,平面平面.……9分

作,為垂足,則平面.

,即到平面的距離為.

由于,所以平面,到平面的距離也為.

設與平面所成的角為,則,.……12分

解法二：以為原點,射線為軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.

設,則,、.

又設,則.

(Ⅰ),

由得

,

故.

由得,

又由得,

即,故.                 ………………3分

于是,

.

故,又,

所以平面.                                  ………………6分

(Ⅱ)設平面的法向量,

則.

又,

故                                 ………………9分

取得,又

.

故與平面所成的角為.                ………………12分

【點評】立體幾何一直以來都是讓廣大考生又喜又憂的題目.為之而喜是因為只要能建立直角坐標系,，基本上可以處理立體幾何絕大多數(shù)的問題；為之而憂就是對于不規(guī)則的圖形來講建系的難度較大,，問題不能得到很好的解決.今年的立幾問題建系就存在這樣的問題,，很多考生由于建系問題導致立幾的完成情況不是很好.

(20)(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)

設數(shù)列滿足且.

求的通項公式；

(Ⅱ)設.

【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列的定義及其通項公式,裂項相消法求和,不等式的證明,，考查考生分析問題,、解決問題的能力.

【解析】(Ⅰ)由題設,

即是公差為1的等差數(shù)列.

又,故.

所以                     ……………………………5分#   (Ⅱ) 由(Ⅰ)得

,

…………………………12分

【點評】2011年高考數(shù)學全國卷將數(shù)列題由去年的第18題后移,一改往年的將數(shù)列結合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識,、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用,，也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心.估計以后的高考，對數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式,、基本性質,、遞推數(shù)列、數(shù)列求和,、數(shù)列極限,、簡單的數(shù)列不等式證明等，這種考查方式還要持續(xù).

 (21)(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)

已知為坐標原點,，為橢圓：在軸正半軸上的焦點,，過且斜率為的直線與交與、兩點,，點滿足.

(I)證明：點在上,；

(II)設點關于點的對稱點為,，證明：、,、,、四點在同一圓上.

【命題意圖】本題考查直線方程、平面向量的坐標運算,、點與曲線的位置關系,、曲線交點坐標求法及四點共圓的條件。

【解析】(I),的方程為,代入并化簡得

.                  …………………………2分

設,

則

   由題意得

所以點的坐標為.

經驗證點的坐標滿足方程,故點在橢圓上 …6分

(II)由和題設知,，,，的垂直平分線的方程為

.                        ①

設的中點為,則,的垂直平分線的方程為

.                       ②

由①、②得,、的交點為.         …………………………9分

,

,

,

,

,

故     ,

又      , ,

所以    ,

由此知,、、,、四點在以為圓心,為半徑的圓上. ……………12分

【點評】本題涉及到平面微向量,，有一定的綜合性和計算量，完成有難度. 首先出題位置和平時模擬幾乎沒有變化,，都保持全卷倒數(shù)第二道題的位置，這點考生非常適應的,。相對來講比較容易,，是因為這道題最好特點沒有任何的未知參數(shù)，我們看這道題橢圓完全給出,，直線過了橢圓焦點,，并且斜率也給出，平時做題斜率不給出,，需要通過一定條件求出來,，或者根本求不出來，這道題都給了,，反而同學不知道怎么下手,，讓我求什么不知道，給出馬上給向量條件,，出了兩道證明題,，這個跟平時做的不太一樣，證明題結論給大家,，需要大家嚴謹推導出來,，可能敘述的時候有不嚴謹?shù)牡胤健＿@兩問出的非常巧妙,，非常涉及解析幾何本質的內容,，一個證明點在橢圓上的問題,，還有一個疑問既然出現(xiàn)四點共圓，這都是平時很少涉及內容,。從側面體現(xiàn)教育深層次的問題,，讓學生掌握解析幾何的本質，而不是把套路解決,。其實幾年前上?？嫉浇馕鰩缀伪举|問題，最后方法用代數(shù)方法研究幾何的問題,，什么是四點共圓,？首先在同一個圓上，首先找到圓心,，四個點找圓形不好找,，最簡單的兩個點怎么找？這是平時的知識,，怎么找距離相等的點,，一定在中垂線，兩個中垂線交點必然是圓心,，找到圓心再距離四個點距離相等,，這就是簡單的計算問題。方法確定以后計算量其實比往年少.

(22)(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)

(I)設函數(shù),，證明：當時,，；

(II)從編號1到100的100張卡片中每次隨即抽取一張,，然后放回,，用這種方式連續(xù)抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為.證明：

【命題意圖】本題為導數(shù),、概率與不等式的綜合,主要考查導數(shù)的應用和利用導數(shù)證明不等式.考查考生綜合運用知識的能力及分類討論的思想,，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力.

【解析】(I)         …………………………2分

當時, ,所以為增函數(shù),又,因此當時,

.                              …………………………5分

(II) .

又

所以.

由(I)知: 當時, 

因此    .

在上式中,令,則 19,即.

所以                …………………………12分

【點評】導數(shù)常作為高考的壓軸題,，對考生的能力要求非常高,，它不僅要求考生牢固掌握基礎知識、基本技能,，還要求考生具有較強的分析能力和計算能力.估計以后對導數(shù)的考查力度不會減弱.作為壓軸題,，主要是涉及利用導數(shù)求最值解決恒成立問題，利用導數(shù)證明不等式等,，有時還伴隨對參數(shù)的討論,，這也是難點之所在.