一、小學(xué)數(shù)學(xué)中為什么要列入“統(tǒng)計(jì)與概率”,？
從《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》的規(guī)定來(lái)看,，其內(nèi)容是“研究現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機(jī)現(xiàn)象，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)收集,、整理,、描述和分析，以及對(duì)事件發(fā)生可能性的刻畫,，來(lái)幫助人們作出合理的推斷和預(yù)測(cè),。”
具體內(nèi)容包括以下六項(xiàng)：
1、描述統(tǒng)計(jì),。包括整理數(shù)據(jù),、列表、直方圖,、扇形圖等,。
2、數(shù)據(jù)的代表數(shù),。平均數(shù),、中位數(shù)、眾數(shù),。
3,、可能性。包括等可能事件的概率,、幾何概率,。
4、頻率和概率,、樣本和總體
5,、加權(quán)平均、方差
6,、樹(shù)狀圖計(jì)算概率
前三項(xiàng)是小學(xué)階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容,，后三項(xiàng)是初中階段的內(nèi)容。這意味著：
1,、小學(xué)以統(tǒng)計(jì)為主,、概率為輔。統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容是數(shù)據(jù)處理,。
2,、數(shù)據(jù)處理有兩類：描述統(tǒng)計(jì)和數(shù)理統(tǒng)計(jì),。小學(xué)階段主要是描述統(tǒng)計(jì)，還很少用概率手段來(lái)處理數(shù)據(jù),；但要有隨機(jī)的意識(shí),，適度溝通統(tǒng)計(jì)和概率。
3,、用概率推斷和預(yù)測(cè)需要隨機(jī)變量分布知識(shí),。小學(xué)里無(wú)法用概率方法進(jìn)行推測(cè)和預(yù)測(cè)，只能是一些猜想,，屬于沒(méi)有證明的合情推理,。
這樣一來(lái)，小學(xué)里把統(tǒng)計(jì)和概率放在一個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域,，只是提供一般的素養(yǎng),，為中學(xué)打基礎(chǔ)，小學(xué)的概率還不能和統(tǒng)計(jì)發(fā)生有機(jī)聯(lián)系,。小學(xué)數(shù)學(xué)里“統(tǒng)計(jì)”和“概率”兩張皮的現(xiàn)象難以避免,。不過(guò)，我們可以適當(dāng)進(jìn)行滲透,。
此外,，由于小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容還不能進(jìn)行概率計(jì)算，所以老是停留在可能性的認(rèn)識(shí)上,，各個(gè)年級(jí)的差別很小,，幾乎在原地踏步。因此,，修改中的課程標(biāo)準(zhǔn)有意將小學(xué)階段的概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容有所消減,。
二、九年義務(wù)教育階段中概率和統(tǒng)計(jì)怎樣結(jié)合
畫統(tǒng)計(jì)圖,、求平均數(shù),，是小學(xué)里學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容，這些至少原本小學(xué)里就有,，只是不和概率掛鉤,。那么統(tǒng)計(jì)內(nèi)容怎樣和概率聯(lián)系起來(lái)呢？具體途徑是：
a)從頻率到概率
b)從平均數(shù)到“數(shù)學(xué)期望”
c)從普查到抽樣
d)從樣本的參數(shù)估計(jì)總體
這四項(xiàng)都是中學(xué)甚至大學(xué)的內(nèi)容,，但是,，小學(xué)也會(huì)有所涉及，需要注意把握,、適當(dāng)滲透,。
●小學(xué)里，設(shè)計(jì)隨機(jī)事件（摸球）發(fā)生的頻率,，就是將頻率當(dāng)概率看,。不過(guò),，這要基于大數(shù)定理,，我們要區(qū)分理論概率和經(jīng)驗(yàn)概率（頻率）
●小學(xué)里學(xué)過(guò)百分比以后,，大量接觸某事件發(fā)生的頻率，如次品率,、交通事故率,、出生率等?？梢杂眠@些頻率當(dāng)作概率推測(cè),。
●某項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)萬(wàn)分之一,，獎(jiǎng)金一萬(wàn)元,，那么期望值是一元，根據(jù)期望值決策,。
●去掉一個(gè)最高（低）分的作用是刪除一些隨機(jī)因素,。
●用小范圍調(diào)查估計(jì)總體，涉及抽樣調(diào)查和回歸分析,。
這些地方多少涉及一些隨機(jī)因素,，但在數(shù)據(jù)中都沒(méi)有仔細(xì)處理，需要改造,。
三,、一些基本的概率思想——麻將為什么不能產(chǎn)生概率論？
僅僅知道“可能性”,，甚至能夠算一點(diǎn)概率,，并不能自發(fā)產(chǎn)生概率論，那些打麻將很精的人,，一定知道隨機(jī)現(xiàn)象,，知道“可能性”有大小，而且能夠大體估算,。例如,，知道怎樣做麻將牌容易“和”，怎樣做則不容易,。他們也知道所謂一付牌“番數(shù)”高,，就是難“和”的緣故。但是,，這些不會(huì)產(chǎn)生概率論,。
實(shí)際上，這些關(guān)于“可能性”有大小的概率思考,，不上學(xué),，老師不教也能懂,。但是，現(xiàn)在小學(xué)里教的往往還是這些“不教就懂”的東西,。所以,，我認(rèn)為，目前小學(xué)數(shù)學(xué)中的概率教學(xué),，在思想深度上是不夠的,。
小學(xué)里概率論的基礎(chǔ)思想是以下幾點(diǎn)：
1、大數(shù)定理
大數(shù)定理是指在隨機(jī)試驗(yàn)中,，每次出現(xiàn)的結(jié)果不同,，但是大量重復(fù)試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果的平均值卻幾乎總是接近于某個(gè)確定的值。其原因是,，在大量的觀察試驗(yàn)中,，個(gè)別的、偶然的因素影響而產(chǎn)生的差異將會(huì)互相抵消,，從而使現(xiàn)象的必然規(guī)律性顯示出來(lái),。例如，觀察個(gè)別或少數(shù)家庭的嬰兒出示情況,，發(fā)現(xiàn)有的生男,，有的生女，沒(méi)有一定的規(guī)律性,，但是通過(guò)大量的觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn),，男嬰和女嬰占嬰兒總數(shù)的比重均會(huì)趨于50%。
該定律是切貝雪夫大數(shù)定律的特例,，其含義是,，當(dāng)n足夠大時(shí)，事件A出現(xiàn)的頻率將幾乎接近于其發(fā)生的概率,，即頻率的穩(wěn)定性,。
小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該在一定的情況下滲透大數(shù)定理的思想。課堂里區(qū)區(qū)每人拋20次硬幣,，50個(gè)人合起來(lái)不過(guò)拋1000次硬幣,，太少了。要拋多少次才能判斷“硬幣國(guó)徽朝上”接近二分之一,，可以到科技館里觀察操作,，也可以用計(jì)算機(jī)軟件處理。
2,、數(shù)學(xué)期望
數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量最基本的數(shù)學(xué)特征之一,。它反映隨機(jī)變量平均取值的大小，又稱期望或均值。它是簡(jiǎn)單算術(shù)平均的一種推廣,。例如某城市有10萬(wàn)個(gè)家庭,，沒(méi)有孩子的家庭有1000個(gè)，有一個(gè)孩子的家庭有9萬(wàn)個(gè),，有兩個(gè)孩子的家庭有6000個(gè),，有3個(gè)孩子的家庭有3000個(gè)，則此城市中任一個(gè)家庭中孩子的數(shù)目是一個(gè)隨機(jī)變量,，它可以取值0,、1,、2,、3，其中取0的概率為0.01,，取1的概率為0.9,，取2的概率為0.06，取3的概率為0.03,。它的數(shù)學(xué)期望為0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03,，等于1.11，即此城市一個(gè)家庭平均有小孩1.11個(gè),。
帕斯卡分配賭金的故事,，可以在小學(xué)高年級(jí)出現(xiàn)，這是經(jīng)典,。2002年,，中央電視臺(tái)10頻道和觀眾互動(dòng)節(jié)目中有這樣的題目：
“甲乙兩人出賭資5個(gè)金幣，形成10個(gè)金幣的賭資,。規(guī)定最先贏得5局的人獲勝?，F(xiàn)在進(jìn)行了7局，甲贏4局,，乙贏3局,，因故不得不終止。問(wèn)這些賭資該如何分配,。”
問(wèn)電視臺(tái)演播廳的聽(tīng)眾,，三位都說(shuō)按照七分之四和七分之三分配。
但是,，按照概率論的思考是,，兩人在每一局的獲勝機(jī)會(huì)都一樣，即二分之一?，F(xiàn)在規(guī)定再賽一局——第8局,。
甲的形勢(shì)是：若甲贏第8局，則得到全部10個(gè)金幣,，但贏的概率是二分之一,，所以,，期望值是5個(gè)金幣。若甲輸,，那么甲乙打平,，甲得一半5個(gè)金幣。但輸?shù)舻母怕室彩嵌种?。所以得?.5個(gè)金幣,。合起來(lái)，甲總得7.5個(gè)金幣,。
分析乙的形勢(shì),，則只有在自己贏得第8局的情況下，才能獲得一半的賭資,，這樣的概率只有二分之一,，所以乙的期望值是2.5個(gè)金幣。
這是1654年法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡和費(fèi)馬通信中的思考,。把賭金和輸贏概率結(jié)合起來(lái)（相乘）以得到期望值,，解決了這一賭金分配問(wèn)題。這里用了“期望”的字眼,，正是這一使用“期望值”的案例,，標(biāo)致這概率論的誕生。
3,、刪除數(shù)據(jù)中的一些偶然因數(shù)：平均數(shù)與中位數(shù)
數(shù)據(jù)處理中最常用的是平均數(shù),。但是，過(guò)去的平均數(shù)教學(xué),，只是會(huì)計(jì)算而已,，沒(méi)有考慮到數(shù)據(jù)中的隨機(jī)因素。現(xiàn)在提出中位數(shù),，就顯示出隨機(jī)的意義,。測(cè)量會(huì)產(chǎn)生誤差，其中有隨機(jī)因素存在,，取平均數(shù)可以避免個(gè)別因素的作用,。這就是說(shuō)，平均數(shù)注意到每一個(gè)數(shù)據(jù)的作用,，是一種全面考慮,。
關(guān)于中位數(shù)。中位數(shù),，代表中等水平,。要知道某同學(xué)在本班的數(shù)學(xué)成績(jī)是“中上”還是“中下”，必須看中位數(shù)，看平均數(shù)有時(shí)不行,。
●去掉最高分,、最低分和中位數(shù)的關(guān)系。去掉一個(gè)最高（低）分,，是走向中位數(shù)的第一步,。如果不斷地去掉最高最低，最后剩下的就是中位數(shù),。中位數(shù)的目的就是刪除一些隨機(jī)因素,。
例如：4個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)=“去掉一個(gè)最高最低”之后的平均
●中位數(shù)的特征是比它大的數(shù)據(jù)和比它小的數(shù)據(jù)一樣多。所以要問(wèn)居于“多數(shù)”還是“少數(shù)”,，要以中位數(shù)為準(zhǔn)則,。例如在本班數(shù)學(xué)成績(jī)中位數(shù)以上的分?jǐn)?shù)是“中等偏上”。
●高于平均數(shù)據(jù)不一定表示中上水平,。
舉例略,。
目前各種教材中很少涉及中位數(shù)，應(yīng)該多加應(yīng)用,。
附錄：關(guān)于“算術(shù)平均數(shù)”理解的四個(gè)水平
本義性理解水平。指平均數(shù)能代表一組數(shù)據(jù)的“普通水平”或“一般水平”,。平均數(shù)是社會(huì)上使用最廣泛的數(shù)學(xué)概念之一,。在報(bào)刊和文件上，頻繁地出現(xiàn)我國(guó)“人均”數(shù)據(jù)：人均收入,、人均土地,、人均水資源，以及住房平均價(jià)格,、某公司職員的平均工資,、某學(xué)生各科平均成績(jī)等等，可以說(shuō)“平均”的字樣無(wú)處不在,。平均的概念到處都有,。
特異性理解水平。指平均數(shù)易受到極端值影響,。在一些特異情況下可能不代表“普通水平”和“中等水平”,。
加權(quán)性理解水平。一般平均數(shù)經(jīng)拓展后得到加權(quán)平均數(shù)概念,。一般平均數(shù)是將數(shù)據(jù)組中的各個(gè)數(shù)據(jù)等同看待的,，而許多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中采集的數(shù)據(jù)具有不同的重要性。當(dāng)數(shù)據(jù)具有不同重要性時(shí),，必須考慮賦予數(shù)據(jù)相應(yīng)的權(quán)數(shù),。
隨機(jī)變量分布理解水平。指平均數(shù)作為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。平均數(shù)是隨機(jī)變量的主要數(shù)字特征,。權(quán)數(shù)的分配具有一定的規(guī)律,，服從一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布。在離散情形……
4,、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是“歸納”科學(xué),，不是演繹科學(xué)
與演繹推理相反，歸納推理是由總結(jié)若干個(gè)別事例而做出的一般性結(jié)論,。例如你與某人打過(guò)若干次交道,，發(fā)現(xiàn)他與你共事時(shí)按正道行事，于是你做出他“為人正直”的結(jié)論,。這是你歸納若干事例（可解釋為觀察或試驗(yàn)結(jié)果）而引申的結(jié)論,，它在邏輯上并非無(wú)懈可擊（且實(shí)際上也未必盡然）。
數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是“由部分推斷整體”——你并不了解全部情況,，是一種“合情推理”,。屬于歸納性的結(jié)論，在許多情況下,，觀察或試驗(yàn)結(jié)果受到偶然性因素的影響而帶來(lái)一些不定因素,。統(tǒng)計(jì)方法的作用，正是根據(jù)部分?jǐn)?shù)據(jù),，幫助人們做出盡可能正確（在數(shù)據(jù)所提供的信息的限度內(nèi)）的歸納,。因此，統(tǒng)計(jì)性的推理是一種歸納性推理,。
應(yīng)當(dāng)指出的是,，統(tǒng)計(jì)規(guī)律未必蘊(yùn)含因果關(guān)系。這一點(diǎn),，是統(tǒng)計(jì)方法的本性而非其缺陷,。統(tǒng)計(jì)方法作為一種研究問(wèn)題的工具，通過(guò)數(shù)量上的分析揭示表面關(guān)聯(lián)的存在,，起著指示學(xué)科研究的方向的作用,。至于是否具有內(nèi)在的因果關(guān)系，需要各個(gè)學(xué)科自己去研究,。但是,，現(xiàn)在，用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行預(yù)測(cè),，就像演繹推理一樣地進(jìn)行,，是一個(gè)重大的錯(cuò)誤。
《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》里有一篇文章談到發(fā)展趨勢(shì),。教學(xué)設(shè)計(jì)得很好,，具有現(xiàn)實(shí)意義,，增加小學(xué)生的思考能力。但是有一個(gè)重大缺陷,，是把話說(shuō)得過(guò)“死”,，似乎發(fā)展趨勢(shì)就一定會(huì)“繼續(xù)下去”，把統(tǒng)計(jì)方法得出的結(jié)論絕對(duì)化,，會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo),。
例一、跳繩次數(shù),。一個(gè)不穩(wěn)定,，一個(gè)的發(fā)展趨勢(shì)不斷向上。于是,，選擇不斷向上的同學(xué)作選手,，這是片面的結(jié)論。不穩(wěn)定但是成績(jī)好,，不斷向上但絕對(duì)成績(jī)差,，上升空間有限怎么辦？所以,，選拔要把選手的最高跳繩成績(jī)放在第一位,，其次考慮穩(wěn)定性。
例二,、隨年齡增長(zhǎng)的體重曲線與標(biāo)準(zhǔn)體重曲線比較,，說(shuō)某同學(xué)體重超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)體重要減肥。“超多少”算超重,？有一個(gè)誤差范圍?；\統(tǒng)地說(shuō),，也不科學(xué)。
例三,、中國(guó)奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù),，從洛杉磯（1984）到雅典（2004），金牌數(shù)一路增長(zhǎng),，預(yù)測(cè)北京奧運(yùn)會(huì)時(shí)金牌數(shù)增長(zhǎng),，猜對(duì)了。但是倫敦奧運(yùn)會(huì)還會(huì)增長(zhǎng),？永遠(yuǎn)增長(zhǎng),？
總之，用數(shù)據(jù)預(yù)測(cè),，是一種估計(jì),，可能符合增長(zhǎng)趨勢(shì),，也可能預(yù)測(cè)不準(zhǔn)，不能把預(yù)測(cè)當(dāng)作絕對(duì)正確的結(jié)論,。
四,、教材中存在問(wèn)題的評(píng)述
教材中的問(wèn)題類型很多，歸納起來(lái),，有以下一些,。
1．關(guān)于“分類與統(tǒng)計(jì)”
一年級(jí)數(shù)學(xué)從“分類”開(kāi)始學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)，是很自然的,。但是,，其中的問(wèn)題不少。
1.1分類與統(tǒng)計(jì)要有目的性
一般說(shuō)來(lái),，分類是為了使事物具有秩序,，分類是為了更深入地了解總體。進(jìn)行統(tǒng)計(jì)則是要根據(jù)數(shù)量上的結(jié)果做出決策,，指導(dǎo)行動(dòng),。總之,，不能為分類而分類,，為統(tǒng)計(jì)而統(tǒng)計(jì)。
●目的明確的案例：
※整理玩具,，整理“圖書(shū)角”里的書(shū),，使它們有秩序，便于管理,；
※統(tǒng)計(jì)在一堆水果中哪種最多,，哪種最少；
※統(tǒng)計(jì)喜歡各種水果的人數(shù),，為明天到公園活動(dòng)做參考,。
●目的不明確的案例：
※統(tǒng)計(jì)“換了幾顆牙”作為主題引入，很有新意,。但是統(tǒng)計(jì)出來(lái)做什么用呢,？換得早好？快好,？目的性應(yīng)該更加明確,；
※一年級(jí)學(xué)生統(tǒng)計(jì)穿的鞋子的尺碼，學(xué)生了解也沒(méi)有用處,。這只有班級(jí)為每人訂購(gòu)一雙鞋子時(shí)才需要,。賣鞋的老板可能也需要；
※去年收到賀卡的數(shù)目,。究竟是多好,，還是少比較好,？問(wèn)這個(gè)問(wèn)題的目的是什么呢？
●有些情景設(shè)計(jì)的目標(biāo)不妥當(dāng),。例如設(shè)計(jì)學(xué)校借書(shū)的種類,，結(jié)果是喜歡“漫畫”的多，喜歡“文學(xué)”的最少,，于是建議圖書(shū)館多賣一些“漫畫書(shū)”,。這就不大妥當(dāng)。不喜歡文學(xué)書(shū),，恐怕需要多作介紹宣傳,，而不一定是少買。
●精心設(shè)計(jì)情景的目的性,。有些教材單純統(tǒng)計(jì)“生日的月份”,，這也沒(méi)什么意思。為什么問(wèn)生日在哪一月,？哪一天,？沒(méi)有目的性。不過(guò),，如果我們?cè)O(shè)計(jì)一下,，就會(huì)有目的了。
學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)”之后,，對(duì)古典概率可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)和計(jì)算,。此時(shí)概率才能定量分析,，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值。
教材未給答案,。其實(shí)，這是無(wú)法回答的問(wèn)題,。如果用外推的方法,，則要基于回歸方法，但是三個(gè)數(shù)據(jù)不能形成回歸直線,。
這也是不可以的。班級(jí)人數(shù)很少,，作為樣推算同齡人的出生月份,，樣本太小。實(shí)際上,，出生月份一般是隨機(jī)的,，無(wú)法測(cè)知。
