一,、《集合與函數(shù)》

內容子交并補集，還有冪指對函數(shù),。性質奇偶與增減,，觀察圖象最明顯。

復合函數(shù)式出現(xiàn),，性質乘法法則辨,，若要詳細證明它，還須將那定義抓,。

指數(shù)與對數(shù)函數(shù),，兩者互為反函數(shù)。底數(shù)非１的正數(shù),，１兩邊增減變故,。

函數(shù)定義域好求。分母不能等于０,，偶次方根須非負,，零和負數(shù)無對數(shù)；

正切函數(shù)角不直,，余切函數(shù)角不平,；其余函數(shù)實數(shù)集,，多種情況求交集,。

兩個互為反函數(shù)，單調性質都相同,；圖象互為軸對稱,，Ｙ＝Ｘ是對稱軸；

求解非常有規(guī)律,，反解換元定義域,；反函數(shù)的定義域，原來函數(shù)的值域,。

冪函數(shù)性質易記,，指數(shù)化既約分數(shù)；函數(shù)性質看指數(shù),，奇母奇子奇函數(shù),，

奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù)；圖象第一象限內,，函數(shù)增減看正負,。

二、《三角函數(shù)》

三角函數(shù)是函數(shù),，象限符號坐標注,。函數(shù)圖象單位圓，周期奇偶增減現(xiàn),。

同角關系很重要,，化簡證明都需要。正六邊形頂點處,，從上到下弦切割,；

中心記上數(shù)字１，連結頂點三角形,；向下三角平方和,，倒數(shù)關系是對角，

頂點任意一函數(shù),，等于后面兩根除,。誘導公式就是好，負化正后大化小,，

變成稅角好查表,，化簡證明少不了。二的一半整數(shù)倍,，奇數(shù)化余偶不變,，

將其后者視銳角，符號原來函數(shù)判,。兩角和的余弦值,，化為單角好求值，

余弦積減正弦積,，換角變形眾公式,。和差化積須同名，互余角度變名稱,。

計算證明角先行,，注意結構函數(shù)名，保持基本量不變,，繁難向著簡易變,。

逆反原則作指導，升冪降次和差積,。條件等式的證明,，方程思想指路明,。

萬能公式不一般，化為有理式居先,。公式順用和逆用,，變形運用加巧用；

１加余弦想余弦,，１ 減余弦想正弦,，冪升一次角減半，升冪降次它為范,；

三角函數(shù)反函數(shù),，實質就是求角度，先求三角函數(shù)值,，再判角取值范圍,；

利用直角三角形，形象直觀好換名,，簡單三角的方程,，化為最簡求解集；

三,、《不等式》

解不等式的途徑,，利用函數(shù)的性質。對指無理不等式,，化為有理不等式,。

高次向著低次代，步步轉化要等價,。數(shù)形之間互轉化,，幫助解答作用大。

證不等式的方法,，實數(shù)性質威力大,。求差與０比大小，作商和１爭高下,。

直接困難分析好,，思路清晰綜合法,。非負常用基本式,，正面難則反證法。

還有重要不等式,，以及數(shù)學歸納法,。圖形函數(shù)來幫助，畫圖建模構造法,。

四,、《數(shù)列》

等差等比兩數(shù)列,，通項公式Ｎ項和。兩個有限求極限,，四則運算順序換,。

數(shù)列問題多變幻，方程化歸整體算,。數(shù)列求和比較難,，錯位相消巧轉換，

取長補短高斯法,，裂項求和公式算,。歸納思想非常好，編個程序好思考：

一算二看三聯(lián)想,，猜測證明不可少,。還有數(shù)學歸納法，證明步驟程序化：

首先驗證再假定,，從 Ｋ向著K加１,，推論過程須詳盡，歸納原理來肯定,。

五,、《復數(shù)》

虛數(shù)單位ｉ一出，數(shù)集擴大到復數(shù),。一個復數(shù)一對數(shù),，橫縱坐標實虛部。

對應復平面上點,，原點與它連成箭,。箭桿與Ｘ軸正向，所成便是輻角度,。

箭桿的長即是模,，常將數(shù)形來結合。代數(shù)幾何三角式,，相互轉化試一試,。

代數(shù)運算的實質，有ｉ多項式運算,。ｉ的正整數(shù)次慕,，四個數(shù)值周期現(xiàn)。

一些重要的結論,，熟記巧用得結果,。虛實互化本領大，復數(shù)相等來轉化,。

利用方程思想解,，注意整體代換術,。幾何運算圖上看，加法平行四邊形,，

減法三角法則判,；乘法除法的運算，逆向順向做旋轉,，伸縮全年模長短,。

三角形式的運算，須將輻角和模辨,。利用棣莫弗公式,，乘方開方極方便。

輻角運算很奇特,，和差是由積商得,。四條性質離不得，相等和模與共軛,，

兩個不會為實數(shù),，比較大小要不得。復數(shù)實數(shù)很密切,，須注意本質區(qū)別,。

六、《排列,、組合,、二項式定理》

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則,。與序無關是組合,，要求有序是排列。

兩個公式兩性質,，兩種思想和方法,。歸納出排列組合，應用問題須轉化,。

排列組合在一起,，先選后排是常理。特殊元素和位置,，首先注意多考慮,。

不重不漏多思考，捆綁插空是技巧,。排列組合恒等式,，定義證明建模試。

關于二項式定理,，中國楊輝三角形,。兩條性質兩公式，函數(shù)賦值變換式,。

七,、《立體幾何》

點線面三位一體，柱錐臺球為代表,。距離都從點出發(fā),，角度皆為線線成。


垂直平行是重點,，證明須弄清概念,。線線線面和面面、三對之間循環(huán)現(xiàn),。





方程思想整體求,，化歸意識動割補。計算之前須證明,，畫好移出的圖形,。

立體幾何輔助線，常用垂線和平面,。射影概念很重要,，對于解題最關鍵。

異面直線二面角,，體積射影公式活,。公理性質三垂線，解決問題一大片,。

八,、《平面解析幾何》

有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線,，參數(shù)方程極坐標,，數(shù)形結合稱典范。

笛卡爾的觀點對,，點和有序實數(shù)對,，兩者—一來對應，開創(chuàng)幾何新途徑,。

兩種思想相輝映,，化歸思想打前陣；都說待定系數(shù)法,，實為方程組思想,。

三種類型集大成，畫出曲線求方程,，給了方程作曲線,，曲線位置關系判,。

四件工具是法寶，坐標思想?yún)?shù)好,；平面幾何不能丟,，旋轉變換復數(shù)求。

解析幾何是幾何,，得意忘形學不活,。圖形直觀數(shù)入微，數(shù)學本是數(shù)形學,。

數(shù)學 必修1
1. 集合（約4課時）

（1）集合的含義與表示

①通過實例,，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系,。

②能選擇自然語言,、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題,，感受集合語言的意義和作用,。

（2）集合間的基本關系

①理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集,。

②在具體情境中,，了解全集與空集的含義。

（3）集合的基本運算

①理解兩個集合的并集與交集的含義,，會求兩個簡單集合的并集與交集,。

②理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集,。

③能使用Venn圖表達集合的關系及運算,，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。
2. 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I（約32課時）

（1）函數(shù)

①進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型,，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數(shù),，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構成函數(shù)的要素,，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域,；了解映射的概念。

②在實際情境中,，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法,、列表法、解析法）表示函數(shù),。

③了解簡單的分段函數(shù),，并能簡單應用。

④通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調性,、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；結合具體函數(shù),，了解奇偶性的含義,。

⑤學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質（參見例1）,。

（2）指數(shù)函數(shù)

①（細胞的分裂,，考古中所用的C的衰減，藥物在人體內殘留量的變化等）,，了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景,。

②理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義,，掌握冪的運算,。

③理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點,。

④在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型（參見例2）,。

（3）對數(shù)函數(shù)

①理解對數(shù)的概念及其運算性質,，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；通過閱讀材料,，了解對數(shù)的產生歷史以及對簡化運算的作用,。

②通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關系,，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念,，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象,，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點,。

③知道指數(shù)函數(shù) 與對數(shù)函數(shù) 互為反函數(shù)（a＞0，a≠1）,。

（4）冪函數(shù)

通過實例,，了解冪函數(shù)的概念；結合函數(shù) 的圖象,，了解它們的變化情況,。

（5）函數(shù)與方程

①結合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù),，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系,。

②根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法,。

（6）函數(shù)模型及其應用

①利用計算工具,，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異,；結合實例體會直線上升,、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義,。

②收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù),、分段函數(shù)等）的實例,，了解函數(shù)模型的廣泛應用。

（7）實習作業(yè)

根據(jù)某個主題,，收集17世紀前后發(fā)生的一些對數(shù)學發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物（開普勒,、伽利略、笛卡兒,、牛頓,、萊布尼茨、歐拉等）的有關資料或現(xiàn)實生活中的函數(shù)實例,，采取小組合作的方式寫一篇有關函數(shù)概念的形成,、發(fā)展或應用的文章，在班級中進行交流,。具體要求參見數(shù)學文化的要求,。

數(shù)學 必修21. 立體幾何初步（約18課時）

（1）空間幾何體

①利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形,，認識柱,、錐、臺,、球及其簡單組合體的結構特征,，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構。

②能畫出簡單空間圖形（長方體,、球,、圓柱、圓錐,、棱柱等的簡易組合）的三視圖,，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會使用材料（如紙板）制作模型,，會用斜二側法畫出它們的直觀圖,。

③通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖,，了解空間圖形的不同表示形式。

④完成實習作業(yè),，如畫出某些建筑的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎上,，尺寸、線條等不作嚴格要求）,。

⑤了解球,、棱柱、棱錐,、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）,。

（2）點、線,、面之間的位置關系

①借助長方體模型,，在直觀認識和理解空間點,、線,、面的位置關系的基礎上，抽象出空間線,、面位置關系的定義,，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理。

◆公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內,，那么這條直線在此平面內,。

◆公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面,。

◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行,。

◆定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行,，那么這兩個角相等或互補。

②以立體幾何的上述定義,、公理和定理為出發(fā)點,，通過直觀感知、操作確認,、思辨論證,，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定,。

操作確認,，歸納出以下判定定理。

◆平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,，則該直線與此平面平行,。

◆一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,，則這兩個平面平行。

◆一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直,，則該直線與此平面垂直,。

◆一個平面過另一個平面的垂線，則兩個平面垂直,。

操作確認,，歸納出以下性質定理，并加以證明,。

◆一條直線與一個平面平行,，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。

◆兩個平面平行,，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行,。

◆垂直于同一個平面的兩條直線平行。

◆兩個平面垂直,，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直,。

③能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。
2. 平面解析幾何初步（約18課時）

（1）直線與方程

①在平面直角坐標系中,，結合具體圖形,，探索確定直線位置的幾何要素。

②理解直線的傾斜角和斜率的概念,，經歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程,，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。

③能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直,。

④根據(jù)確定直線位置的幾何要素,，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）,，體會斜截式與一次函數(shù)的關系,。

⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標。

⑥探索并掌握兩點間的距離公式,、點到直線的距離公式,，會求兩條平行直線間的距離。

（2）圓與方程

①回顧確定圓的幾何要素,，在平面直角坐標系中,，探索并掌握圓的標準方程與一般方程。

②能根據(jù)給定直線,、圓的方程,，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系,。

③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題,。

（3）在平面解析幾何初步的學習過程中,，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。

（4）空間直角坐標系

①通過具體情境,，感受建立空間直角坐標系的必要性,，了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置,。

②通過表示特殊長方體（所有棱分別與坐標軸平行）頂點的坐標,，探索并得出空間兩點間的距離公式。

數(shù)學 必修3
1. 算法初步（約12課時）

（1）算法的含義,、程序框圖

①通過對解決具體問題過程與步驟的分析（如二元一次方程組求解等問題）,，體會算法的思想，了解算法的含義,。

②通過模仿,、操作、探索,，經歷通過設計程序框圖表達解決問題的過程,。在具體問題的解決過程中（如三元一次方程組求解等問題），理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序,、條件分支,、循環(huán)。

（2）基本算法語句：經歷將具體問題的程序框圖轉化為程序語句的過程,，理解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句,、賦值語句,、條件語句、循環(huán)語句,，進一步體會算法的基本思想,。

（3）通過閱讀中國古代數(shù)學中的算法案例，體會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻,。
2. 統(tǒng)計（約16課時）

（1）隨機抽樣

①能從現(xiàn)實生活或其他學科中提出具有一定價值的統(tǒng)計問題,。

②結合具體的實際問題情境，理解隨機抽樣的必要性和重要性,。

③在參與解決統(tǒng)計問題的過程中,，學會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；通過對實例的分析,，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法,。

④能通過試驗、查閱資料,、設計調查問卷等方法收集數(shù)據(jù),。

（2）用樣本估計總體

①通過實例體會分布的意義和作用,，在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學會列頻率分布表,、畫頻率分布直方圖,、頻率折線圖、莖葉圖（參見例1）,，體會它們各自的特點,。

②通過實例理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)標準差,。

③能根據(jù)實際問題的需求合理地選取樣本,，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差）,，并作出合理的解釋,。

④在解決統(tǒng)計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想,，會用樣本的頻率分布估計總體分布,，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征；初步體會樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機性,。

⑤會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想,，解決一些簡單的實際問題；能通過對數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù),，認識統(tǒng)計的作用,，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異。

⑥形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識,。

（3）變量的相關性

①通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖,，并利用散點圖直觀認識變量間的相關關系。

②經歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關的過程,。知道最小二乘法的思想,，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程（參見例2）。
3. 概率（約8課時）

（1）在具體情境中,，了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,，進一步了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別。

（2）通過實例,，了解兩個互斥事件的概率加法公式,。

（3）通過實例，理解古典概型及其概率計算公式,，會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,。

（4）了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法（包括計算器產生隨機數(shù)來進行模擬）估計概率,，初步體會幾何概型的意義（參見例3）,。

（5）通過閱讀材料,，了解人類認識隨機現(xiàn)象的過程。

數(shù)學 必修4
1. 三角函數(shù)（約16課時）

（1）任意角,、弧度

了解任意角的概念和弧度制,，能進行弧度與角度的互化。

（2）三角函數(shù)

①借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦,、余弦,、正切）的定義。

②借助單位圓中的三角函數(shù)線推導出誘導公式（ 的正弦,、余弦,、正切），能畫出 的圖象,，了解三角函數(shù)的周期性,。

③借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在 ,，正切函數(shù)在 上的性質（如單調性,、最大和最小值、圖象與x軸交點等）,。

④理解同角三角函數(shù)的基本關系式：

⑤結合具體實例,，了解 的實際意義；能借助計算器或計算機畫出 的圖象,，觀察參數(shù)A,，ω， 對函數(shù)圖象變化的影響,。

⑥會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題,，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。
2. 平面向量（約12課時）

（1）平面向量的實際背景及基本概念

通過力和力的分析等實例,，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義,，理解向量的幾何表示,。

（2）向量的線性運算

①掌握向量加、減法的運算,，并理解其幾何意義,。

②掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義,，以及兩個向量共線的含義,。

③了解向量的線性運算性質及其幾何意義。

（3）平面向量的基本定理及坐標表示

①了解平面向量的基本定理及其意義,。

②掌握平面向量的正交分解及其坐標表示,。

③會用坐標表示平面向量的加,、減與數(shù)乘運算。

④理解用坐標表示的平面向量共線的條件,。

（4）平面向量的數(shù)量積

①通過物理中“功”等實例,，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。

②體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系,。

③掌握數(shù)量積的坐標表達式,，會進行平面向量數(shù)量積的運算。

④能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系,。

（5）向量的應用

經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程,，體會向量是一種處理幾何問題,、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力,。
3. 三角恒等變換（約8課時）

（1）經歷用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程,，進一步體會向量方法的作用。

（2）能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦,、余弦,、正切公式，二倍角的正弦,、余弦,、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系,。

（3）能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括引導導出積化和差,、和差化積、半角公式,，但不要求記憶）,。

數(shù)學 必修5
1. 解三角形（約8課時）

（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理,、余弦定理,，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠運用正弦定理,、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題,。
2. 數(shù)列（約12課時）

（1）數(shù)列的概念和簡單表示法

了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象,、通項公式）,，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)。

（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列

①理解等差數(shù)列,、等比數(shù)列的概念,。

②探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和的公式,。

③能在具體的問題情境中,，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題（參見例1）,。

④體會等差數(shù)列,、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關系,。
3. 不等式（約16課時）

（1）不等關系

感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系,，了解不等式（組）的實際背景。

（2）一元二次不等式

①經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程,。

②通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應函數(shù),、方程的聯(lián)系。

③會解一元二次不等式,，對給定的一元二次不等式,，嘗試設計求解的程序框圖。

（3）二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題

①從實際情境中抽象出二元一次不等式組,。

②了解二元一次不等式的幾何意義,，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組（參見例2）。

③從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,，并能加以解決（參見例3）,。

（4）基本不等式： 。

①探索并了解基本不等式的證明過程,。

②會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}（參見例4）。

函數(shù)的性質 指數(shù)和對數(shù)

（1）定義域,、值域,、對應法則

（2）單調性

對于任意x1，x2∈D

若x1＜x2 f（x1）＜f（x2）,，稱f（x）在D上是增函數(shù)

若x1＜x2 f（x1）＞f（x2）,，稱f（x）在D上是減函數(shù)

（3）奇偶性

對于函數(shù)f（x）的定義域內的任一x，若f（－x）＝f（x）,，稱f（x）是偶函數(shù)

若f（－x）＝－f（x），稱f（x）是奇函數(shù)

（4）周期性

對于函數(shù)f（x）的定義域內的任一x,，若存在常數(shù)T,，使得f（x+T）＝f(x)，則稱f（x）是周期函數(shù) （1）分數(shù)指數(shù)冪

數(shù)學 選修

選修2－1
1. 常用邏輯用語（約8課時）

（1）命題及其關系

①了解命題的逆命題,、否命題與逆否命題,。

②理解必要條件,、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關系,。

（2）簡單的邏輯聯(lián)結詞

了解邏輯聯(lián)結詞“或”“且”“非”的含義,。

（3）全稱量詞與存在量詞

①理解全稱量詞與存在量詞的意義。

②能正確地對含有一個量詞的命題進行否定,。
2. 圓錐曲線與方程（約16課時）

（1）圓錐曲線

①了解圓錐曲線的實際背景,，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。

②經歷從具體情境中抽象出橢圓,、拋物線模型的過程,，掌握它們的定義、標準方程,、幾何圖形及簡單性質,。

③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,，知道雙曲線的有關性質,。

④能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關系）和實際問題。

⑤通過圓錐曲線的學習,，進一步體會數(shù)形結合的思想,。

（2）曲線與方程

了解曲線與方程的對應關系，進一步感受數(shù)形結合的基本思想,。

（3）橢圓,、雙曲線與拋物線

橢圓

標準方程x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0,c^2=a^2-b^2)（焦點在x軸上）

焦點F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)

離心率e=c/a

雙曲線

標準方程x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0,，c^2=a^2+b^2)（焦點在x軸上）

焦點F1(-c,0),，F(xiàn)2(c,0)

離心率e=c/a

拋物線

標準方程 y^2=2px(p>0)（焦點在x軸正半軸上）

焦點F(p/2,0)

3. 空間向量與立體幾何

（約12課時）

（1）空間向量及其運算

①經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程。

②了解空間向量的概念,，了解空間向量的基本定理及其意義,，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示。

③掌握空間向量的線性運算及其坐標表示,。

④掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示,，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。

（2）空間向量的應用

①理解直線的方向向量與平面的法向量,。

②能用向量語言表述線線,、線面、面面的垂直,、平行關系,。

③能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）（參見例1、例2,、例3）,。

④能用向量方法解決線線、線面,、面面的夾角的計算問題,，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。

參考案例

例1. 已知直三棱柱 中,，∠ACB＝90°,，∠BAC＝30°， ,，M是棱 的中點,。 證明： 。

例2. 已知矩形ABCD和矩形ADEF垂直,，以AD為公共邊,，但它們不在同一平面上。點M,，N分別在對角線BD,，AE上，且 ,。

證明：MN∥平面CDE,。

例3. 已知單位正方體 ，E,、F分別是棱 和 的中點,。試求：

（1） 與EF所成的角；（2）AF與平面 所成的角,；（3）二面角 的大小,。

選修2－2
1. 導數(shù)及其應用（約24課時）

（1）導數(shù)概念及其幾何意義

①通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程,，了解導數(shù)概念的實際背景,，知道瞬時變化率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內涵（參見選修1－1案例中的例2,、例3）,。

②通過函數(shù)圖象直觀地理解導數(shù)的幾何意義。

（2）導數(shù)的運算

①能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù) 的導數(shù),。

②能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù),，能求簡單的復合函數(shù)（僅限于形如 ）的導數(shù)。

③會使用導數(shù)公式表,。

（3）導數(shù)在研究函數(shù)中的應用

①借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系（參見選修1－1案例中的例4）,；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間。

②結合函數(shù)的圖象,，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值,、極小值,，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)最大值、最小值,；體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質中的一般性和有效性,。

（4）生活中的優(yōu)化問題舉例。

例如,，通過使利潤最大,、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題,，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用（參見選修1－1案例中的例5）,。

（5）定積分與微積分基本定理

①通過求曲邊梯形的面積、變力做功等,，從問題情境中了解定積分的實際背景,；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念,。

②通過變速運動物體在某段時間內的速度與路程的關系,，直觀了解微積分基本定理的含義（參見例1）。
2. 推理與證明（約8課時）

（1）合情推理與演繹推理

①了解合情推理的含義,，能利用歸納和類比等進行簡單的推理,，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用（參見選修1－2案例中的例2、例3）,。

②體會演繹推理的重要性,，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理,。

③通過具體實例,，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。

（2）直接證明與間接證明

①了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法,；了解分析法和綜合法的思考過程,、特點。

②了解間接證明的一種基本方法——反證法,；了解反證法的思考過程,、特點。

（3）數(shù)學歸納法

了解數(shù)學歸納法的原理,，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題,。

（4）數(shù)學文化

①通過對實例的介紹（如歐幾里得《幾何原本》,、馬克思《資本論》、杰弗遜《獨立宣言》,、牛頓三定律）,，體會公理化思想。

②介紹計算機在自動推理領域和數(shù)學證明中的作用,。
3. 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入（約4課時）

（1）在問題情境中了解數(shù)系的擴充過程,，體會實際需求與數(shù)學內部的矛盾（數(shù)的運算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴充過程中的作用,，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系,。

（2）理解復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件。

（3）了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,。

（4）能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算,，了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義,。,。

參考案例

例1.一個物體依照 規(guī)律在直線上運動，我們已經知道,，其在某一時刻 的運動速度 （即瞬時速度或瞬時變化率）為 在 時刻的導數(shù),，即 。今考慮 在到之間位置的總變化,。我們把區(qū)間 分割成n個小區(qū)間,，不妨假設小區(qū)間的長度相等，其長度為,。對每一個小區(qū)間,，我們假設的變化率近似為某一常量，于是我們可以說

的變化率×時間,。

在第一個小區(qū)間內,，即從 到 ,，假設 的變化率近似地為 ,，于是有

同樣,，對第二個小區(qū)間，即從 到 ,，假設 的變化率近似地為 ,，因此有

等等。把在所有小區(qū)間上得到的位置變化近似值全部加在一起,，得到

s的總變化

我們可以把 在 到 之間位置的總變化寫成 ,。另一方面，當分割無限加細,、n趨于無窮時,，和式

的極限就是定積分 或 ,，也就是 在 到 之間位置的總變化。于是,，我們可得到以下結論：

也就是說,，變化率的定積分給出了總的變化。

特別地,，當物體作勻速運動時,，即 時，

當物體作勻加速運動時,，即 （其中 是常數(shù)）時，

一般地,，如果 是連續(xù)函數(shù),，并且 ，那么

這就是微積分基本定理,。這里給出的并不是非常嚴格的證明,，但是，它反映了微積分基本定理的基本思想,，反映了微分（導數(shù)）與積分的聯(lián)系,。

選修2－3
1. 計數(shù)原理（約14課時）

（1）分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理

總結分類加法計數(shù)原理,、分步乘法計數(shù)原理,；能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題,。

（2）排列與組合

理解排列,、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式,、組合數(shù)公式,，并能解決簡單的實際問題。

（3）二項式定理

能用計數(shù)原理證明二項式定理（參見例1）,；會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題,。
2. 統(tǒng)計與概率（約22課時）

（1）概率

①在對具體問題的分析中，理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念,，認識分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性,。

②通過實例（如彩票抽獎），理解超幾何分布及其導出過程,，并能進行簡單的應用（參見例2）,。

③在具體情境中，了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念,，理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布,，并能解決一些簡單的實際問題（參見例3）,。

④理解取有限值的離散型隨機變量均值、方差的概念,，能計算簡單離散型隨機變量的均值,、方差，并能解決一些實際問題（參見例4）,。

⑤借助直觀（如實際問題的直方圖）,，認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義。

（2）統(tǒng)計案例

①通過對 “肺癌與吸煙有關嗎”的探究,，了解獨立性檢驗（只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想,、方法及初步應用。

②通過對 “質量控制”“新藥是否有效”的探究,，了解實際推斷原理和假設檢驗的基本思想,、方法及初步應用（參見選修1－2案例中的例1）。

③通過對 “昆蟲分類”的探究,，了解聚類分析的基本思想,、方法及其初步應用。

④通過對 “人的體重與身高的關系”的探究,，了解回歸的基本思想,、方法及其初步應用。

參考案例

例1. 二項式定理的證明,。

是n個 相乘,，每個 在相乘時，有兩種選擇,，選a或b,，由分步計數(shù)原理可知展開式共有 項（包括同類項），其中每一項都是的形式,，0,，1，……,，n,；對于每一項 ，它是由k個 選了a,， 個 選了b得到的,，它出現(xiàn)的次數(shù)相當于從n個中取k個a的組合數(shù)，將它們合并同類項,，就得二項展開式,，這就是二項式定理。

例2. 高三（1）班的聯(lián)歡會上設計了一項游戲,。在一個口袋中裝有10個紅球,，20個白球,，這些球除顏色外完全相同。游戲者一次從中摸出5個球,，摸到4個紅球的就中一等獎,。求獲一等獎的概率。

從30個球中摸出5個球的組合數(shù)為： ,；那么,，

如果令X表示摸出紅球的個數(shù)，則X服從N＝30,，M＝5,，n＝10，m＝4的超幾何分布,，那么

例3. 將一枚均勻硬幣隨機擲100次,，相當于重復做了100次試驗，每次有兩個可能的結果（出現(xiàn)正面,，不出現(xiàn)正面），出現(xiàn)正面的概率為 ,。

如果令X為硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù),，則X服從 的二項分布，那么

由此可以得到：“隨機擲100次硬幣正好出現(xiàn)50次正面”的概率為

在學習概率時會有一種誤解,，認為既然出現(xiàn)正面的概率為 ,，那么擲100次硬幣出現(xiàn)50次正面是必然的，或者這個事件發(fā)生的概率應該很大,。但計算表明這概率只有8%左右,。

例4. 據(jù)氣象預報，某地區(qū)下個月有小洪水的概率為0.25,，有大洪水的概率為0.01,。設工地上有一臺大型設備，為保護設備有以下三種方案,。

方案1：運走設備,，此時需花費3800元。

方案2：建一保護圍墻,，需花費2000元,。但圍墻無法防止大洪水，當大洪水來臨,，設備受損,，損失費為60000元。

方案3：不采取措施,，希望不發(fā)生洪水,。此時大洪水來臨損失60000元,，小洪水來臨損失10000元。試比較哪一種方案好,。

選修3－1 數(shù)學史
數(shù)學史選講

1. 早期算術與幾何——計數(shù)與測量

◆紙草書中記錄的數(shù)學（古代埃及）,。

◆泥板書中記錄的數(shù)學（兩河流域）。

◆中國《周髀算經》,、勾股定理（趙爽的圖）,。

◆十進位值制的發(fā)展。

2. 古希臘數(shù)學

◆畢達哥拉斯多邊形數(shù),，從勾股定理到勾股數(shù),，不可公度問題。

◆歐幾里得與《幾何原本》,，演繹邏輯系統(tǒng),，第五公設問題，尺規(guī)作圖,，公理化思想對近代科學的深遠影響,。

◆阿基米德的工作：求積法。

3. 中國古代數(shù)學瑰寶

◆《九章算術》中的數(shù)學（方程術,、加減消元法,、正負數(shù)）。

◆大衍求一術（孫子定理）,。

◆中國古代數(shù)學家介紹,。

4. 平面解析幾何的產生——數(shù)與形的結合

◆函數(shù)與曲線。

◆笛卡兒方法論的意義,。

5. 微積分的產生——劃時代的成就

6. 近代數(shù)學兩巨星——歐拉與高斯

◆歐拉的數(shù)學直覺,。

◆高斯時代的特點（數(shù)學嚴密化）。

7. 千古謎題——伽羅瓦的解答

◆從阿貝爾到伽羅瓦（一個中數(shù)學家）,。

◆幾何作圖三大難題,。

◆近世代數(shù)的產生。

8. 康托的集合論——對無限的思考

◆無限集合與勢,。

◆羅素悖論與數(shù)學基礎（哥德爾不完備定理）,。

9. 隨機思想的發(fā)展

◆概率論溯源。

◆近代統(tǒng)計學的緣起,。

10. 算法思想的歷程

◆算法的歷史背景,。

◆計算機科學中的算法。

11. 中國現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展

◆現(xiàn)代中國數(shù)學家奮發(fā)拼搏,，趕超世界數(shù)學先進水平的光輝歷程,。

說明與建議

1.本專題不必追求數(shù)學發(fā)展歷史的系統(tǒng)性和完整性，通過生動活潑的語言與喜聞樂見的事例呈現(xiàn)內容，使體會數(shù)學的重要思想和發(fā)展軌跡,。本專題的內容安排可以采取多種形式,，既可以由古到今，追尋數(shù)學發(fā)展的歷史,；也可以從現(xiàn)實的,、熟悉的數(shù)學問題出發(fā)，追根溯源,，回眸數(shù)學發(fā)展中的重要事件和人物,。例如，可以從“我們現(xiàn)在有多少種記數(shù)方法”出發(fā),，追溯歷史上的記數(shù)法（巴比倫的60進制,、英國的12進制、計算機的二進制以及10進制,，二進制與中國的八卦）,。又如，可以從熟悉的π入手,，漫談祖沖之的成果,，用隨機數(shù)方法計算π，介紹古希臘和中國古代如何對待無理數(shù),、目前計算機可以算π到小數(shù)點后多少位等問題,。

2. 以上所提供的內容僅僅是一種選擇，本專題內容的安排可以根據(jù)具體情況,，作適當調整。內容應突出所蘊涵的思想性,，突出數(shù)學發(fā)展的軌跡,，突出數(shù)學家刻苦鉆研的科學精神。內容的選擇要符合的接受水平,，呈現(xiàn)方式應圖文并茂,、豐富多彩，引起的興趣,。

3. 教學方式應靈活多樣,，可采取講故事、討論交流,、查閱資料,、撰寫報告等方式進行。教師應鼓勵對數(shù)學發(fā)展的歷史軌跡,。自己感興趣的歷史事件與人物,，寫出自己的研究報告。

選修3－2 信息安全與密碼
1. 初等數(shù)論的有關知識

（1）了解整除和同余，模m的完全同余系和簡化剩余系,，歐拉定理和費馬小定理,，大數(shù)分解問題。

（2）了解歐拉函數(shù)的定義和計算公式,，威爾遜定理及在素數(shù)判別中的應用,，原根與指數(shù)，模p的原根存在性,，離散對數(shù)問題,。

2. 數(shù)論在信息安全中的應用

（1）了解通訊安全中的有關概念（如明文、密文,、密鑰）和通訊安全中的基本問題（如保密,、數(shù)字簽名、密鑰管理,、分配和共享）,。

（2）了解古典密碼的一個例子：流密碼（利用模m同余方式）。

（3）理解公鑰體制（單向函數(shù)概念）,，以及加密和數(shù)字簽名的方法（基于大數(shù)分解的RSA方案）,。

（4）理解離散對數(shù)在密鑰交換和分配中的應用——棣弗－赫爾曼（Diffi-Hellman）方案。

（5）理解離散對數(shù)在加密和數(shù)字簽名中的應用——蓋莫爾（ElGamal）算法,。

（6）了解拉格朗日插值公式在密鑰共享中的應用,。

選修3－3 球面上的幾何
1. 通過豐富的實際問題（如測量、航空,、衛(wèi)星定位）,，體會引入球面幾何知識的必要性。

2. 通過球面圖形與平面圖形的比較,，感受球面幾何與歐氏平面幾何的異同,。例如，球面上的大圓相當于平面上的直線,，球面上兩點之間的最短距離是大圓弧的劣弧部分,，球冪定理。

3.體會球面具有類似平面的對稱性質,。

4. 了解球面上的一些基本圖形：大圓,、小圓、球面角,、球面二角形（月形）,、極與赤道、球面三角形,、球面三角形的極對稱三角形（簡稱球極三角形）,。

5. 通過球面幾何與歐氏平面幾何比較，探索歐氏平面圖形的哪些性質能推廣到球面上，并說明理由,，由此理解球面三角形的全等定理s.s.s,，s.a.s，a.s.a,。

6. 理解單位球面三角形的面積公式（ ）,，由此體會球面三角形內角和大于180°。

7. 了解球面三角形全等的a.a.a定理,。

8. 利用球面三角形面積公式證明歐拉公式,，體驗球面幾何與拓撲學的關系。

9. 利用向量的叉乘（向量積）探索并證明球面余弦定理（ ）和球面上的勾股定理（即當 時的球面余弦定理）,，能從球面的余弦定理推導出球面的正弦定理 ,。

10. 體會當球面半徑無限增大時，球面接近于平面,，球面的三角公式就變成相應的平面三角公式,。

11. 初步了解另一種非歐幾何模型——龐加萊模型。

選修3－4 對稱與群
1. 通過豐富的對稱圖形,，體驗日常生活和現(xiàn)實世界中存在著大量對稱現(xiàn)象與總的特點,。

2. 了解剛體運動的基本性質和規(guī)律。

3. 通過分析圖形的不同對稱性和剛體運動,，尋求刻畫不同圖形對稱性的思想,，逐步形成圖形對稱變換的概念。

4.找出其所有對稱變換,。

5.逐步形成對稱變換合成的概念,，理解對稱變換合成的封閉性。

6.通過操作認識對稱變換滿足結合律,。

7.通過操作,，理解恒等變換的概念，逆變換的概念及其性質,，針對具體的圖形能找出一個對稱變換的逆變換。

8.建立變換群的概念,，并初步了解抽象群的概念,。

9. 能借助幾何直觀求出一些幾何圖形和具有一定對稱性的簡單化學分子模型的對稱群。

10.了解一種群的表示方法——乘法表示法,。

11.了解一種由較為簡單群構造出較為復雜群的方法——直積,。

12. 了解群論在現(xiàn)實生活中的重要應用，如晶體分類定理,。

13. 考察其他形式的對稱變換,，如代數(shù)式。通過二次、三次方程的求解過程,，了解代數(shù)方程根的對稱群的含義,，并了解伽羅瓦利用群論方法解決方程根式解問題的科學史實，感受群論在現(xiàn)代數(shù)學中的重大作用,。

選修3－5 歐拉公式與閉曲面分類
1. 復習已學過的變換,，并使用它們對平面圖形分類

（1）復習平移、旋轉,、平面運動,、反射、全等,、位似,、伸縮、相似變換,，以及對平面圖形分類,。

（2）在上述變換下，探索什么幾何性質是不變的,。

（3）體會變換的一些基本特征：1－1對應,，連續(xù)。

2. 歐拉公式

（1）通過探索發(fā)現(xiàn)歐拉公式的過程,，理解歐拉公式,。

（2）理解歐拉公式的拓撲證明。

（3）使用歐拉公式解決一些問題（如探索正多面體的個數(shù)）,。

（4）探索非歐拉多面形的面數(shù),、棱數(shù)、頂點數(shù)的關系,。

3. 理解曲面三角剖分的概念,。

4. 會對一些曲面進行三角剖分，并能計算它們的歐拉示性數(shù),。

5. 了解拓撲變換的直觀含義,。

6. 知道一些拓撲不變量，并能用它們對一些曲線,、閉曲面進行分類,，了解一些曲線、閉曲面的分類結果,。

7. 了解拓撲思想的一些應用（如平面布線問題,、一筆畫問題、布勞威爾不動點定理與經濟穩(wěn)定點問題,、四色問題）,。

選修3－5 三等分角與數(shù)域擴充
1. 了解古希臘三大幾何作圖問題,，通過三等分角問題了解它們的正確提法。在不限于圓規(guī)和直尺的前提下,，了解三等分角的幾種不同作法,。

2. 理解解決三等分角問題的基本思路——刻畫尺規(guī)作圖的范圍。

3. 給定線段a,，b,，會用尺規(guī)作圖方法作出長為 的線段。

4. 對于給定的任何已知線段,，若把它作為單位長,，則任一（正）有理數(shù)是可作圖的（即僅用圓規(guī)和直尺可作出該有理數(shù)長的線段）。

5. 通過有理數(shù)對加,、減、乘,、除運算的封閉性,，了解有理數(shù)域和一般數(shù)域的概念。

6. 設F是一數(shù)域,， 且 ,。證明：集合 也是一個數(shù)域，且F是集合 的子集合,。了解擴域的概念,。

7. 給出一些數(shù)域、擴域的具體實例,。

8. 給定長為a的線段,，會用尺規(guī)作圖方法作出長為 的線段。

9. 學會把三等分角問題代數(shù)化,。

10. 證明：不能用尺規(guī)作圖的方法三等分60度角,。

11. 用上述方法討論“倍方問題”或“用圓規(guī)和直尺不可能作出正七邊形”。

12. 體會解決古希臘三大作圖問題的思想方法和它在人們思想認識上的作用,。

13. 了解復數(shù)乘法的棣莫弗公式,，會用代數(shù)方法討論正十七邊形是可作圖的（即可用尺規(guī)作圖方法作出正十七邊形）。

選修4－1 幾何證明選講
1. 復習相似三角形的定義與性質,，了解平行截割定理,，證明直角三角形射影定理。

2. 證明圓周角定理,、圓的切線的判定定理及性質定理,。

3. 證明相交弦定理,、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理,。

4. 了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關系,，體會平行投影；證明平面與圓柱面的截線是橢圓（特殊情形是圓）,。

5. 通過觀察平面截圓錐面的情境，體會下面定理：

定理 在空間中,，取直線 為軸,，直線 與 相交于O點，其夾角為α,， 圍繞 旋轉得到以O為頂點,， 為母線的圓錐面，任取平面π,，若它與軸 交角為β（π與 平行,，記住β＝0）,，則：

（1）β＞α,，平面π與圓錐的交線為橢圓；

（2）β＝α,，平面π與圓錐的交線為拋物線,；

（3）β＜α，平面π與圓錐的交線為雙曲線,。

6. 利用Dandelin雙球（這兩個球位于圓錐的內部,，一個位于平面π的上方，一個位于平面π的下方,，并且與平面π及圓錐均相切）證明上述定理（1）情況,。

7.試證明以下結果：①在6中，一個Dandelin球與圓錐面的交線為一個圓,，并與圓錐的底面平行,，記這個圓所在平面為π'；②如果平面π與平面π'的交線為m,，在5（1）中橢圓上任取一點A,，該Dandelin球與平面π的切點為F，則點A到點F的距離與點A到直線m的距離比是小于1的常數(shù)e,。（稱點F為這個橢圓的焦點,，直線m為橢圓的準線,，常數(shù)e為離心率。）

8. 探索定理中（3）的證明,，體會當β無限接近α時平面π的極限結果,。

選修4－2 矩陣與變換
內容與要求

1. 引入二階矩陣

2. 二階矩陣與平面向量（列向量）的乘法、平面圖形的變換

（1）以映射和變換的觀點認識矩陣與向量乘法的意義,。

（2）證明矩陣變換把平面上的直線變成直線（或點）,，即證明

（3）通過大量具體的矩陣對平面上給定圖形（如正方形）的變換，認識到矩陣可表示如下的線性變換：恒等,、反射,、伸壓、旋轉,、切變,、投影。

3. 變換的復合——二階方陣的乘法

（1）通過變換的實例,，了解矩陣與矩陣的乘法的意義,。

（2）通過具體的幾何圖形變換，說明矩陣乘法不滿足交換律,。

（3）驗證二階方陣乘法滿足結合律,。

（4）通過具體的幾何圖形變換，說明乘法不滿足消去律,。

4. 逆矩陣與二階行列式

（1）通過具體圖形變換,，理解逆矩陣的意義；通過具體的投影變換,，說明逆矩陣可能不存在,。

（2）會證明逆矩陣的唯一性和 等簡單性質，并了解其在變換中的意義,。

（3）了解二階行列式的定義,，會用二階行列式求逆矩陣。

5. 二階矩陣與二元一次方程組

（1）能用變換與映射的觀點認識解線性方程組的意義,。

（2）會用系數(shù)矩陣的逆矩陣解方程組,。

（3）會通過具體的系數(shù)矩陣，從幾何上說明線性方程組解的存在性,，唯一性,。

6. 變換的不變量

（1）掌握矩陣特征值與特征向量的定義，能從幾何變換的角度說明特征向量的意義,。

（2）會求二階方陣的特征值與特征向量（只要求特征值是兩個不同實數(shù)的情形）,。

7. 矩陣的應用

（1）利用矩陣A的特征值、特征向量給出 簡單的表示,，并能用它來解決問題,。

（2）初步了解三階或高階矩陣,。

（3）了解矩陣的應用。

選修4－3 數(shù)列與差分
1. 數(shù)列的差分

（1）通過一些具體實例,，理解數(shù)列差分的概念。

（2）理解數(shù)列的一,、二階差分以及它們對描述數(shù)列變化的意義,，結合數(shù)列（作為函數(shù)）的圖象，了解差分與數(shù)列的增減,、極值,、數(shù)列圖象的凹凸的關系。

2. 一階線性差分方程

（1）通過一些具體實例,，體會方程 是十分有用的數(shù)學模型,。

（2）理解方程 中，當b＝0（即方程為齊次方程）時,，其解為等比數(shù)列,；當k＝1（即差分為常數(shù)）時，其解為等差數(shù)列,。

（3）認識方程 的通解,、特解，了解方程的解與相應的齊次方程 通解的關系,；能給出方程 的通解公式,。

3. （二元）一階線性差分方程組

（1）通過一些實例，認識一階線性差分方程組是描述現(xiàn)實世界的一個重要模型,。

（2）了解一階線性差分方程組的通解,、特解與其相應齊次方程組通解的關系。

（3）給定初值,，會用迭代法求一階線性差分方程組的解,；能寫出求解的算法框圖。

（4）對給定的具體方程組,，能初步討論當n→∞時,，解（數(shù)列）的變化趨勢（收斂、發(fā)散,、周期）,。

4. 通過具體實例（如種群增長等），體會方程 是十分有用的數(shù)學模型,。借助計算工具,，用迭代法分別對k取一些特殊值（如0＜k≤1，1＜k≤3,，k＝3.4,，k＝3.55,，k＝3.7）的情形，討論 的變化,，初步了解非線性問題的復雜性,。

5. 應用

（1）學會用差分方程和差分方程組解決一些簡單的實際問題。

（2）初步體會連續(xù)變量離散化的思想,，能用它來討論一些簡單的問題,。

選修4－4 坐標系與參數(shù)方程
1. 坐標系

（1）回顧在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法，體會坐標系的作用,。

（2）通過具體例子,，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況。

（3）能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置,，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別,，能進行極坐標和直角坐標的互化。

（4）能在極坐標系中給出簡單圖形（如過極點的直線,、過極點或圓心在極點的圓）的方程,。通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，體會在用方程刻畫平面圖形時選擇適當坐標系的意義,。

（5）借助具體實例（如圓形體育場看臺的座位,、地球的經緯度等）了解在柱坐標系、球坐標系中刻畫空間中點的位置的方法,，并與空間直角坐標系中刻畫點的位置的方法相比較,，體會它們的區(qū)別。

2. 參數(shù)方程

（1）通過分析拋物運動中時間與運動物體位置的關系,，寫出拋物運動軌跡的參數(shù)方程,，體會參數(shù)的意義。

（2）分析直線,、圓和圓錐曲線的幾何性質,，選擇適當?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程。

（3）舉例說明某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更方便,，感受參數(shù)方程的優(yōu)越性,。

（4）借助教具或計算機軟件，觀察圓在直線上滾動時圓上定點的軌跡（平擺線）,、直線在圓上滾動時直線上定點的軌跡（漸開線）,，了解平擺線和漸開線的生成過程，并能推導出它們的參數(shù)方程,。

（5）通過閱讀材料,，了解其他擺線（變幅平擺線、變幅漸開線、外擺線,、內擺線,、環(huán)擺線）的生成過程；了解擺線在實際中應用的實例（例如,，最速降線是平擺線,，橢圓是特殊的內擺線——卡丹轉盤，圓擺線齒輪與漸開線齒輪,，收割機,、翻土機等機械裝置的擺線原理與設計，星形線與公共汽車門）,；了解擺線在刻畫行星運動軌道中的作用。

選修4－5 不等式選講
1. 回顧和復習不等式的基本性質和基本不等式,。

2. 理解絕對值的幾何意義,，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：

（1） ；

（2） ,；

（3）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：

3. 認識柯西不等式的幾種不同形式,。理解它們的幾何意義。

（1）證明：柯西不等式向量形式： ,。

（2）證明： ,。

（3）證明：

（通常稱作平面三角不等式）。

4. 用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況：

,。

5. 用向量遞歸方法討論排序不等式,。

6. 了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題,。

7. 會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式：

（ ,，n為大于1的正整數(shù)）。

了解當n為大于1的實數(shù)時貝努利不等式也成立,。

8. 會用上述不等式證明一些簡單問題,。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值,。

9. 通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法,、綜合法、分析法,、反證法,、放縮法。

坐標向量相乘:向量A(X,Y)向量B(Z,K)求A乘B → A·B=XZ+YK

選修4－6 初等數(shù)論初步
1.認識帶余除法,，理解同余和剩余類的概念及意義,，探索剩余類的運算性質（加法和乘法），并且理解它的實際意義。體會剩余類運算與傳統(tǒng)的數(shù)的運算的異同（會出現(xiàn)零因子）,。

2. 理解整除,、因數(shù)和素數(shù)的概念，了解確定素數(shù)的方法（篩法）,，知道素數(shù)有無窮多,。

3. 了解十進制表示的整數(shù)的整除判別法，探索整數(shù)能被3,，9,，11，7等整除的判別法,。會檢查整數(shù)加法,、乘法運算錯誤的一種方法。

4.探索利用輾轉相除法求兩個整數(shù)的最大公約數(shù)的方法,，理解互素的概念,，并能用輾轉相除法證明：若a能整除bc，且a,，b互素,，則a能整除c。探索公因數(shù)和公倍數(shù)的性質,。了解算術基本定理,。

5.理解一次不定方程的模型，利用輾轉相除法求解一次不定方程,。并嘗試寫出算法程序框圖,，在條件允許的情況下，可上機實現(xiàn),。

6. 通過實例（如韓信點兵）,，理解一次同余方程組模型。

7. 理解大衍求一術和孫子定理的證明,。

8. 理解費馬小定理和歐拉定理及其證明,。

費馬小定理：當m是素數(shù)，a,、m互素時,， 。

歐拉定理：當a,、m互素時,， ，其中 是 中與m互素的數(shù)的個數(shù),。

9. 了解數(shù)論在密碼中的應用——公開密鑰,。

選修4－7 優(yōu)選法與試驗設計初步
1.感受在現(xiàn)實生活中存在著大量的優(yōu)選問題,。

2.掌握分數(shù)法、0.618法及其適用范圍,，可以利用計算機（或計算器）進行試驗,，并能思考和嘗試運用這些方法解決一些實際問題，體會優(yōu)選的思想方法,。

3. 了解斐波那契數(shù)列｛ ｝,，理解在試驗次數(shù)確定的情況下分數(shù)法最佳性的證明，通過連分數(shù)知道 和黃金分割的關系,。

4.知道對分法,、爬山法、分批試驗法,，以及目標函數(shù)為多峰情況下的處理方法,。

5.了解多因素優(yōu)選問題，了解處理雙因素問題的一些優(yōu)選方法,，進一步體會優(yōu)選的思想方法,。

6.感受在現(xiàn)實生活中存在著大量的試驗設計問題。

7.理解運用正交試驗設計方法解決簡單問題的過程,，了解正交試驗的思想和方法，并能運用這種方法思考和解決一些簡單的實際問題,。

選修4－8 統(tǒng)籌法與圖論初步
1. 統(tǒng)籌方法

（1）通過實例了解統(tǒng)籌問題的思想及其應用的廣泛性,。

（2）通過實例理解統(tǒng)籌法中的基本概念。

（3）通過實例掌握繪制統(tǒng)籌圖的方法,。

（4）學會計算統(tǒng)籌圖中的參數(shù)：事項最早開始時間和最遲到達時間,，工序的時差。

（5）學會尋找統(tǒng)籌圖的關鍵路,，掌握尋找關鍵路的算法,，理解關鍵路的重要性。

（6）會用統(tǒng)籌方法分析和處理簡單的實際問題,。

2. 圖論初步

（1）了解圖的基本概念和圖在刻畫實際問題中關系的作用,。

（2）了解圖的生成樹，掌握求圖的生成樹和最小生成樹的算法,。

（3）了解圖的最短路問題,，掌握求圖的最短路的算法。

（4）了解一些圖論的其他問題,，并知道算法的復雜性,。

選修4－9 風險與決策
1. 從日常生活及經濟活動中的實例分析，形成重視風險的意識,、理解風險決策的必要性和重要性,，理解風險決策的概念。

2.理解損益函數(shù)與損益矩陣，探索決策的途徑與方法,，理解決策結論的意義,。

3. 學會用決策樹表示需要決策問題的有關信息，能用反推決策樹的方法進行決策,。

4.理解風險決策靈敏度分析的意義,，會進行決策的靈敏度分析。

5.了解馬爾可夫型決策及其決策方法,。

選修4－10 開關電路與布爾代數(shù)
1. 通過開關電路知道電路和電路的兩種狀態(tài)以及它們的數(shù)學表示,。知道什么是兩個電路的并聯(lián)和串聯(lián)，什么是逆反電路,，以及它們的狀態(tài)是怎樣確定的,。

2. 通過對開關電路的分析，認識新電路的狀態(tài)是由原電路的狀態(tài)通過運算形成的,。掌握狀態(tài)和狀態(tài)的運算兩個概念,。

3. 通過狀態(tài)和狀態(tài)的運算，抽象出布爾代數(shù),、電路函數(shù)和電路多項式的概念,。感悟從實際問題抽象、概括為數(shù)學問題的過程和用數(shù)學理論解決實際問題的思想方法,。

4. 理解任意電路都可以用一個電路函數(shù)來表示,，而電路函數(shù)又都可以用一個電路多項式實現(xiàn)。

5. 通過命題演算的學習,，了解什么是命題和命題的取值,。認識什么是兩個命題的“或命題”和“且命題”，什么是一個命題的“非命題”（“否定命題”）,，這些新命題的取值是怎樣確定的,。

6. 比較開關電路與命題演算的關系，并能嘗試用簡單的例子說明,。比較布爾代數(shù)與有理數(shù)系中的運算,，考慮它們之間的共同點、不同點和相似之處,。