中考復(fù)習(xí)之二次根式的概念

知識(shí)考點(diǎn)：

數(shù)的開(kāi)方是學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程的準(zhǔn)備知識(shí),，二次根式是初中代數(shù)的重要基礎(chǔ),，應(yīng)熟練掌握平方根的有關(guān)概念、求法以及二次根式的性質(zhì),。

精典例題：

【例1】填空題：

（1）的平方根是          ,；的算術(shù)平方根是          ；的算術(shù)平方根是          ,；的立方根是          ,。

（2）若是的立方根，則＝        ,；若的平方根是±6,，則＝    。

（3）若有意義,，則          ,；若有意義，則         ,。

（4）若,，則          ；若,，則          ,；若，則        ,；若有意義,，則的取值范圍是          ；

（5）若有意義,，則＝          ,。

（6）若＜0,，則＝          ；若＜0,，化簡(jiǎn)＝          ,。

答案：（1），,，,，；（2）,，6,；（3）≤，≠2,；

     （4）≤0,，≥，＜0,，≥－1且≠0,；（5）；

     （6）,，

【例2】選擇題：

1,、式子成立的條件是（    ）

A、≥3        B,、≤1            C,、1≤≤3      D、1＜≤3

2,、下列等式不成立的是（    ）

    A,、    B、     C,、      D,、

3、若＜2,，化簡(jiǎn)的正確結(jié)果是（    ）

    A,、－1              B、1            C,、            D,、

4、式子（＞0）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（    ）

    A,、      B、        C,、          D,、

    答案：DDDA

【例3】解答題：

（1）已知,，求的值。

（2）設(shè),、都是實(shí)數(shù),，且滿足，求的值,。

分析：解決題（1）的問(wèn)題,，一般不需要將的值求出，可將等式兩邊同時(shí)平方,，可求得,，再求的值，開(kāi)方即得所求代數(shù)式的值,；題（2）中,，由被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)得，但分母,，故,，代入原等式求得的值。

略解：（1）由得：,，

          故

         （2）    解得,，

              ∴＝1

探索與創(chuàng)新：

【問(wèn)題一】最簡(jiǎn)根式與能是同類(lèi)根式嗎？若能,，求出,、的值；若不能,，請(qǐng)說(shuō)明理由,。

分析：二次根式的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則根式無(wú)意義,，不是同類(lèi)二次根式,。

略解：假設(shè)他們是同類(lèi)根式，則有：

            解得

      把代入兩根式皆為無(wú)意義,，故它們不能是同類(lèi)根式,。

【問(wèn)題二】觀察下面各式及其驗(yàn)證過(guò)程：

（1）

     驗(yàn)證：

（2）

     驗(yàn)證：

（3）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證,；

（4）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律,，寫(xiě)出用（為任意自然數(shù)，且≥2）表示的等式,，并給出證明,。

分析：本題是一道常見(jiàn)的探索性題型，通過(guò)從特殊到一船的歸納方法來(lái)觀察和分析,，類(lèi)比得出用表示的等式：

    解答過(guò)程略,。

跟蹤訓(xùn)練：

一,、填空題：

1、的平方根是          ,；的算術(shù)平方根是          ,；的立方根是          ；

2,、當(dāng)         時(shí),，無(wú)意義；有意義的條件是          ,。

3,、如果的平方根是±2，那么＝          ,。

4,、最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，則＝      ,，＝     ,。

5、如果,，則,、應(yīng)滿足                    。

6,、把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)：＝          ,；當(dāng)＞0時(shí)，＝        ,；＝        ,。

7、若,，則＝            ,。

8、若＜0,，化簡(jiǎn)：＝          ,。

二、選擇題：

1,、如果一個(gè)數(shù)的平方根與它的立方根相同,，那么這個(gè)數(shù)是（    ）

    A、±1                B,、0              C,、1              D、0和1

2、在,、,、、,、中，最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)是（    ）

    A,、1                B,、2                C、3              D,、4

3,、下列說(shuō)法正確的是（    ）

    A、0沒(méi)有平方根                      B,、－1的平方根是－1

C,、4的平方根是－2                   D、的算術(shù)平方根是3

4,、的算術(shù)平方根是（    ）

A,、6              B、－6            C,、          D,、

5、對(duì)于任意實(shí)數(shù),，下列等式成立的是（    ）

A,、      B、        C,、      D,、

6、設(shè)的小數(shù)部分為,，則的值是（    ）

A,、1        B、是一個(gè)無(wú)理數(shù)          C,、3          D,、無(wú)法確定

7、若,，則的值是（    ）

A,、        B、            C,、2          D,、

8、如果1≤≤，則的值是（    ）

A,、          B,、            C、        D,、1

9,、二次根式：①；②,；③,；④；⑤中最簡(jiǎn)二次根式是（    ）

    A,、①②            B,、③④⑤        C、②③          D,、只有④

三,、計(jì)算題：

    1、,；

    2,、；

    3,、,。

四、若,、為實(shí)數(shù),，且＜，化簡(jiǎn)：,。

五,、如果的小數(shù)部分是，的小數(shù)部分是,，試求的值,。

六、已知是的算術(shù)平方根,，是的立方根,，求A＋B的次方根的值。

七,、已知正數(shù)和,，有下列命題：

    （1）若，則≤1,；

    （2）若,，則≤,；

    （3）若，則≤3,；

     根據(jù)以上三個(gè)命題所提供的規(guī)律猜想：若,，則≤        。

八,、由下列等式：＝2 ,，＝3 ，＝4 ,，……所提示的規(guī)律,，可得出一般的結(jié)論是                        。

九,、閱讀下面的解題過(guò)程，判斷是否正確,？若不正確,，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答。

    已知為實(shí)數(shù),，化簡(jiǎn)：

    解：原式＝

            ＝

參考答案

一,、填空題：

    1、±21,，,，；2,、,，≤2且≠－8；3,、16,；4、1,，1,；

5、≤且≥0,；6,、，,，,；7、0.12,；8,、

二、選擇題：BADCD，CCDA

三,、解答題：

    1,、－0.55；2,、35,；3、

四,、＝2,，＜2，原式＝3

五,、

六,、＝2，＝3,，A＝2,，B＝－1；

    當(dāng)為奇數(shù)時(shí),，A＋B的次方根為1,；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，A＋B的次方根為±1,；

七,、

八、＝ （為大于1的自然數(shù)）

九,、不正確,，正確解答是：原式＝＝