一,、標準理論

1,、原碼的定義

①小數(shù)原碼的定義

例如： X=+0.1011 , [X]原= 01011
X=－0.1011 [X]原= 11011

②整數(shù)原碼的定義

2,、補碼的定義

①小數(shù)補碼的定義

例如： X=+0.1011, [X]_補= 01011
X=－0.1011, [X]_補= 10101

②整數(shù)補碼的定義

3,、反碼的定義

①小數(shù)反碼的定義

例如： X=+0.1011 [X]_反= 01011
X=－0.1011 [X]_反= 10100

②整數(shù)反碼的定義

4.移碼：移碼只用于表示浮點數(shù)的階碼，所以只用于整數(shù),。

①移碼的定義：設由1位符號位和n位數(shù)值位組成的階碼,，則 [X]_移=2ⁿ + X -2ⁿ≤X ≤ 2ⁿ
例如： X=＋1011 [X]_移=11011 符號位“1”表示正號
X=－1011 [X]_移=00101 符號位“0”表示負號

②移碼與補碼的關(guān)系： [X]移與[X]補的關(guān)系是符號位互為反碼，
例如： X=＋1011 [X]_移=11011 [X]_補=01011
X=－1011 [X]_移=00101 [X]_補=10101

③移碼運算應注意的問題：
◎?qū)σ拼a運算的結(jié)果需要加以修正,，修正量為2ⁿ ,，即對結(jié)果的符號位取反后才是移碼形式的正確結(jié)果,。
◎移碼表示中，0有唯一的編碼——1000…00,，當出現(xiàn)000…00時（表示－2ⁿ）,，屬于浮點數(shù)下溢。

二,、補碼加,、減運算規(guī)則

1、運算規(guī)則

[X＋Y]_補= [X]_補＋ [Y]_補
[X－Y]_補= [X]_補＋ [－Y]_補

若已知[Y]_補,，求[－Y]_補的方法是：將[Y]_補的各位（包括符號位）逐位取反再在最低位加1即可,。
例如：[Y]_補= 101101 [－Y]_補= 010011

2、溢出判斷,，一般用雙符號位進行判斷：

符號位00 表示正數(shù) 11 表示負數(shù)
結(jié)果的符號位為01時,，稱為上溢；為10時,，稱為下溢

例題：設x=0.1101,，y=－0.0111，符號位為雙符號位
用補碼求x+y,，x－y
[x]補+[y]補=00 1101+11 1001=00 0110
[x－y]補=[x]補+[－y]補=00 1101+00 0111=01 0100
結(jié)果錯誤,，正溢出

三、原碼一位乘的實現(xiàn)：

設X=0.1101,，Y=－0. 1011,，求X*Y
解：符號位單獨處理， x_符＋ y_符
數(shù)值部分用原碼進行一位乘,，如下圖所示：

四、原碼一位除的實現(xiàn)：一般用不恢復余數(shù)法（加減交替法）

§2.5 浮點運算與浮點運算器

一,、浮點數(shù)的運算規(guī)則

1、浮點加減法的運算步驟

設兩個浮點數(shù) X=Mx※2Ex Y=My※2Ey
實現(xiàn)X±Y要用如下5步完成：
①對階操作：小階向大階看齊
②進行尾數(shù)加減運算
③規(guī)格化處理：尾數(shù)進行運算的結(jié)果必須變成規(guī)格化的浮點數(shù),，對于雙符號位的補碼尾數(shù)來說,，就必須是
001×××…×× 或110×××…××的形式
若不符合上述形式要進行左規(guī)或右規(guī)處理。

④舍入操作：在執(zhí)行對階或右規(guī)操作時常用“0”舍“1”入法將右移出去的尾數(shù)數(shù)值進行舍入,，以確保精度,。
⑤判結(jié)果的正確性：即檢查階碼是否溢出
若階碼下溢（移碼表示是00…0），要置結(jié)果為機器0,；
若階碼上溢（超過了階碼表示的最大值）置溢出標志,。

例題：假定X=0 .0110011*2¹¹，Y=0.1101101*2^-10（此處的數(shù)均為二進制） ?? 計算X+Y,；
解：[X]_浮： 0 1 010 1100110
[Y]_浮： 0 0 110 1101101
符號位 階碼 尾數(shù)

第一步：求階差： │ΔE│=|1010-0110|=0100
第二步：對階：Y的階碼小,， Y的尾數(shù)右移4位
[Y]_浮變?yōu)?0 1 010 0000110 1101暫時保存
第三步：尾數(shù)相加，采用雙符號位的補碼運算
00 1100110
+00 0000110
00 1101100
第四步規(guī)格化：滿足規(guī)格化要求
第五步：舍入處理,，采用0舍1入法處理
故最終運算結(jié)果的浮點數(shù)格式為： 0 1 010 1101101,，
即X+Y=+0. 1101101*2¹⁰

2、浮點乘除法的運算步驟

①階碼運算：階碼求和（乘法）或階碼求差（除法）
即 [Ex+Ey]移= [Ex]移+ [Ey]補
[Ex－Ey]移= [Ex]移+ [－Ey]補

②浮點數(shù)的尾數(shù)處理：浮點數(shù)中尾數(shù)乘除法運算結(jié)果要進行舍入處理
例題：X=0 .0110011*2¹¹,，Y=0.1101101*2^-10
求X※Y
解：[X]_浮： 0 1 010 1100110
[Y]_浮： 0 0 110 1101101
第一步：階碼相加
[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]補=1 010+1 110=1 000
1 000為移碼表示的0
第二步：原碼尾數(shù)相乘的結(jié)果為：
0 10101101101110
第三步：規(guī)格化處理：已滿足規(guī)格化要求,，不需左規(guī)，尾數(shù)不變,，階碼不變,。
第四步：舍入處理：按舍入規(guī)則，加1進行修正
所以 X※Y= 0.1010111※2⁺⁰⁰⁰

chapter two

計算機內(nèi)部,，數(shù)是用二進制表示的,。二進制數(shù)的編碼方式有補碼、原碼,、反碼
和增碼,。二進制數(shù)的表示形式有定點表示(整數(shù)INTEGER和20到2-1之間的數(shù))和浮點
表示兩種。
無論什么數(shù),，它總是由符號和數(shù)值兩部分組成,。在計算機中數(shù)值和符號用某種
編碼的形式表示。為明確起見,，把原來的數(shù)值叫做真值,，而把機器中對符號和數(shù)值
進行編碼之后的數(shù)值叫做機器數(shù)。
1.原碼
▲n位二進制定點小數(shù)X=x0x1x2...xn-1的原碼[X]原定義為:
┌X 當1>X>=0時
[X]原=┤
└1-X=1+│X│ 當0>=X>-1時
其特點有:
(1)0的原碼有兩種,即0.0000...0和1.0000...0,。
n個 n個
(2)數(shù)的表示范圍[-(1-2-n+1),(1-2-n+1)]
(3)最高位為符號位.若負數(shù)時符號位為1;正數(shù)則符號位為0.
(4)作乘除運算時較為方便,但作加減運算時較為復雜.
例: 若X=0.0101101.則[X]原=0.0101101
若X=-0.1010010,則[X]原=1.1010010
▲n位整數(shù)X的原碼定義如下:
┌X 當2n-1>X>=0時
[X]原=┤
└2n-1-x=2n-1+│X│ 當0>=X>-2-n-1時
2.補碼
▲n位二進制定點小數(shù)X=x0x1x2...xn-1的補碼[X]補定義為:
┌X 當1>X>=0時
[X]補=┤
└2+X=2-│X│ 當0>X>=-1時
其特點有:
(1)0的補碼有只有一種形式,即0.0000...0
n個
(2)數(shù)的表示范圍[-1,(1-2-n+1)]
(3)最高位為符號位.若負數(shù)時符號位為1;正數(shù)則符號位為0.
(4)對于兩個數(shù)X,Y,且X+Y不溢出,則有[X+Y]補=[X]補+[Y]補.
(5)補碼加法的溢出判別,若兩數(shù)均為負數(shù)相加,則最高位進位是0為下溢;若
兩數(shù)均為正數(shù)相加,則最高位是1為上溢;若一正數(shù)和一負數(shù)相加,則不會發(fā)生溢出.
(6)作加減運算時較為方便,但作乘除運算時要比原碼復雜.
例:若 X=-0.1000100, 則[X]補=10-0.1000100=1.0111100
若 X=0.1000001, 則[X]補=X=0.1000001
注:負數(shù)補碼的求法:按位求反末位加1
如:求-0.1000100的補碼
(1)按位求反:1.0111011
(2)末位加1: 1.0111100
1.0111100即為-0.1000100的補碼,。
▲n位整數(shù)X的補碼定義如下:
┌X 當2n-1>X>=0時
[X]補=┤
└2n+X=2n-│X│ 當0>X>=-2n-1時
3.反碼
▲n位二進制定點小數(shù)X=x0x1x2...xn-1的反碼[X]反定義為:
┌X 當1>X>=0時
[X]反=┤
2-2-n+1+X 當-1<X<=0時

其特點有:
(1)0的反碼有兩種,即0.0000...0和1.1111...1。
n個 n個
(2)數(shù)的表示范圍[-(1-2-n+1),(1-2-n+1)]
(3)最高位為符號位.若負數(shù)時符號位為1;正數(shù)則符號位為0.
(4)反碼和補碼的關(guān)系:[X]補=[X]反+2-n+1.
(5)反碼加法:[X+Y]反=[X]反+[Y]反+Ψ(Ψ為[X]反+[Y]反的最高位進位).
(6)反碼加法的溢出判別和補碼相同.
例: 若X=-0.1011 則[X]反=10-0.0001-0.1011=1.0100
若[X]補=1.0110, 求[X]反.
因為 [X]補=[X]反+0.0001
所以 [X]反=[X]補-0.0001=1.0101
或者:X=-10+1.0110=-0.1010
則[X]反=(10-0.0001)-0.1010=1.0101
▲n位整數(shù)X的反碼定義如下:
┌X 當2n-1>X>=0時
[X]反=┤
└(2n-1)+X 當0>=X>-2n-1時
總之,一個正數(shù)X的原碼,、補碼,、反碼均為其本身。一個二進制負數(shù)的原碼,、補
碼,、反碼可用公式求得；一個負數(shù)的原碼只要將符號位變?yōu)椋?，而其它都不變,，?
個負數(shù)的反碼只要將原碼除符號位外其它位按位求反即可,，一個負數(shù)Ｘ的補碼可用
列方法求得：寫出Ｘ的原碼，將其按位求反,，再在末尾加上１即可,。

二、 民間通俗說法

對于在內(nèi)存中存有的數(shù)據(jù)都是以二進制形式存在可是為了更好地區(qū)分正數(shù)和負數(shù)便采用了不同的編碼存儲:
對于正數(shù),在內(nèi)存中存在的是其原碼:
如:
int i=1;
則變量i在內(nèi)存中的存大形式為: 00 00 00 00 00 00 00 01
一個C語言中的整型變量占有兩個字節(jié)即16位二進制數(shù)位.最高位為符號位 "0"表示其為正.
原碼是將變量直接轉(zhuǎn)為二進制存儲.

對于負數(shù)如:
int i=-1;
首先在符號位上表征其為負即最高位為1: 10 00 00 00 00 00 00 01
符號位后便是1的原碼: 0 00 00 00 00 00 00 01
實際上負數(shù)據(jù)并非這樣存儲,而是先將符號位之后的15位每位求反:0變1,1變0.
則所得碼為(符號位不變,其它位求反,反碼即每原碼每位求反): 11 11 11 11 11 11 11 10
補碼為原碼再加 1 ,則為:
11 11 11 11 11 11 11 11
負數(shù)在內(nèi)存中以補碼形式存儲在內(nèi)存中草存在的形式為其補碼形式即:
11 11 11 11 11 11 11 11
取數(shù)時系統(tǒng)先看符號位如果是"0"則直接輸出,如果為"1" 則認為所存為負數(shù):
即將所存數(shù)減1先求出其反碼,若仍以"-1"為例則補碼減1后為: 11 11 11 11 11 11 11 10
然后符號位外每位求反得其原碼: 10 00 00 00 00 00 00 01
然后輸出: -1.

內(nèi)存中存的數(shù)都是以補碼形式存在的,，原碼是正數(shù)的時候,，補碼就是原碼，是負數(shù)的時候,，補碼就是原碼取反加1,，反碼就是原碼取反
主要原因是原碼和反碼在表示數(shù)的時候的不唯一性，比如表示零的時候,，原碼,、反碼就有兩種表示法，10000000和00000000,，所以采用補碼,。

三、總結(jié)

對一個正數(shù)X的原碼,、補碼,、反碼均為其本身

一個二進制負數(shù)的原碼、補碼,、反碼可用公式

反碼 = 原碼（除符號位外）每位取反,；

補碼 = 反碼 + 1；

反碼 = 補碼 - 1,；

移碼 = 補碼符號位取反

移碼與補碼的關(guān)系： [X]移與[X]補的關(guān)系是符號位互為反碼,，
例如： X=＋1011                 [X]_移=11011                  [X]_補=01011
              X=－1011                 [X]_移=00101                  [X]_補=10101