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雙線性變換法1 - 光子的日志 - 網(wǎng)易博客

 cici0086 2010-12-14

雙線性變換法

濾波器 2009-09-18 20:56:07 閱讀354 評論0   字號: 訂閱

          沖擊響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器在時域上模仿模擬濾波器的沖擊響應(yīng),但是它的缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻響的混疊失真,,這是因?yàn)閺膕平面到z平面不是一一映射關(guān)系。為了克服這個缺點(diǎn),可以采用雙線性變換法,。既然沖擊響應(yīng)不變法是將一條橫帶變換到整個z平面上去,可以將s平面壓縮變換到某一中介s1平面的一條橫帶里,,再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z=exp(s1*T)將此帶變換到整個z平面上去,,這樣就使s平面與z平面之間建立一一對應(yīng)的單值關(guān)系,消除了多值變換性,。為了將s平面的jΩ軸壓縮到s1平面的jΩ1軸上的-pi/T到pi/T一段上,,可以通過以下的正切變換來實(shí)現(xiàn):

                                              Ω=c*tan(Ω1*T/2)

這里c是任意常數(shù)。這樣當(dāng)Ω1由-pi/T經(jīng)0變化到pi/T時,,Ω由-∞經(jīng)過0變化到+∞,,也映射到了整個jΩ軸。將這個關(guān)系延拓到整個s平面和s1平面,,則可以得到

                                       s=c*tanh(s1*T/2)=c*[1-exp(-s1*T)] / [1+exp(-s1*T)]

再將s1平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z平面,,即令z=exp(s1*T),并且,,通常取c=2/T,,得到

                                    s=(2/T) * [1-z^(-1)] / [1+z^(-1)]

同樣對z求解,得到

                                  z=[1+((2/T)*s] / [1-((2/T)*s]

這樣的變換叫做雙線性變換,。為了驗(yàn)證這種映射具有s平面的虛軸映射到z平面單位圓上的特性,,考慮z=exp(j*ω),得

                          s=(2/T) * [1-exp(-j*ω)] / [1+exp(-j*ω)]

                           =(2/T) * j*[sin(ω/2)]/ cos(ω/2)]

                           =(2/T) * j * tan(ω/2)=jΩ

     

           除了使s平面的虛軸映射到單位圓上之外,,s平面的左半部分映射到單位圓的內(nèi)部,,s平面的右半部分映射到單位圓的外部。觀察式子  z=[1+((2/T)*s] / [1-((2/T)*s],,發(fā)現(xiàn)s的實(shí)部為負(fù)時,,因子[1+((2/T)*s] / [1-((2/T)*s]的幅度小于1,相當(dāng)于單位圓的內(nèi)部,。反之,,當(dāng)s的實(shí)部為負(fù)時,該比值的幅度大于1,,相當(dāng)于單位圓的外部,。這樣就可以看出使用雙線性變換可從穩(wěn)定的模擬濾波器得到穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。雙線性變換法還避免了使用脈沖響應(yīng)不變法所遇到的混疊問題,,因?yàn)樗裺平面的這個虛軸映射到z平面的單位圓上,。然而,付出的代價是在頻率軸上引入了失真,。因此,,只有當(dāng)能容忍或補(bǔ)償這種失真時,使用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器的方法才是實(shí)用的,。僅在零頻率附近時Ω與ω之間的頻率變換關(guān)系接近于線性關(guān)系,,所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變,。例如:一個模擬微分器,它的幅度與頻率是直線關(guān)系,,但是通過雙線性變換后,,就不可能得到數(shù)字微分器。

       對于分段常數(shù)的濾波器,,雙線性變換后,,仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器,但是各分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變,,這種頻率的畸變,,可以通過頻率的預(yù)畸變來加以校正,也就是將臨界頻率事先加以畸變,,然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的頻率上,。通過Ω=(2/T) * tan(ω/2)的關(guān)系變換成一組模擬頻率。

 

 

       為了克服沖擊響應(yīng)不變法產(chǎn)生的頻率混疊現(xiàn)象,,我們需要使s平面與z平面建立一一對應(yīng)的單值關(guān)系,,即求出s=f(z),然后將其代入G(s)就可以求得H(z),,即

                                                     H(z)=G(s) | s=f(z)

 

 

          沖擊響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器在時域上模仿模擬濾波器的沖擊響應(yīng),,但是它的缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻響的混疊失真,這是因?yàn)閺膕平面到z平面不是一一映射關(guān)系,。為了克服這個缺點(diǎn),,可以采用雙線性變換法。既然沖擊響應(yīng)不變法是將一條橫帶變換到整個z平面上去,,可以將s平面壓縮變換到某一中介s1平面的一條橫帶里,,再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z=exp(s1*T)將此帶變換到整個z平面上去,這樣就使s平面與z平面之間建立一一對應(yīng)的單值關(guān)系,,消除了多值變換性,。為了將s平面的jΩ軸壓縮到s1平面的jΩ1軸上的-pi/T到pi/T一段上,可以通過以下的正切變換來實(shí)現(xiàn):

                                              Ω=c*tan(Ω1*T/2)

這里c是任意常數(shù),。這樣當(dāng)Ω1由-pi/T經(jīng)0變化到pi/T時,,Ω由-∞經(jīng)過0變化到+∞,也映射到了整個jΩ軸,。將這個關(guān)系延拓到整個s平面和s1平面,,則可以得到

                                       s=c*tanh(s1*T/2)=c*[1-exp(-s1*T)] / [1+exp(-s1*T)]

再將s1平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z平面,即令z=exp(s1*T),,并且,通常取c=2/T,,得到

                                    s=(2/T) * [1-z^(-1)] / [1+z^(-1)]

同樣對z求解,,得到

                                  z=[1+((2/T)*s] / [1-((2/T)*s]

這樣的變換叫做雙線性變換,。為了驗(yàn)證這種映射具有s平面的虛軸映射到z平面單位圓上的特性,考慮z=exp(j*ω),,得

                          s=(2/T) * [1-exp(-j*ω)] / [1+exp(-j*ω)]

                           =(2/T) * j*[sin(ω/2)]/ cos(ω/2)]

                           =(2/T) * j * tan(ω/2)=jΩ

     

           除了使s平面的虛軸映射到單位圓上之外,,s平面的左半部分映射到單位圓的內(nèi)部,s平面的右半部分映射到單位圓的外部,。觀察式子  z=[1+((2/T)*s] / [1-((2/T)*s],,發(fā)現(xiàn)s的實(shí)部為負(fù)時,因子[1+((2/T)*s] / [1-((2/T)*s]的幅度小于1,,相當(dāng)于單位圓的內(nèi)部,。反之,當(dāng)s的實(shí)部為負(fù)時,,該比值的幅度大于1,,相當(dāng)于單位圓的外部。這樣就可以看出使用雙線性變換可從穩(wěn)定的模擬濾波器得到穩(wěn)定的數(shù)字濾波器,。雙線性變換法還避免了使用脈沖響應(yīng)不變法所遇到的混疊問題,,因?yàn)樗裺平面的這個虛軸映射到z平面的單位圓上。然而,,付出的代價是在頻率軸上引入了失真,。因此,只有當(dāng)能容忍或補(bǔ)償這種失真時,,使用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器的方法才是實(shí)用的,。僅在零頻率附近時Ω與ω之間的頻率變換關(guān)系接近于線性關(guān)系,所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變,。例如:一個模擬微分器,,它的幅度與頻率是直線關(guān)系,但是通過雙線性變換后,,就不可能得到數(shù)字微分器,。

       對于分段常數(shù)的濾波器,雙線性變換后,,仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器,,但是各分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變,這種頻率的畸變,,可以通過頻率的預(yù)畸變來加以校正,,也就是將臨界頻率事先加以畸變,然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的頻率上,。通過Ω=(2/T) * tan(ω/2)的關(guān)系變換成一組模擬頻率,。

 

 

       為了克服沖擊響應(yīng)不變法產(chǎn)生的頻率混疊現(xiàn)象,我們需要使s平面與z平面建立一一對應(yīng)的單值關(guān)系,即求出s=f(z),,然后將其代入G(s)就可以求得H(z),,即

                                                     H(z)=G(s) | s=f(z)

 

      MATLAB信號處理工具箱中為實(shí)現(xiàn)雙線性變換提供了函數(shù)bilinear()

     [Zd, Pd, Kd]=bilinear(Z, P, K, Fs)         把模擬濾波器的零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的零極點(diǎn)模型,其中的Fs為采樣頻率,。

     [NUMd, DENd]=bilinear(NUM, DEN,  Fs)         把模擬濾波器的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)模型,,其中的Fs為采樣頻率。

     [Ad, Bd, Cd, Dd]=bilinear(A, B, C, D, Fs)         把模擬濾波器的狀態(tài)方程模型轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的狀態(tài)方程模型,,其中的Fs為采樣頻率,。

       以上三種濾波器可以另外限定預(yù)畸變頻率Fp,在進(jìn)行雙線性變換之前,,對采樣頻率進(jìn)行畸變,,以保證頻率沖擊響應(yīng)在雙線性變換前后具有良好的單值映射關(guān)系。具體的預(yù)畸變過程如下:

                              Fp=2*pi*Fp;

                             Fs=Fp/tan(Fp/Fs/2);

例如: [Zd, Pd, Kd]=bilinear(Z, P, K, Fs, Fp)在雙線性變換之前應(yīng)用了預(yù)畸變,。

 

例1:設(shè)計一個數(shù)字信號處理系統(tǒng),,它的采樣頻率Fs=100Hz,希望在該系統(tǒng)中設(shè)計一個Butterworth型高通數(shù)字濾波器,,使其通帶中允許的最大衰減為0.5dB,,阻帶內(nèi)的最小衰減為40dB,通帶上限臨界頻率為30Hz,,阻帶下限臨界頻率為40Hz,。

 程序設(shè)計如下:

      clc;
clear all;
%把數(shù)字濾波器的頻率特征轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的頻率特征
wp=30*2*pi; ws=40*2*pi; rp=0.5; rs=40; Fs=100;

%選擇濾波器的最小階數(shù)。
[N,Wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s');

%創(chuàng)建Butterworth低通濾波器的原型
[Z,P,K]=buttap(N);
[A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K);

%實(shí)現(xiàn)低通向低通的轉(zhuǎn)換
[AT,BT,CT,DT]=lp2hp(A,B,C,D,Wn);
[num1,den1]=ss2tf(AT,BT,CT,DT);

%運(yùn)用雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器
[num2,den2]=bilinear(num1,den1,Fs);

%繪出頻率響應(yīng)曲線
[H,W]=freqz(num2,den2);
plot(W*Fs/(2*pi),abs(H)); grid
xlabel('幅值');
ylabel('頻率');

 

例2:試用雙線性變換法設(shè)計一個Chebyshev2型高通濾波器,,使其幅頻特性逼近一個具有如下技術(shù)指標(biāo)的模擬高通Chebyshev2濾波器:ws=2*pi*1000,,wp=2*pi*1400,在ws處的最小衰減為15dB,,在wp處的最大衰減不超過0.3dB,,采樣頻率為20kHz。

程序設(shè)計如下:

   clc;
clear all;
%把數(shù)字濾波器的頻率特征轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的頻率特征
wp=2*pi*1400; wp1=wp*2*pi;
ws=2*pi*1000; ws1=ws*2*pi;
rp=0.3; rs=15; Fs=20000;

%選擇濾波器的最小階數(shù),。
[N,Wn]=cheb2ord(wp1,ws1,rp,rs,'s');

%創(chuàng)建Chebyshev2低通濾波器的原型
[Z,P,K]=cheb2ap(N, rs);
[A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K);

%實(shí)現(xiàn)低通向低通的轉(zhuǎn)換
[AT,BT,CT,DT]=lp2hp(A,B,C,D,Wn);

[AT1,BT1,CT1,DT1]=bilinear(AT,BT,CT,DT,Fs);
[num,den]=ss2tf(AT1,BT1,CT1,DT1);

%繪出頻率響應(yīng)曲線
[H,W]=freqz(num,den);
plot(W*Fs/(2*pi),abs(H)); grid
xlabel('幅值');
ylabel('頻率');

 

例3:試用雙線性變換法設(shè)計一個帶通橢圓濾波器使其幅頻特性逼近于一個具有如下技術(shù)指標(biāo)的模擬帶通橢圓濾波器:wp1=10Hz,,wp2=20Hz,ws1=5Hz,,ws2=25Hz,,在通帶內(nèi)的最大衰減為0.5dB,在阻帶內(nèi)的最小衰減為50dB,,采樣頻率為100Hz,。

程序設(shè)計如下:

clc;
clear all;
%把數(shù)字濾波器的頻率特征轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的頻率特征
wp1=2*pi*10; wp2=2*pi*20;  ws1=2*pi*5; ws2=2*pi*25; rp=0.5; rs=50;   Fs=100;
wp1=2*pi*wp1; wp2=2*pi*wp2; ws1=2*pi*ws1; ws2=2*pi*ws2;
WP=[wp1,wp2];   WS=[ws1,ws2];

%選擇濾波器的最小階數(shù)。
[N,Wn]=ellipord(WP/(Fs/2),WS/(Fs/2),rp,rs,'s');
Bw=Wn(2)-Wn(1);
Wo=sqrt(Wn(1)*Wn(2));

%創(chuàng)建ellipse低通濾波器的原型
[Z,P,K]=ellipap(N, rp,rs);
[A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K);

%實(shí)現(xiàn)低通向低通的轉(zhuǎn)換
[AT,BT,CT,DT]=lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw);

[AT1,BT1,CT1,DT1]=bilinear(AT,BT,CT,DT,Fs);
[num,den]=ss2tf(AT1,BT1,CT1,DT1);

%繪出頻率響應(yīng)曲線
[H,W]=freqz(num,den);
plot(W*Fs/(2*pi),abs(H)); grid
xlabel('幅值');
ylabel('頻率');

 

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