中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)分三類：一類是純粹數(shù)的知識(shí)，如實(shí)數(shù),、代數(shù)式,、方程（組）、不等式（組）,、函數(shù)等,；一類是關(guān)于純粹形的知識(shí)，如平面幾何,、立體幾何等,；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識(shí)，主要體現(xiàn)是解析幾何,。

數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法,，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系,，即以形作為手段,，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì),；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性,，即以數(shù)作為手段，形作為目的,，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì),。

恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,，既分析其代數(shù)意義,，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙,、和諧地結(jié)合在一起,，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路,，使問(wèn)題化難為易,、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決,?！皵?shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，宇宙間萬(wàn)物無(wú)不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一,。華羅庚先生說(shuō)過(guò)：數(shù)缺形時(shí)少直觀,，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好,，隔裂分家萬(wàn)事休,。

數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái),，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化,，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化,。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí),，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義,；第二是恰當(dāng)設(shè)參,、合理用參，建立關(guān)系,，由數(shù)思形,，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化,；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍,。

數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合,。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來(lái)定義的,；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來(lái)定義的。

Ⅰ,、再現(xiàn)性題組：

1. 設(shè)命題甲：0<x<5,；命題乙：|x－2|<3，那么甲是乙的_____。（90年全國(guó)文）

A.充分非必要條件   B.必要非充分條件   C.充要條件   D.既不充分也不必要條件

2. 若log 2<log 2<0,，則_____,。(92年全國(guó)理)

A. 0<a<b<1     B. 0<b<a<1     C. a>b>1     D. b>a>1

3. 如果|x|≤ ,那么函數(shù)f(x)＝cos x＋sinx的最小值是_____。 (89年全國(guó)文)

A.           B. －          C. －1            D.

4. 如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值是5,，那么f(x)的[-7,-3]上是____,。(91年全國(guó))

A.增函數(shù)且最小值為－5                B.增函數(shù)且最大值為－5

C.減函數(shù)且最小值為－5                D.減函數(shù)且最大值為－5 

5. 設(shè)全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1},，N＝{(x,y)|y≠x＋1},，那么 等于_____。  (90年全國(guó))

A.  φ          B. {(2,3)}      C. (2,3)      D. {(x,y)|y＝x＋1  

6. 如果θ是第二象限的角,，且滿足cos －sin ＝ ,那么 是_____,。

A.第一象限角    B.第三象限角    C.可能第一象限角，也可能第三象限角    D.第二象限角

7. 已知集合E＝{θ|cosθ<sinθ,，0≤θ≤2π},，F＝{θ|tgθ<sinθ}，那么E∩F的區(qū)間是_____,。（93年全國(guó)文理）

A. ( ,π)    B. ( , )   C. (π, )   D. ( , )      

8. 若復(fù)數(shù)z的輻角為 ,，實(shí)部為－2 ，則z＝_____,。

A. －2 －2ｉ   B. －2 ＋2ｉ    C. －2 ＋2 ｉ    D. －2 －2 ｉ

9. 如果實(shí)數(shù)x,、y滿足等式(x－2) ＋y ＝3，那么 的最大值是_____,。  (90年全國(guó)理)

A.        B.       C.          D.

10.      滿足方程|z＋3－ ｉ|＝ 的輻角主值最小的復(fù)數(shù)z是_____。

【簡(jiǎn)解】1小題：將不等式解集用數(shù)軸表示,，可以看出,，甲＝>乙，選A;

2小題：由已知畫(huà)出對(duì)數(shù)曲線,，選B,；

3小題：設(shè)sinx＝t后借助二次函數(shù)的圖像求f(x)的最小值，選D,；

4小題：由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱畫(huà)出圖像,，選B；

5小題：將幾個(gè)集合的幾何意義用圖形表示出來(lái),，選B,；

6小題：利用單位圓確定符號(hào)及象限；選B,；

7小題：利用單位圓,，選A；

8小題：將復(fù)數(shù)表示在復(fù)平面上，選B,；

9小題：轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率范圍問(wèn)題,；選D；

10小題：利用復(fù)平面上復(fù)數(shù)表示和兩點(diǎn)之間的距離公式求解,答案－ ＋ ｉ,。

【注】 以上各題是歷年的高考客觀題,，都可以借助幾何直觀性來(lái)處理與數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，即借助數(shù)軸（①題）,、圖像（②,、③、④,、⑤題）,、單位圓（⑥,、⑦題）,、復(fù)平面（⑧、⑩題）,、方程曲線（⑨題）,。

Ⅱ,、示范性題組：

例1. 若方程lg(－x ＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍,。

【分析】將對(duì)數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形,，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問(wèn)題，再利用二次函數(shù)的圖像進(jìn)行解決,。

【解】 原方程變形為     

即：

設(shè)曲線y ＝(x－2)  , x∈(0,3)和直線y ＝1－m,，圖像如圖所示。由圖可知：

① 當(dāng)1－m＝0時(shí),，有唯一解,，m＝1;     

②當(dāng)1≤1－m<4時(shí)，有唯一解,，即－3<m≤0,

∴  m＝1或－3<m≤0

此題也可設(shè)曲線y ＝－(x－2) ＋1 , x∈(0,3)和直線y ＝m后畫(huà)出圖像求解,。

【注】 一般地，方程的解,、不等式的解集,、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行討論時(shí)，可以借助于函數(shù)的圖像直觀解決,，簡(jiǎn)單明了,。此題也可用代數(shù)方法來(lái)討論方程的解的情況，還可用分離參數(shù)法來(lái)求（也注意結(jié)合圖像分析只一個(gè)x值）,。

例2. 設(shè)|z |＝5,，|z |＝2, |z － |＝ ,，求 的值。

【分析】 利用復(fù)數(shù)模,、四則運(yùn)算的幾何意義,，將復(fù)數(shù)問(wèn)題用幾何圖形幫助求解。

【解】 如圖,，設(shè)z ＝ ,、z ＝ 后，則 ＝ ,、 ＝ 如圖所示,。

由圖可知，| |＝ ,，∠AOD＝∠BOC,，由余弦定理得：

cos∠AOD＝ ＝

∴ ＝ ( ± ｉ)＝2± ｉ

【另解】設(shè)z ＝ 、 ＝ 如圖所示,。則| |＝ ,，且

cos∠AOD＝ ＝ ，sin∠AOD＝± ,，

所以 ＝ ( ± ｉ)＝2± ｉ,，即 ＝2± ｉ。

【注】本題運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合法”,，把共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)平面上的向量表示,、代數(shù)運(yùn)算的幾何意義等都表達(dá)得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的生動(dòng)活潑,。一般地,，復(fù)數(shù)問(wèn)題可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義而將問(wèn)題變成幾何問(wèn)題，也可利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,、三角形式,、復(fù)數(shù)性質(zhì)求解。

本題設(shè)三角形式后轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題的求解過(guò)程是：設(shè)z ＝5(cosθ ＋ｉsinθ ),，z ＝＋ｉsinθ ),，則|z － |＝|(5cosθ －2cosθ )＋(5sinθ ＋2sinθ )ｉ|＝

＝ ,，所以cos(θ ＋θ )＝ ,sin(θ ＋θ )＝± ,，

＝ ＝ [cos(θ ＋θ )＋ｉsin(θ ＋θ )]＝ ( ± ｉ)＝2± ｉ。

本題還可以直接利用復(fù)數(shù)性質(zhì)求解,，其過(guò)程是：由|z － |＝ 得：

（z － ）( －z )＝z ＋z －z z － ＝25＋4－z z － ＝13,

所以z z ＋ ＝16,再同除以z 得 ＋ ＝4,，設(shè) ＝z，解得z＝2± ｉ,。

幾種解法,，各有特點(diǎn)，由于各人的立足點(diǎn)與思維方式不同，所以選擇的方法也有別,。一般地,，復(fù)數(shù)問(wèn)題可以應(yīng)用于求解的幾種方法是：直接運(yùn)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解；設(shè)復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題求解,；設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解,；利用復(fù)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題求解。

例3. 直線L的方程為：x＝－   (p>0),橢圓中心D(2＋ ,0),，焦點(diǎn)在x軸上,，長(zhǎng)半軸為2，短半軸為1,，它的左頂點(diǎn)為A,。問(wèn)p在什么范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn),，它們中每一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離,？

【分析】 由拋物線定義，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成：p為何值時(shí),，以A為焦點(diǎn),、L為準(zhǔn)線的拋物線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題（研究方程組解的情況）,。

【解】 由已知得：a＝2,，b＝1, A( ,0)，設(shè)橢圓與雙曲線方程并聯(lián)立有：

,，消y得：x －(4－7p)x＋(2p＋ )＝0

所以△＝16－64p＋48p >0,即6p －8p＋2>0,，解得：p< 或p>1。

結(jié)合范圍( ,4+ )內(nèi)兩根,，設(shè)f(x)＝x －(4－7p)x＋(2p＋ ),，

所以 < <4+ 即p< ，且f( )>0,、f(4+ )>0即p>－4＋3 ,。

結(jié)合以上，所以－4＋3 <p< ,。

【注】 本題利用方程的曲線將曲線有交點(diǎn)的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)解的代數(shù)問(wèn)題,。一般地，當(dāng)給出方程的解的情況求參數(shù)的范圍時(shí)可以考慮應(yīng)用了“判別式法”,，其中特別要注意解的范圍,。另外，“定義法”,、“數(shù)形結(jié)合法”,、“轉(zhuǎn)化思想”,、“方程思想”等知識(shí)都在本題進(jìn)行了綜合運(yùn)用。

例4. 設(shè)a,、b是兩個(gè)實(shí)數(shù),，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z）,，B＝{(x,y)|x＝m,，y＝3m ＋15}  (m∈Z)，C＝{(x,y)|x ＋y ≤144},，討論是否,，使得A∩B≠φ與(a,b)∈C同時(shí)成立。(85年高考)

【分析】集合A,、B都是不連續(xù)的點(diǎn)集,，“存在a、b,，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a,、b使得na＋b＝3n ＋15(n∈Z)有解（A∩B時(shí)x＝n＝m）。再抓住主參數(shù)a,、b,，則此問(wèn)題的幾何意義是：動(dòng)點(diǎn)(a,b)在直線L：nx＋y＝3n ＋15上，且直線與圓x ＋y ＝144有公共點(diǎn),，但原點(diǎn)到直線L的距離≥12,。

【解】 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n ＋15 ;

設(shè)動(dòng)點(diǎn)(a,b)在直線L：nx＋y＝3n ＋15上，且直線與圓x ＋y ＝144有公共點(diǎn),，

所以圓心到直線距離d＝ ＝3( ＋ )≥12

∵ n為整數(shù)   ∴ 上式不能取等號(hào),，故a、b不存在,。

【注】 集合轉(zhuǎn)化為點(diǎn)集（即曲線）,，而用幾何方法進(jìn)行研究。此題也屬探索性問(wèn)題用數(shù)形結(jié)合法解,，其中還體現(xiàn)了主元思想,、方程思想，并體現(xiàn)了對(duì)有公共點(diǎn)問(wèn)題的恰當(dāng)處理方法,。

本題直接運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行解答的思路是：

由A∩B≠φ得：na＋b＝3n ＋15 ,即b＝3n ＋15－an  （①式）,；

由(a,b)∈C得，a ＋b ≤144 （②式）,；

把①式代入②式,，得關(guān)于a的不等式：

(1＋n )a －2n(3n ＋15)a＋(3n ＋15) －144≤0  （③式）,

它的判別式△＝4n (3n ＋15) －4(1＋n )[(3n ＋15) －144]＝－36(n －3)

因?yàn)?/SPAN>n是整數(shù),，所以n －3≠0,因而△<0,，又因?yàn)?/SPAN>1＋n >0,故③式不可能有實(shí)數(shù)解,。

所以不存在a、b,，使得A∩B≠φ與(a,b)∈C同時(shí)成立

Ⅲ,、鞏固性題組：

1.   已知5x＋12y＝60，則 的最小值是_____,。

A.      B.      C.      D. 1

2.   已知集合P＝{(x,y)|y＝ },、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ,，則b的取值范圍是____,。

A. |b|<3     B.  |b|≤3      C. －3≤b≤3      D.  －3<b<3

3.   方程2 ＝x ＋2x＋1的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是_____。

A.  1      B.  2     C.  3     D.以上都不對(duì)

4.   方程x＝10sinx的實(shí)根的個(gè)數(shù)是_______,。

5.   若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空數(shù)集,，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________。

6.   設(shè)z＝cosα＋ ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范圍是____________,。

7.   若方程x －3ax＋2a ＝0的一個(gè)根小于1,，而另一根大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______,。

8.   sin 20°＋cos 80°＋ sin20°·cos80°＝____________,。

9.   解不等式：   >b－x

10. 設(shè)A＝{x|<1x<3}，又設(shè)B是關(guān)于x的不等式組 的解集,，試確定a,、b的取值范圍，使得A B,。  （90年高考副題）

11.      定義域內(nèi)不等式 〉x＋a恒成立,，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

12. 已知函數(shù)y＝ ＋ ,，求函數(shù)的最小值及此時(shí)x的值,。

13. 已知z∈C，且|z|＝1,，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值,。

14. 若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求常數(shù)k的取值范圍,。