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第二講
上一場我們給老師們拋出了這么個問題，“統(tǒng)計與概率”你覺得最重要的核心詞是什么,？實際上,，我們認為統(tǒng)計與概率中最核心有兩個詞：統(tǒng)計觀念（又叫做數(shù)據(jù)分析觀念）、隨機觀念,。那么為什么把這兩個詞作為核心詞呢,？首先我們從什么是統(tǒng)計，統(tǒng)計中最核心的目標來談起,。
一,、統(tǒng)計
（一）統(tǒng)計的內(nèi)涵
1.統(tǒng)計的定義
這里引用不列顛百科全書對統(tǒng)計學的一個定義：統(tǒng)計學是關于收集和分析數(shù)據(jù)的科學和藝術。
（1）數(shù)據(jù)
數(shù)據(jù)跟數(shù)的非常重要的區(qū)別是它有背景,，所以這也可以理解為什么把“統(tǒng)計與概率”從過去數(shù)的一個單元單獨拿出來,，成為一個獨立的學習領域。人們往往從一堆有實際背景的數(shù)中獲取信息,。
（2）收集和分析數(shù)據(jù)
收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)是非常重要的,。
（3）科學和藝術
統(tǒng)計既是一門科學，有自己的一些數(shù)學方法,；但是它又是一個藝術,，也就是說要根據(jù)實際的背景，選擇不同的方法,。
2.統(tǒng)計觀念（數(shù)據(jù)分析觀念）
這里想到了上一場張思明老師的描述：數(shù)據(jù)中是有信息的,、信息是可以提取的、信息是為人們服務的,。他的話實際上對我們理解什么是數(shù)據(jù)分析觀念,，提供了一個方面思考。
《標準》中提出,，統(tǒng)計觀念主要表現(xiàn)在以下的這么幾個方面：認識到統(tǒng)計對決策的作用,，能從統(tǒng)計的角度思考與數(shù)據(jù)有關的問題；通過收集數(shù)據(jù),、描述數(shù)據(jù),、分析數(shù)據(jù)的過程，作出合理的決策,；能對數(shù)據(jù)的來源,、收集和描述數(shù)據(jù)的方法、由數(shù)據(jù)得到的結論進行合理的質疑,。
從上面可以看到,，在小學階段對學生來說統(tǒng)計觀念（數(shù)據(jù)分析的觀念）是非常重要的，所以把它作為統(tǒng)計教學的一個核心詞,。具體來說,，統(tǒng)計觀念（數(shù)據(jù)分析）的觀念包括以下幾個方面：
（1）數(shù)據(jù)的意識。能想到用數(shù)據(jù)來處理問題,。實際上用數(shù)據(jù)來進行推斷是一種重要的思維方式,。
（2）體會數(shù)據(jù)中是蘊含著信息的。所以我們要經(jīng)歷收集數(shù)據(jù),、描述數(shù)據(jù),、分析數(shù)據(jù)的過程，即數(shù)據(jù)處理的過程,，把信息提取出來,。
（3）根據(jù)背景來選擇合適的方法。就是剛才所說的藝術,，它跟我們原來學到的有些數(shù)學不大一樣,，比如數(shù)的運算的結果就是對和錯，而數(shù)據(jù)往往沒有一個嚴格意義上對和錯,，不是說這堆數(shù)據(jù)中一定要用平均數(shù)刻畫就對了,。
3.回顧“平均數(shù)”一課
回顧上一場我們討論的那個案例,，在平均數(shù)的引入中學生出現(xiàn)了好多做法：
比較總數(shù)、一個一個比,、比最高的,、去掉一個增加一個、平均數(shù)等,，并提出了若干問題與大家進行交流,。那么，我們今天再對這個案例進行討論,。
關于這個案例,，我也請教了張思明老師和前面提到的史寧中校長，我覺得他們的回答也會給我們一些啟發(fā),。對于張思明老師的做法,，他比較開放，不但讓學生把這些方法想出來,，而且讓孩子把各種方法的結果都求出來,，并討論這些方法分別適用哪些實際問題，也就是針對具體情境了,。不是說平均數(shù)就一定是最好的,，比如說，他舉了這么個例子,，如果孩子認為我的方法是求最大數(shù),，那在什么地方有需要。他可能說我們的比賽規(guī)則是比成績最高的,，什么叫兩組好就是誰的成績最高的話,，那么他這個方法在這個時候就是有效的。
史寧中校長的做法更有意思,，他說開始不會讓學生馬上討論到底用什么數(shù)來刻劃,，而是討論“好”的標準（用什么來衡量那個組好），因為老師問的問題就是你覺得兩組的成績誰的更好一些,，就首先要討論對好的理解,。然后是根據(jù)對“好”的標準，來選擇不同的方法,，如果大家討論出來好就是一個組中誰的成績,，那么，第一個孩子的方法就是合理的,。如果“好”的標準是大家整體的水平好,，那平均數(shù)就會是一個好的方法。
這兩個老師給我們傳遞了一個共同的理念，就是剛才提到的在數(shù)據(jù)分析觀念中,，有一條是非常重要的,，就是沒有絕對意義上的對和錯，而是有一個相對意義上的誰更合理一些,，包括平均數(shù),，它可能在刻劃某一類問題中，是比較合理的,，但是，在刻劃另外一種問題的時候不一定是合理的,。所以還是回到我們前面提到的問題：這個時間值不值,？如果您覺得我這節(jié)課就是在講計算平均數(shù)，我想教師的直接講授就是一個好的方法,。如果您覺得我這節(jié)課在講對平均數(shù)的理解,，那么就要有實際背景，但也不需要花那節(jié)課那么長的時間,。但是,，如果您覺得平均數(shù)的教學是放在整個統(tǒng)計教學中，是培養(yǎng)學生們一種數(shù)據(jù)分析的觀念,，或者說有了一組數(shù)據(jù)以后,，應該根據(jù)不同的問題去刻劃它，那么這個討論就是非常有價值的,。顯然我們認為首先是在學習統(tǒng)計,，是在實現(xiàn)刻畫數(shù)據(jù)的目標。
老師可能又說了,，那么,，平均數(shù)的價值又是什么呢？其實,，在上面的教學案例中,，一個一個比的方法并不公平。仔細思考,，人數(shù)現(xiàn)在差一個還不是很明顯,，假如差的很多的話，舉一個極端的例子,，拿一個班和一個組比較,，一個班那個最高的選擇的余地的就比我一個組的要大，等于是把你們班的最好的,，跟我一個小組的最好的相比,，當然也不公平。而平均數(shù)是把所有的信息都利用了，所以我們看到的平均數(shù)的第一個好處就是它能夠利用數(shù)據(jù)的所有的信息,。
平均數(shù)另外一個好處是計算起來比較簡單,，有的老師可能覺得挺麻煩的，但是,，針對于信息技術來說,，算起來很容易。
另外,，從數(shù)學角度來說,，任何一個數(shù)都可以代替一組數(shù)據(jù)，但是這個數(shù)不一定代替的好,。好不好,，其中一個標準就是希望所有的數(shù)據(jù)跟這個數(shù)相差的平方的和不要太大，而平均數(shù)是使所有的數(shù)據(jù)跟它的方差最小的,。當然老師們可能對方差的概念不熟悉,，我們不用去理會它。在數(shù)學上,，從方差這個意義上來衡量平均數(shù)是好的,，但是你如果不拿方差作為衡量，可能中位數(shù)就會是最好的,。所以從這個意義上來說,，學習平均數(shù)是非常重要的一件事情，因此張思明老師說,，你看計算器上為什么都有平均數(shù)啊,，就是因為它確實還是比較普遍使用的一個統(tǒng)計量。
（二）《標準》和實驗教材中對于統(tǒng)計部分的要求
在《標準》中把統(tǒng)計學習,，定位在重要的是讓學生經(jīng)歷統(tǒng)計的過程,。統(tǒng)計的過程就是：提出問題，有了問題以后要收集數(shù)據(jù),，有了數(shù)據(jù)以后要去整理,、描述數(shù)據(jù)，描述完了要去分析數(shù)據(jù),，最后做出決策這樣的一個過程?，F(xiàn)在的實驗教材在這一點上做的都是非常好的，總是使學生通過一個實際問題,，來經(jīng)歷這樣一個過程,。看了幾套實驗教材,，都是從一年級就開始滲透統(tǒng)計的思想,、統(tǒng)計的過程,，也說明了大家都非常重視統(tǒng)計的教學。
1.在提出問題這一環(huán)節(jié),，在小學階段,，大部分的教材或者都采取由老師或者由教材來提出問題，比如說“咱們班要舉行聯(lián)歡會了,，買什么水果”,。學生通過討論發(fā)現(xiàn)，我要統(tǒng)計,，那么統(tǒng)計什么呢,？一般教材就會引導學生統(tǒng)計，你們班同學最喜歡吃的水果是什么,。隨著年齡的增加,，到了高年級，老師們可以讓學生自己去思考,，要解決什么樣的問題,、要收集什么樣的數(shù)據(jù),。
2.在收集數(shù)據(jù)中,，幾套教材都是從這么幾個角度來做的。一個就是調查,，一個就是做實驗,，一個就是查找資料。那么查找資料既包括自己去查找資料,，也包括去詢問他人,。《標準》也提出,，對這幾個方法在小學階段都要有所體驗,。
3.整理并描述數(shù)據(jù)主要是兩部分。
一部分是分類,，對于分類一般教材都是在一年級就開始引入,。很多老師就提出這樣的問題：分類好像是整理書包、整理房間,，跟統(tǒng)計有什么關系,？實際上分類是我們整理數(shù)據(jù)的開始。當我們面對一大堆很雜亂無章的數(shù)據(jù)的時候,，很自然的想法就是分分堆,，如喜歡這個的放一堆、喜歡那個的放一堆,，實際上就是分類,。
另外一部分就是統(tǒng)計圖表的學習。這個部分在教材處理中有所不同，但是有它的共性,。比如說對于統(tǒng)計表的學習,，有的教材出現(xiàn)了單式的統(tǒng)計表，有的出現(xiàn)二聯(lián)（實際上就是復式統(tǒng)計表）,。但是,，都是強調鼓勵學生能從統(tǒng)計表中獲取信息。
對于統(tǒng)計圖的學習,，《標準》分兩段：1-3年級就是第一學段,，主要是象形統(tǒng)計圖、一格代表一個單位的條形統(tǒng)計圖,。各個教材在這里設計了很多統(tǒng)計活動鼓勵學生學習,。到了第二學段，就要學習折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,，進行統(tǒng)計圖的比較,，另外，還要學習復式折線統(tǒng)計圖和復式條形統(tǒng)計圖,。對于扇形統(tǒng)計圖,，《標準》只要求學生會閱讀，不要求學生自己去獨立制作,。
4.對于分析數(shù)據(jù),，實際在教學中有兩部分。一部分是統(tǒng)計量的學習,。小學階段只要求學習刻畫平均水平的統(tǒng)計量,，就是平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù),。一般教材的處理就是按照《標準》,，在第一學段三年級引入了平均數(shù)，到了第二學段就是五年級左右引入了中位數(shù)和眾數(shù),，并且要求學生能夠解釋這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的意義是什么,、中位數(shù)是什么意思、眾數(shù)是什么意思,。
還有一部分就是分析統(tǒng)計圖所帶來的信息,。《標準》和教材中并沒有明確的說,，從哪幾個角度來分析,。一般來說，對于象形和條形統(tǒng)計圖一般教材都比較關注數(shù)據(jù)的比較,、最多最少,。學了倍數(shù)以后就比較倍數(shù),，高年級就比較誰是誰的百分之幾、誰是誰的幾分之幾,，討論合計,，然后，還會討論一些通過這些數(shù)據(jù)你能獲得什么,。到了中年級,，學了一格代表多個單位的時候，還要鼓勵學生去觀察縱軸上一格代表的到底是幾個單位,。對于折線統(tǒng)計圖,，一般對變化趨勢進行分析：什么時候增加、什么時候減少,，什么時候增加的快,、什么時候減少的慢，通過這個變化可以進行預測,。對于扇形統(tǒng)計圖,，主要是通過部分占總體的百分比來分析，另外也鼓勵學生通過閱讀統(tǒng)計圖來解決一些問題,。
對于《標準》以及實驗教材的脈絡,，雖然我們分析出各個學段的不同，但是老師們還會感覺到挺不容易分清楚的,。對這個問題,，我們是這么思考的,。
（1）確實需要實驗教材的編寫者也好,、我們的教師也好，再進一步去研究這個問題,。因為對這部分研究的是不多的,，到底在不同年級，統(tǒng)計學習的側重點有什么不同,。我們共同來努力,，所以，提出一個校內(nèi)研究的課題,，如果您對這個感興趣的話,，你們學校可以來研究,。比如說對于讀圖,，我們從低年級讀圖到中高年級的讀圖，會是什么樣的一個發(fā)展,。下面我們還會討論這個問題,。
（2）我們可能還要思考,，確實統(tǒng)計跟計算教學不大一樣，因為統(tǒng)計教學的最主要的目的是培養(yǎng)學生的一種觀念,。培養(yǎng)學生的統(tǒng)計觀念,，就需要大量的活動，老師們能體會到一種觀念的建立靠講是不行的,，你要有數(shù)據(jù)意識,，你就得真的經(jīng)歷這個數(shù)據(jù)統(tǒng)計的過程。那么,，活動,，有的時候就很難分清楚一年級必須活動什么、二年級必須活動什么,、三年級必須活動什么,。所以老師們就覺得重復，一年級統(tǒng)計了水果,，二年級統(tǒng)計課外活動,，三年級統(tǒng)計的是全班的飲水量，好像沒有什么區(qū)別,。所以,，提出這么一個想法，就是老師們總希望在這一節(jié)課中,，除了一些很基本的問題,，對一些問題根據(jù)學生的情況進行適當?shù)募由罾斫猓矣X得這是可以的,。但是,，我們一定要思考，對一個問題加深理解,，除了知識的增加以外,，可能更重要的是一種思想、一種觀念的加深,。就是我們不一定非要追求學生會了一個代表一個單位的統(tǒng)計圖,，就馬上引入一格代表多個單位的條形統(tǒng)計圖。而是,，從數(shù)據(jù)觀念的角度鼓勵學生思考更進一步的問題,。比如，我們可以鼓勵學生進一步思考,，這些數(shù)據(jù)還能幫助我們解決什么問題,。除了解決剛才討論的身高問題，是不是還可以解決其他的問題,？即從思想,，以及數(shù)學與生活的聯(lián)系上去加深學生的理解,。所以，加深,，絕對不僅僅是學更多的知識,，可以從統(tǒng)計與實際問題的聯(lián)系、統(tǒng)計的價值,、統(tǒng)計的思想,、統(tǒng)計的意識去加深。
（三）對統(tǒng)計教學的建議
1.一定要把數(shù)據(jù)意識或者說是統(tǒng)計意識的培養(yǎng),，作為我們小學教學中最重要的一個目標
關鍵要培養(yǎng)學生能想到用數(shù)據(jù)來處理問題,。要發(fā)展學生的統(tǒng)計意識最主要的方式就是讓學生體會到統(tǒng)計是有用的，數(shù)據(jù)是有信息的,，也就是說統(tǒng)計能夠幫助人們來做出決策,，能夠幫助人們來了解一些情況。怎么來發(fā)展學生的統(tǒng)計意識,，我們提一些建議：
（1）設計問題使學生體會到我們需要來收集數(shù)據(jù),，也就是數(shù)據(jù)是有作用的。比如前面我們看到的安華老師的教學,，我覺得這點處理的挺好的,。安華老師的一年級的教學，不是馬上就進行統(tǒng)計圖的教學,，而是提出這樣的問題,，只能播放一部動畫片，我們怎么辦,？學生就想到了,，不能光靠我自己的喜好，所以我們需要來收集一些數(shù)據(jù),。這就是對學生統(tǒng)計意識的培養(yǎng),。這樣的例子老師們都有很多很多,，就是鼓勵學生意識到需要來收集數(shù)據(jù),。
（2）分析數(shù)據(jù)能幫助我們做什么?？梢栽跀?shù)據(jù)都已經(jīng)分析完了以后,，有一個反思的過程，就是這些數(shù)據(jù)除了能幫助我們解決剛才提到的問題以外,，還能夠幫助我們解決什么問題,？下面提供了一個案例。
【案例1】老師組織大家調查班級同學的身高情況,，把數(shù)據(jù)調查出來以后,，進行了分析,。最后老師問同學：看到這些身高的數(shù)據(jù)，它們能幫助我們解決什么問題,。
生1：我可以了解到我們班同學的身高情況,。我可以知道我自己的身高在班內(nèi)處于什么情況。
生2：我們班有8歲的有9歲的,，我今年8歲,，看到9歲同學的身高我可以先預測一下我到9歲時的身高大概多高。
生3：學?？梢愿鶕?jù)我們班的身高情況確定我們課桌椅的高度,。
我覺得這個案例是挺新穎的，就是數(shù)據(jù)收集完了以后有一個討論,，我們除了分析誰高誰矮以外,，這些數(shù)據(jù)能幫我們干點什么事？所以有的學生想到,，從自己角度能幫助自己預測身高,，還有的同學想到我們的桌椅一年級就低一些，到了高年級就高一些,，是不是會跟身高的數(shù)據(jù)有關系,。
（3）老師們可以指導學生積累一些統(tǒng)計應用的例子。無論是教材中的例子也好,，還是在生活中遇到的例子也好,，學生積累起來，他能看到原來統(tǒng)計能幫人們干這么多事,。無論是買什么水果也好,、看什么動畫片也好、還是設計桌椅也好,，都可以用統(tǒng)計,。
（4）我們必須要認識到統(tǒng)計意識的培養(yǎng)，絕對不能僅僅靠課堂教學,。因為它跟實際生活聯(lián)系太緊密了,，課堂教學中往往很難完全的展示一個統(tǒng)計的過程，所以老師可以適當?shù)拈_展一些實踐活動,，將課內(nèi)外結合起來,。
2．在教學中一定要有意識的收集學生感興趣的問題
就像有的老師在前頭所提到的，看起來統(tǒng)計處處有用,，但是我們的教學素材很貧乏,，所以學生們不感興趣。針對這個問題,，我們也想提一些建議,。
（1）就是要關注媒體,。因為媒體中這么多人，幫助你來收集數(shù)據(jù),，比如,，記者會從方方面面來收集一些大家感興趣的問題，我們從中可以找一些適合于我們學生的,。
（2）現(xiàn)在商場各個地方都會設計一些摸獎的一些游戲,，我們可以把它做一些適當?shù)母膭樱M入到我們的小學教學,。當然教師要引導學生對此有正確認識,。
（3）我覺得還有一點是非常重要的，就是適當?shù)淖鲆恍┱{研,。有時候我們成人認為學生感興趣的,，不一定是學生真正感興趣的，而且,，這些學生感興趣的,，不一定是那些學生感興趣的。海淀的五一小學曾經(jīng)做了一次調研,，他們調查了各個年級的,，下面是一年級的：
案例：設計了8個統(tǒng)計實際活動的例子：
1）統(tǒng)計爸爸一周開車次數(shù)；
2）統(tǒng)計保安敬禮次數(shù),；
3）統(tǒng)計每天寫作業(yè)時,；
4）統(tǒng)計作業(yè)本小印章數(shù)量；
5）統(tǒng)計家里一周扔幾個塑料袋,；
6）統(tǒng)計放學后戶外活動時間,；
7）統(tǒng)計一年級同學掉牙情況；
8）統(tǒng)計最愛收看的電視節(jié)目,。
調查了一年級的五個班和二年級的四個班一共360個學生,。請找出自己最感興趣的活動。
結果最感興趣的是收看的電視節(jié)目,，360人中260人選了,，相當大的數(shù)量了。第二個是統(tǒng)計小印章的數(shù)量,。第三個是統(tǒng)計爸爸一周開車次數(shù),。這個調查就給我們教學帶來了一些思考和啟發(fā)。比如說最愛收看的電視節(jié)目,，那我們就可以在這上面去做一些文章，可以統(tǒng)計到底最愛收看什么樣的電視節(jié)目,，然后還可以適當?shù)膯枂枌W生,，你為什么喜歡收看這樣的電視節(jié)目,。當然，老師有時候還可以再做一些引導,，鼓勵學生多收看一些豐富多彩的電視節(jié)目,。當然，這個調查是針對五一小學的,，換一個學校也許并不一樣,。總之,，了解學生總是為我們進行教學提供了一個非常好的依據(jù),。這是對統(tǒng)計教學的第二個建議，就是要真正的了解學生,，選擇學生感興趣的素材,。
3．鼓勵學生討論如何收集數(shù)據(jù)
老師們要意識到數(shù)據(jù)有兩部分，一部分是現(xiàn)成的數(shù)據(jù),，一部分是需要自己調查的數(shù)據(jù),。在小學階段兩個內(nèi)容應該讓孩子都有所體驗。有些東西需要我們自己來調查數(shù)據(jù),，那么常用的收集數(shù)據(jù)方法有哪些呢,？包括調查，包括做一個實驗,，包括去閱讀資料,，還可以去問問他人等等。學生應該對收集數(shù)據(jù)的方法都有比較豐富的體驗,，并且根據(jù)問題的需要來選擇合適的方式來獲取數(shù)據(jù),。
各種各樣的研究都表明，在計劃到底如何來收集數(shù)據(jù)上花時間是非常值得的,。什么叫在計劃如何在收集數(shù)據(jù)上花時間,？在低年級可以討論，假設我們要調查最喜歡的節(jié)目,，怎么來收集數(shù)據(jù),。那么到了一定年齡，可以再討論,，我要回答這個問題,，需要收集哪些數(shù)據(jù)？并不是已經(jīng)告訴你需要收集這個數(shù)據(jù),。
所以,，對收集數(shù)據(jù)的討論，既包括要收集什么樣的數(shù)據(jù)，也包括采用什么樣的方法收集,。讓我們回顧前面已經(jīng)提到的安華老師統(tǒng)計圖教學的這個案例,。安華老師的課最大的不同，就是學生舉手出錯了以后,，不是說把數(shù)據(jù)改改就完了,，而是讓學生討論怎么辦。這個問題是關鍵,，實際上就是組織學生來討論如何來更好的收集數(shù)據(jù),。就是剛才說的在收集數(shù)據(jù)的方法上進行討論。
所以,，這個過程雖然長,，但是非常值得的。為什么它值得呢,？就是在信息技術發(fā)達的今天,，對我們的學習提出了很多的思考，就是技術能做的,，也許就沒有原來那么重要了,。比如說去畫統(tǒng)計圖，求很復雜的平均數(shù),。當然,，不是說它現(xiàn)在就不重要了，但是,，確實沒有必要再花很長的時間,，讓學生去畫很復雜的數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖，或者是計算復雜數(shù)據(jù)的平均數(shù)了,。那什么是技術不能做的呢,？就是這組數(shù)據(jù)是怎么來的，怎么來合理的收集數(shù)據(jù),，以及數(shù)據(jù)來了以后,，我們怎么去分析數(shù)據(jù)。這些是技術不能做的,。還是那句話,，我們不僅要培養(yǎng)技術能做的事情，更重要的是培養(yǎng)學生做技術不能做的事情,，或者至少兩者應該差不多,。所以，我覺得再回答前面提到的問題,，統(tǒng)計圖的學習除了制圖,、識圖以外,，還有一個非常重要的，就是把它放在統(tǒng)計教學這個角度上來說,，我們應該在收集數(shù)據(jù)的過程中下功夫,，我們應該在統(tǒng)計圖有了以后怎么分析數(shù)據(jù),、做出決策中下功夫,。當然對于低年級，并不一定非要討論哪個最好,、哪個不好,，但是，讓他有個意識是非常重要的,。里我再舉一個大家比較熟悉的案例,，是美國的數(shù)學教師雜志向全美中小學數(shù)學教師推薦的一節(jié)數(shù)學課。
【案例2】題目很有意思,，為什么有的人跑得快,，有人跑得慢？有的孩子很有意思,，說誰個子高誰就跑得快,。有的孩子就產(chǎn)生懷疑，說不行,，我們倆個子一般高,，他比我快。那怎么辦,？有的孩子說,，可能是跟步頻有關。有的學生就說了,，需要分是短跑還是長跑,。那么，是不是跟步距,、步頻有關系,。怎么來說明這個問題呢？學生就要收集數(shù)據(jù),，所以這個過程進入到收集數(shù)據(jù),。
老師沒有就組織學生收集數(shù)據(jù)，而是引起討論,，怎么來收集數(shù)據(jù)呢,？要收集什么樣的數(shù)據(jù)呢？假設說我們研究短跑,，他們就很自然的想到了奧運會的實況,，選擇了1984年的洛杉磯奧運會的100米實況,。那現(xiàn)在又有一個問題，如何收集步距和步頻呢,？步距是一步的距離,，那怎么測量？如何記錄步頻,？最后學生討論,，步數(shù)我通過放慢動作是能夠數(shù)出來的，有了步數(shù),、時間,，距離都是100米，那么平均的步長就出來了,，頻率也就出來了,。下面，當然他們?nèi)ナ占?，最后發(fā)現(xiàn),，跑的最快那個人，既不是步頻最高的那個人,，就是步長最大的人,，而是步長和步頻都比較高的這個人。
4．鼓勵學生用多種手段整理和描述數(shù)據(jù)
整理和分析數(shù)據(jù)主要是兩個方式,。一個是分類,，一個是統(tǒng)計圖表。
前面已經(jīng)說過,，分類是整理數(shù)據(jù)的開始,。當我們調查了一大堆數(shù)據(jù)以后，看起來很雜亂,，很自然的想法是把它分分類,。當然怎么分類，是根據(jù)你的標準了,。老師們一定要重視分類的教學,，除了教材上提供了很多、很好的素材以外,，我覺得還可以討論一些開放性的問題,。比如說將我們班的同學分成兩類，當然不要說分好同學,、壞同學,，比如說分男同學、女同學,；戴眼鏡不戴眼鏡,；個子高個子矮的,，給個標準高于多少就算個子高了，低于的就算矮的,。還有很多分類的方式,，比如說離家距離100米之內(nèi)的，離家距離100米之外的,。這樣既是對分類的一種學習,，而且能幫助學生樹立一個意識，將來在調查我們班同學的時候,，到底怎么來分組,，根據(jù)目標有的時候需要男女來分開,，有的時候需要根據(jù)身高來分開,。
對于統(tǒng)計圖表的學習，老師們都已經(jīng)有了很多經(jīng)驗,，就簡單說一說,。一個就是不要急于的引入常規(guī)的統(tǒng)計圖表，而是鼓勵學生用自己的方式來描述數(shù)據(jù),。早期經(jīng)驗的多樣化,，有助于兒童建立樂意創(chuàng)造常規(guī)圖表的興趣，也是一個基礎,。我覺得這一點是非常重要的,。第二，就是讓學生體會到引入統(tǒng)計圖表的必要性,。比如說要引入條形統(tǒng)計圖了,，很自然原來是一個一個實物往上貼，當然不能每次都一個一個貼,，這個時候學生想到用一個符號來表示,，可能自然用小方塊來表示，就出現(xiàn)了條形統(tǒng)計圖,。還有一個就是折線統(tǒng)計圖,，就是條形統(tǒng)計圖已經(jīng)能夠刻劃這個大致情況了，但是描述變化情況的時候還不夠明顯,，我們需要折線統(tǒng)計圖等等,。第三，就是在描述數(shù)據(jù)的過程中,，使學生不斷體會各種統(tǒng)計圖的特點,，然后，能根據(jù)實際問題選擇合適的統(tǒng)計圖來描述數(shù)據(jù),。第四,，教學中能從媒體中找到一些數(shù)據(jù),，讓學生去讀懂媒體中的統(tǒng)計圖。
5．鼓勵學生分析數(shù)據(jù),，從中獲取信息
我們從兩個部分來討論,，一個是統(tǒng)計量，一個就是關于從統(tǒng)計圖表中來分析數(shù)據(jù),。
（1）統(tǒng)計量
在小學階段要求的是平均數(shù),、中位數(shù)和眾數(shù)三個刻劃平均水平的量。平均數(shù),、中位數(shù)和眾數(shù)它們?nèi)吒髯缘奶攸c到底是什么,？其實在前面也已經(jīng)說過平均數(shù)的一個非常好的優(yōu)點，就是它能夠利用所有數(shù)據(jù)的特征,，另外就是比較好算,，在數(shù)學中所有數(shù)跟平均數(shù)的方差是最小的，在數(shù)學中它確實是一個非常常用的統(tǒng)計量,。但是平均數(shù)有一個不太好的地方,，正是因為它利用了所有數(shù)據(jù)的信息，容易受極端數(shù)據(jù)的影響,，那么這個時候,，人們就想到了中位數(shù)和眾數(shù)。它們這兩個統(tǒng)計量的特點都是能夠避免極端數(shù)據(jù),，但是中位數(shù)也有它的缺點,，就是它沒有完全的利用數(shù)據(jù)所反映出來的信息。眾數(shù)也是,，眾數(shù)反映的是大多數(shù)人喜歡的東西,。如果大多數(shù)人選的這個東西，跟別的比有大的差異,，那么眾數(shù)才有意義,。如果一堆數(shù)據(jù)中，眾數(shù)的頻數(shù)跟別的就有很少的差異的話,，那么,，這個大多數(shù)就沒有什么太大的意義了。所以從這個意義上,，各個統(tǒng)計量有它各自的特征,，我們需要根據(jù)實際問題來選擇合適的統(tǒng)計量。
老師們可能還需要清楚,，除了需要刻劃平均水平,，還需要來刻劃數(shù)據(jù)的波動情況。同樣都是5,，有的可能是1,、3 ,、5、 7,、 9,，有的可能是4、4.5,、5,、5.5、6的平均數(shù),。那么同樣平均數(shù)是5,，它們的波動情況是不一樣的。這個時候我們怎么來刻劃,？除了要刻劃數(shù)據(jù)的平均水平,，還要刻劃數(shù)據(jù)的波動情況，很自然的想法就是最大值減最小值的極差,，數(shù)學中還有方差,，還有標準差，還有其他的,，我想老師們回去感興趣的話，可以去看看方差,、標準差的含義是什么,。
關于平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的教學,，給老師們提三個教學建議,。
第一，在引入統(tǒng)計量的過程中,，要拉長一定的時間,。就像前面王杰老師那個案例似的，如果你僅僅把定位放在求平均數(shù)上了,，講可能是非常有效的方法,，但是如果你把目標定位在對數(shù)據(jù)的刻劃上，那么這個過程就非常重要了,。在這個過程中學生體會到平均數(shù)并不是唯一合理的答案,，需要根據(jù)不同的背景來選擇合適的統(tǒng)計量。
第二,，就是體會不同統(tǒng)計量的特點,，會解釋結果的實際意義。因為在小學階段讓學生自己去選擇統(tǒng)計量是比較難的,。但是,，要求學生能夠解釋一下在這個問題上平均數(shù)是什么意思,，中位數(shù)是什么意思，眾數(shù)是什么意思,。
第三,，淡化一些繁雜的計算。在第二學段鼓勵學生用計算器來處理復雜的數(shù)據(jù),。
第四,，使學生體會統(tǒng)計量的實際價值。以平均數(shù)為例,，現(xiàn)在老師們都還比較重視引入平均數(shù)的過程,，但是怎么讓學生去體會平均數(shù)的價值，我覺得在這個問題中,，還有可以創(chuàng)造的空間,。
我們還是以王杰的那個教學片斷為例，我們看一看,，當學生討論出來了平均數(shù)以后,，會求了以后，他們是怎么來體會平均數(shù)的價值的,。
【案例3】體會平均數(shù)的意義
1．利用節(jié)約用水信息深入理解平均數(shù)的意義,。
師：我這也有條信息，我們一起看看,。
（1）出示：節(jié)約用水圖,。
師：為么要節(jié)約用水？（根據(jù)學生回答評價學生的節(jié)能意識）那我們來看看我們國家的淡水情況,。
（2）出示：我國淡水資源總量為28000億立方米,，僅次于巴西、俄羅斯和加拿大,，居世界第四位,。
師：找一名同學讀一讀?？吹竭@條信息你有什么感覺,？
（學生：水并不少，世界100多個國家,，我們排第四名,。）
（3）我們再來看看下面這條信息。出示：我國人均水資源只有2300立方米,，在世界上名列第121位,，是全球人均水資源最貧乏的國家之一。
師：請大家靜靜的讀一讀這條信息，你發(fā)現(xiàn)了什么,？
（這里想讓學生通過名次下降或貧乏再次提起對平均數(shù)的理解,。“貧乏”這個詞是什么意思？有那么多水,，怎么用貧乏來形容我們國家了呢,？）
總結：言之有理，看來同學們對平均數(shù)的理解越來越深刻了,，光比總量是不行的,，還要看我們的人均水資源。好,，那對于我們國家來說,，就更應該去節(jié)約用水了。
2.出示：兒童乘車免票線“長個”了的標題,。
師：你知道什么叫兒童乘車免票線嗎,？沒錯，就是這條線,，我們來看看,。
經(jīng)過市發(fā)改委與相關部門研究決定，將北京市六歲以下兒童1.1米乘車免票線提高到了1.2米,。
師：為什么要提高,？
（學生：孩子們都長高了。）
師：我們怎么去確定這個標準的呢,？
（學生：我們可以調查一下,。）
師：調查誰？（這要明確調查六歲兒童的身高,，都調查還是抽樣調查，調查完了怎么辦,？）
總結：我們同學真了不起,，既能準確理解平均數(shù)的意義，又能想到可操作的辦法,。那我們一起看看實際是怎樣做的,。
出示：據(jù)統(tǒng)計，目前我市6歲男童身高的平均值為119.3厘米,，女童身高平均值為118.7厘米,。
師：和你們想的一樣，市發(fā)改委就是參照了我市6歲兒童的平均身高,，才確定了免票線的高度,。
總結：看來，這平均數(shù)的作用真是不小，連確定免票線的高度都可以參照它,。
3. 師： 那你們能利用平均數(shù)解決問題嗎,？幫我判斷一件事情。
出示據(jù)統(tǒng)計,，周一至周五晚高峰時,，平均每小時需要通過中關村一號橋的車輛為1756輛，需要通過西苑橋的車輛965輛,。
通過這條信息你可以知道什么,？王老師回家要走四環(huán)路，這兩條路都可以上四環(huán),，你們覺得我走哪好,？那我走那一定快嗎,？為什么,？
總結：同學們理解的非常到位,，平均數(shù)是可以用來作參考,，但是它反映的只是一般情況,，并不能反映出某種特殊情況,。
看了這個片斷以后,，我不知道老師們有什么想法,？我覺得對我挺有啟發(fā)的,，首先還是三個例子,，但是跟一般的教學不大一樣，那是不是王杰老師你談一談,，你的這個設計時的一些想法,。
王杰：那么對于平均數(shù)價值這個教學，我們也是經(jīng)歷了一個過程,。原來,，我們在進行平均數(shù)意義的教學時，一般就是讓學生來談一談平均數(shù)的價值,，或者,，經(jīng)常給學生一些閱讀材料讓學生談體會，而學生沒有經(jīng)歷,，也就是簡單說一說平均數(shù)并不是實際存在的數(shù),，他只是反映平均水平的數(shù)，學生并不能真正體會到統(tǒng)計量的價值,。所以,，我在教學中是分不同層次給出了三個不同的信息，讓學生在親身經(jīng)歷中理解平均數(shù)的意義,，體會統(tǒng)計量的價值,。比如：
第一個信息：對于節(jié)約用水，我首先問我國為什么要節(jié)約用水，引發(fā)學生思考,，然后出示我國的淡水資源情況,，讓學生體會我國的淡水總量很多，世界排第四位,，最后出示我國的人均水資源情況,。在這個過程中，學生體會到了在水資源這個問題上,，我們光看總量不能說明問題,，還要看人均水資源，從而體會了平均數(shù)的意義和價值,。
第二個信息：兒童乘車免票線問題,。這個環(huán)節(jié)不但能夠讓學生再次體會平均數(shù)的價值，而且通過選擇確定免票線高度的方法,，還可以使學生體會收集數(shù)據(jù)及其方法的重要性,。
第三個信息：車流量問題，學生根據(jù)平均數(shù)車流量,，幫助老師選擇路線并且進行分析,，使學生可以體會到，平均數(shù)是可以用來做參考的,，但它反映的只是一般情況,，并不能反映出某種特殊情況，從而體會平均數(shù)的意義,，體會數(shù)據(jù)的不確定性,。
（2）從統(tǒng)計圖表中獲取信息
分析數(shù)據(jù)的第二個問題，就是能夠從統(tǒng)計圖表中來獲取信息,，這個也是大家普遍困惑的,。有的老師提得很直白，就是說教材老是從一個統(tǒng)計圖中你能獲取哪些信息,？你能提出哪些問題,？老師就把握不好了，到底學生提到什么程度就算對了,。下面我們提一些建議。
第一,，要看一些統(tǒng)計圖中一眼能看見到的信息,，或者是“表面信息”。包括：單個數(shù)據(jù),，數(shù)據(jù)的比較（多少,、倍數(shù)、百分比等），數(shù)據(jù)的整體變化（最大,、最小,、平均情況、變化情況,、偏差,、極端數(shù)據(jù)）。我覺得特別可以鼓勵學生看一看極端數(shù)值,，去思考這個極端的數(shù)據(jù)它說明的是什么,？因為極端數(shù)據(jù)往往可能會反映一種很有意思的現(xiàn)象?；蛘哂袝r候會提醒我們這個極端數(shù)據(jù)的出現(xiàn)是不是在收集數(shù)據(jù)中,，有什么問題導致極端數(shù)據(jù)的出現(xiàn)。
第二,，對統(tǒng)計圖的解釋,。就像張思明老師說的數(shù)據(jù)是含著信息的，你光看見了還要去想它,、去解釋它,、體會它的作用，這時候才能稱之為一種信息,，所以我們要對統(tǒng)計圖進行解釋,，要思考這個統(tǒng)計圖的作用。包括統(tǒng)計圖的名字和圖標,，統(tǒng)計數(shù)據(jù)能否回答開始提出的問題,，能否解決其他問題，能否進行預測,，思考為什么數(shù)據(jù)會呈現(xiàn)這種情況,。
第三，選擇,。就是能夠根據(jù)不同的問題,，來選擇不同的統(tǒng)計圖。
第四,，更進一步的層次,，就是有一個評價的意識。不僅要去閱讀圖,，還要對統(tǒng)計圖中的指標,、收集數(shù)據(jù)的方法、統(tǒng)計圖使用的是否合理,、得出的結論是否有道理等進行一些評價,。
當然,，在小學階段主要是前兩個方面，那么后兩個方面,，可以根據(jù)自己學生的情況,，有意識的加以培養(yǎng)。
為了說明以上的第四點,，就是評價的意識,。我們可以來看一個案例，這個案例也是老師們比較熟悉的案例,，有的地方把它叫做“公說公有理,，婆說婆有理”。
【案例4】 某工廠有5個股東,，100個工人,。工人的工資總額與工廠的股東總利潤見下：
年度 工人工資總額 股東總利潤
1990年 10萬元 5萬元
1991年 12.5萬元 7.5萬元
1992年 15萬元 10萬元
該工廠老板根據(jù)表中數(shù)據(jù)，作出了右圖,，
并聲稱股東和工人“有福共享,、有難同當”，
你如何看待他的說法,？
 觀察上圖,，會發(fā)現(xiàn)工人工資總額91年比90年多了2.5，92年比91年也多了2.5,，所以畫出來按橫坐標是年份,，縱坐標是總額的話它是一條直線。那么股東的總利潤也是每年增加2.5,，也是一條直線,。那么這兩條直線顯然傾斜程度是一樣的，是兩條平行線,，于是,，這個老板就說了，你看我們是有福共享,，有難同當,，咱們增加都是一樣的。其實,，如果又評價意識的話,，學生就會意識到如果僅僅從工資總額的變化來說，可能還不能很好的刻劃,，還需要從各個角度,，比如說，都是增加2.5,，但起點不一樣,；再比如說，還有很自然的想法就是人均情況的比較,。所以你要把這兩個畫出來,，你就會發(fā)現(xiàn)差距太大了。
 左邊這個圖就是看增長的百分比,，顯然股東利潤比工人工資增長的百分比要高,。那么，右邊的畫出人均的情況差別就更大了,，不僅僅增長的情況差別很大,，而且絕對數(shù)上也差別很大。
所以我們再去體會它這個題目就公說公有理,，婆說婆有理,，就是要鼓勵學生要從不同的角度來刻劃同樣一種數(shù)據(jù)。對別人刻劃這個數(shù)據(jù)的方式合理不合理,，要有一種質疑的意識,。當然，對于小學階段,，倒不一定讓學生能夠那么清晰地看出來,，但是他要有一種意識我覺得是非常重要的。
二,、概率
（一）什么是概率
概率是研究隨機現(xiàn)象的一門學科,。隨機現(xiàn)象跟我們其他的現(xiàn)象，或者跟確定性現(xiàn)象有什么不同呢,？
第一,，就是它的不確定性，也就是在相同的條件下做一件事,，可能是這個結果,，也可能是那個結果。舉例說,，擲一枚硬幣,，事先誰也無法預料，到底是正面朝上還是反面朝上,。
第二,，就是要能夠重復做實驗，或者說近似地認為它可以重復做實驗,，不是說所有的不確定性都是用概率來解決的,。那么重復做實驗以后，人們發(fā)現(xiàn)每一次雖然無法確定,，但是重復做實驗中,，它會呈現(xiàn)一種穩(wěn)定性,。
那么，我們就回顧在上一節(jié)討論中,，提到的學生中提到的幾個問題,，現(xiàn)在我們來看，有一些東西我們是容易解決的,，比如說有的學生提到的：我們猜想的是10個硬幣中應該出現(xiàn)5正5反,，結果卻出現(xiàn)了9正1反這樣的極端情況，這是為什么,？現(xiàn)在就很好理解了,，因為它是不確定的，既可以出現(xiàn)9正1反,，甚至也可能會出現(xiàn)0正10反,，當然這種可能性就比較小，這正是不確定性的一種體會,。所以老師在教學中就可以往這方面引導：同樣的做10次,，為什么我們的結果會不一樣。
那么這么不確定,，怎么理解正面朝上的概率是1/2呢,。我們可以通過技術來模擬的一個過程，來體會頻率穩(wěn)定在概率的意思,。首先請老師們先把頻率和概率這兩個概念分清楚,。頻率，是正面朝上的次數(shù)/實驗總次數(shù),，它是不確定的,，因為你每次做的情況不一樣，當然正面朝上的次數(shù)可能不一樣,，再除以總次數(shù),，可能是不一樣的，頻率是可以變化的,。概率是一個確定的值,，有老師喜歡說概率也是不確定的，這是一種混淆,，我想慢慢學習弄清楚就可以了,。
什么叫大量重復實驗頻率穩(wěn)定在概率，并不是說我做了一萬次以后,，統(tǒng)計那時候的正面朝上的次數(shù)就正好是五千次,，并不是這樣。而是說有這么一個趨勢,，所以老師們在做概率實驗中,，有一個小的誤區(qū),，就是現(xiàn)在也累加，但是就只看最后的結果,。我也很費勁的做了三百次實驗,，算完了以后把最后三百次中的正面朝上和反面朝上拿出來，結果一個160多,，一個130多，好像不是1/2,，覺得差得還挺多,。它不是一定就是1/2，而是說這個趨勢,，老師們看這個圖,，開始的時候波動可能是比較大的，到后來也有波動大的情況但是非常少了,，它逐步就穩(wěn)定在這樣的一種情況,，即正面朝上的頻率穩(wěn)定在1/2。而且并不是實驗次數(shù)越多就一定是越接近,。有一次聽一節(jié)課,，一個小學生說的非常有道理，他也是遇到出現(xiàn)的頻率和概率有所差別的情況,，他說要多做實驗,，如果要多做實驗頻率數(shù)跟我們原來猜想的概率相差得比較大的情況就會非常少。就是這句話,，當大量重復實驗時頻率和概率相差比較大的可能性,，它的極限是等于零的。這個孩子說的這句話,，就是大數(shù)定律,。以后老師們感興趣的可以再學習學習。所以,，對老師們最直接的一個建議就是：你如果要體現(xiàn)這個過程的話,，要把它的趨勢體現(xiàn)出來，就不能只是合計最后的次數(shù),，而是逐步累計,，20、40……,，看頻率的趨勢,。這個過程很復雜了，課堂上沒有那么多的時間畫,，那可能我們就需要用信息技術來幫助我們?nèi)ソ鉀Q這個問題了,。
還可以借助下面的圖體現(xiàn)頻率穩(wěn)定在概率,。首先做了10次實驗，4個小組,，算出頻率為0.5,，0.3，0.6,，0.8,，差距挺大的，畫出來以后好像波動挺大的,，不是0.5（下面的左圖）,。然后，又有一個小組合作以后,，又做了100次實驗,，也是做了四個組，最后發(fā)現(xiàn)確實也有絕對數(shù)上的偏差,，但是頻率一個是0.55,，一個0.51，一個0.48,，一個0.52,這個時候離0.5,，好像波動就沒有那么大了，就開始有穩(wěn)定性了,。
 通過這樣一個例子的剖析,，來幫助我們理解概率。有的老師就會說了,，那你說換一個角度來說,，那么10次中正好出現(xiàn)5次的概率到底大還是不大。我不知道老師們猜想得怎么樣,，反正我調查過老師們的結果,，正好5次正面朝上的概率是0.5猜的老師非常非常多，他把這個1/2和那個1/2混在一起了,。但是有的老師感覺很好,，他說不是那么容易的，可能沒有0.5那么大,。其實,，我們?nèi)绻嬲ビ嬎愕脑挘敲?0次中正好出現(xiàn)5次的概率是25%左右,。
令為擲10次硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù),，那么“擲100次恰出現(xiàn)50次正面”的概率為 。
結果并不是我們想象中的那么大，那么,，怎么來理解1/2,，還有什么意義呢？就是它跟別的相比它是最大的,。你要把這個圖畫出來,，就是中間那個5次（正面朝上的次數(shù)是5）是最大的，6次也不少,，到0次就很好想象就非常小了,。所以，它不是正好5次,，但是你可以這么說,，10次中在5次附近的概率確實是挺大的，就是仍然超過50%了,。這樣一來，就能理解這個1/2還是有意義的,。換句話說,，有時候偏6了，有的時候偏4了,，但是平均下來是5,。
再強調一下，現(xiàn)在概率教學的過程中,，老師們對不確定性的認識是有了,，經(jīng)常鼓勵學生發(fā)現(xiàn)結果是不確定的。但穩(wěn)定性的體驗,，我覺得有時候反而忽略了,。在小學階段，如果要讓學生們體會,，最主要的是不要馬上定位穩(wěn)定在到底哪個數(shù),，而是讓學生體會到它首先會穩(wěn)定，至于穩(wěn)定到多少,，以后再去學習,。
（二）對概率教學的建議
1. 不斷體會隨機現(xiàn)象的特點
如果要講概率的話，這是最大的一個建議,?？渴裁捶绞絹韼椭鷮W生體會隨機現(xiàn)象的特點呢，是不是一定要靠做實驗呢,。還是那句老話,，就是教無定法但是教有定規(guī)。很難說就一定要做實驗，或者一定不做實驗,。但是,，你要想做實驗是為什么，不做實驗是為什么,，絕對不是因為要得到一個分數(shù),，而是因為要讓學生體會隨機現(xiàn)象。所以,，無論你是讓學生自己舉例也好,，還是做實驗讓學生體會也好，還是憑著學生的經(jīng)驗理性去推理也好,，都要去體會隨機現(xiàn)象的特點,。
隨機現(xiàn)象的特點說白了還是兩個事，一個就是不確定性,，一個就是大量重復實驗的時候它的穩(wěn)定性,。老師們可以設計一些活動幫助學生去體會。舉一個例子,，擲兩個色子,，討論的是兩個色子朝上的點數(shù)之和，實際上這是很復雜的一個事情,，如果我們算出來有36種情況,，和是7的可能性是最大的。但是這個問題,，在小學會不會難,。實際上，它不是真讓你去計算,，而是設計了一個游戲,，給你一個橫線，孩子雖然不知道哪一種可能性會大,，但是他知道和最小得到2,，最大能得到12，在橫線下面從2標到12,。給學生15張方的片,，你認為誰出現(xiàn)的可能性會多一些你就往這個數(shù)多壘幾個片。比如這兩個孩子不一樣,，這個孩子就認為中間出現(xiàn)的可能性會大一點,，他中間片多一點。這個小女孩就壘得比較平均,，可能覺得差不多,。游戲規(guī)則就是,，你真的去擲，擲完以后加起來,，如果得到7了,，你就把7上面那個片拿走，如果得到了2,，你就把2上那個片拿走,，誰把所有的片最早拿走，誰就獲勝,。實際上,，學生誰對幾個結果發(fā)生的可能性預測得準確，誰獲勝的概率就大,。當然,，這也有不確定性，但是多做實驗,，有的學生會逐漸地感覺到,，中間出現(xiàn)的可能性確實會大一些，兩邊的可能性會小一些這樣一個過程,。
無論怎么做,，要對不確定性和穩(wěn)定性進行體會，是我們概率教學的一個非常重要的方面,。
2．對于是否做概率實驗的討論
該不該做概率實驗，做概率實驗的價值是什么,？必須明確的一點,，對這個問題，還有很大的爭論,，并不是說我們這一次培訓就能把所有的問題都解決了,，我只是想給大家一些各個方面的理由，讓大家自己來做一個判斷,。
（1）不做,，或者是少做概率實驗的原因
第一，相信學生不用做他完全能夠知道,。第二,，有時做了反而就混亂了。當然還有的數(shù)學家認為,，概率本質上是數(shù)學的東西,，是定義出來的東西，他把這個做實驗歸到統(tǒng)計的范疇,。
（2）做實驗的價值
我們是比較傾向于做概率實驗的,。價值主要有這么幾個理由。
第一，就是實驗是現(xiàn)實生活中獲得對概率或者估計概率的一個很一般的方法,。就像剛才舉的意外死亡率,，現(xiàn)實生活中有大量這樣的問題，需要靠統(tǒng)計頻率來估計概率,。那么,，由于學生對現(xiàn)實世界中比較復雜的實際問題難以體會，所有孩子現(xiàn)在做一些摸色子的可以操作的實驗,?？傆幸惶焖M入到現(xiàn)實生活中去，他要知道實驗是可以幫助我們估計概率的,，那他就會想到這樣一種手段,。如果你不做實驗或者少做實驗，他永遠用理論分析的方法去解決,，一旦遇到這個問題的時候,，他發(fā)現(xiàn)沒有公式，就比較麻煩,。
第二,，很多老師也都提到了，就是不那么顯然的算的結果,，尤其是與經(jīng)驗不符的結果,，學生是不能信服的。
第三,，實驗能幫助澄清學生對隨機現(xiàn)象的錯誤認識,。有的孩子會出現(xiàn)很多錯誤的認識，我覺得這是非常正常的,，我們可以靠實驗來幫助他澄清,。比如說華應龍老師的一個教學片段（二年級對于“確定、可能”的認識）,，在三個紅球,、三個黃球、三個白球的這樣一個盒子中,，當然球都是均勻的,，隨便摸出一個球。事先,，華老師鼓勵學生先猜會摸到什么球,，然后再摸。 做完了以后,，鼓勵學生去反思,，就是你每一次都猜得對嗎,？一個學生提到：“我想應該靠一種規(guī)律，黃的以后就應該是白的了,。”確實學生認識起來有一定的困難,，雖然描述一定可能，對孩子并不是很困難,，但是孩子有誤解,。當然澄清這些誤解，最好的方法就是親自實驗,，那你就再摸一次嗎,。我想可能這一次實驗孩子也許并不能完全的解除他的疑問，但是不斷地做,，他可能對這種誤解會漸漸的減少,，我想這也是做概率實驗的一個理由。
所以,，現(xiàn)在很多優(yōu)秀老師都采取一種,，你先別忙著做實驗，先猜一猜結果,，然后我再去做實驗,，然后我再分析這個實驗結果，這樣一來不斷地幫助學生去澄清一些錯誤,。這是做概率實驗的一些理由,。還是那個想法，你無論是做也好,，還是不做也好,，都要注意對學生的隨機觀念的培養(yǎng)。
3．對做概率實驗的教學的建議
（1）在做實驗之前先猜測,，然后再實驗驗證，幫助學生逐步地建立正確的概率直覺,。同時,，你先讓孩子猜一猜，然后,，把結果寫到黑板上或讓他記在心里,，這樣的話他在做實驗的時候，他特別的有興趣,。
（2）就是在做實驗時,，我們一定要保證隨機性，不要偷看,，同時還要保證球要搖勻,，然后保證數(shù)據(jù)的真實,。有的老師會提前提醒學生，有的老師也較靈活,，學生做實驗的時候出現(xiàn)問題及時提醒孩子,，這樣，孩子可能印象更深一點,。
（3）就是在實驗中,，對數(shù)據(jù)的記錄。有的老師確實是注意對原始數(shù)據(jù)的積累,，但是,，最后出的時候，就光讓孩子算總數(shù),，原始的數(shù)據(jù)記錄不跟孩子展現(xiàn),，這樣的話，就是學生一些錯誤的概率直覺不能及時的得到糾正.
（4）緊接著,，記錄原始數(shù)據(jù)之后跟孩子一起討論,，就像華老師那節(jié)課及時的討論，再做再討論,，然后看看實驗當中到底出現(xiàn)什么樣的問題,。
（5）老師自己做概率實驗是非常重要的。我們概率的備課要不要分分組,，就是每一個年級組,，可以做一點這樣的實驗，真的去扔一扔,。
（6）概率實驗有時候你估計的那個值,，你在做實驗的時候，讓它頻率相對往概率那個地方靠得近的話,，就是做的實驗的次數(shù)要比較多,，但是課堂就40分鐘很難保證，這樣的話可以借鑒信息技術的作用,，有的時候可以借助計算器來計算,。
（7）能夠設計一些學生感興趣的實驗。比如,，低年級我倒覺得可以直接讓他做實驗,，因為對他來說很新鮮，體會了一個從來跟別的不一樣的東西,，還可以摸摸球,，擲硬幣，我覺得這倒是可以讓他直接去做實驗,。到中年級的時候,，就可以適當設計一些有任務驅動的,。比如看過很多中獎游戲，誰都想中大獎,，那么,，我們今天就來中大獎，這個中獎是一個盒子里裝的摸到黃球你就中獎,，中獎以后可能就能干嗎,，但是呢誰來，誰有資格來摸呢,，靠什么來呢,？因為全班不能每人去摸，我們可能是靠一個抓鬮來決定,，這個時候孩子就特別有興趣,，特別想抓鬮就做這個活動，所以他就有這個任務驅動,，摸到了我就可以去中大獎了,。這也是設計很精巧的。還有的老師就設計之前,，你先預測一些結果,，就像張紅老師講的，猜能夠激發(fā)他的興趣,。還有的老師反過來進入統(tǒng)計的思想,，就是我估計以下盒子里到底哪種顏色會多，那么很自然的,，通過摸球來估計,，摸上來以后發(fā)現(xiàn)確實不一樣的時候，再把盒子打開,，再去講這個顏色比它多,，然后摸出一種可能性它比它要大。到了高年級就可以挑戰(zhàn)一些,，我把它叫做挑戰(zhàn)智力,。比如說我們可以挑戰(zhàn)，擲硬幣正面朝上這個可能性是二分之一,，這個我們認同了，換一個問題,，那么兩次中一定是有一次正面朝上嗎,？我覺得學生會有一些分歧，或者說這個可能性很大嗎,？那我們做這個實驗相當于就是不是二分之一去進行驗證,。而反過來通過這個去體會它的不確定性和它的規(guī)律性,，你做實驗不是為了得到二分之一，二分之一不是靠做實驗得到的,，而且說你做實驗是為了體會隨機現(xiàn)象的特點,。還有的老師提的建議挺好的，他做了很多次實驗,，發(fā)現(xiàn)確實這個頻率,，不是穩(wěn)定在二分之一，他就由此懷疑硬幣不均勻,，我也有這個懷疑,，那我們就來看一看吧，也許這個硬幣確實是不均勻,，那么我們看到底是正面重還是反面重,。假設正面朝上的可能性大，,，還是反面朝上的可能性大,，那你要得到這個結果，只要靠實驗來得到,，我們做很多很多的實驗,，那這個時候他就很有挑戰(zhàn)性。
當然這只是我的一些建議,，總而言之,，還希望老師們自己去設計一些學生感興趣的實驗。另外,，我覺得有老師提到我少做實驗,，我覺得也未嘗不可，但是,，如果我們少做實驗來講概率,，包括來講定量的二分之一，還是以二分之一舉例吧,，也希望老師們能在體會隨機性上給學生提出一些問題,，讓他來體會一下?？梢苑催^來鼓勵學生來說一下,、談一談你是怎么理解二分之一的？這個時候會發(fā)現(xiàn),，確實有一些學生是誤解二分之一的,。這個時候老師們可以給他提出問題，二分之一,，我擲兩次就一定有一次是正面朝上,，對不對,？有的孩子可能會有感覺是不對的，有的孩子就有一點含糊了,，這個時候,，我覺得老師可以指導的做一些小實驗，就是老師演示一下,，或者找?guī)讉€孩子來擲一下,，一看確實并不是這樣。來體會它的不確定性,。
那么以上我們就對概率教學,，跟大家進行了一些討論，我想這里頭還有幾點我想再強調一下,，就是隨機觀念到底是什么,？我想是不是兩方面，一個認識到的它是隨機的,，隨機性是有可能犯錯誤的,，注意，我這個錯誤不是說概率上的錯誤,，而是說你用它進行推斷的話,，是有可能是錯的。另外還是它有一定規(guī)律性的,。那么這就是研究隨機現(xiàn)象的價值,。所以就回答這樣一個問題，老師說了,，那確實,，你說了半天二分之一也好，90%也好反正是不確定的,，學習概率到底有什么用,？我覺得一定認識到這樣一個問題，這個誰也無法知道,，確切地知道下一次的情況,，這不是概率的錯，這是生活中就存在的這種現(xiàn)象,。人們通過概率是有了一個刻劃了,，他也沒有辦法告訴你下一次到底會是什么樣子，否則這樣的話,，我們就都去中大獎了,。所以它是為決策提供一些依據(jù)，比如說90% 很有可能或者不是很有可能，90%有可能它不下雨,，但是你帶傘，看來還是一個比較明智的決策,。同樣的兩個產(chǎn)品,，在兩個商店的價格什么都差不多，外形也都差不多,，那一個次品率高一點,，一個次品率低一點。那也可能,，你到那個次品率高的地方反而買到好的東西了,，到次品率低的地方反而買到壞的東西了，但是在沒買之前人們肯定還會到那個次品率低的地方去,，這是一個決策,。
我國著名概率學家陳希孺先生曾經(jīng)說過這樣一句話：習慣于從統(tǒng)計規(guī)律看問題的人，在思想上不拘執(zhí)一端,，他既認識到一種事物從總的方面看有一定的規(guī)律,，也承認例外。我覺得他這句話說得非常的深刻,，把這個隨機觀念既有規(guī)律性,，也有不確定性說出來了。那么,，人們能夠認識不確定性,，而又合理利用這個規(guī)律性就是隨機觀念，我想,，也是在小學階段要學習概率的一個重要的一個原因,。還是那個建議，不急于說我們一定要得到二分之一,，更重要的是體會到不確定也有穩(wěn)定,。
最后，以著名統(tǒng)計學家C. R. Rao的名言作為結束語：
在抽象的意義下,，
一切科學都是數(shù)學,；
在理性的世界里，
所有的判斷都是統(tǒng)計學,。
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