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第一講 引言 對“統(tǒng)計和概率”的整體思考 頭腦風(fēng)暴： 1．對于統(tǒng)計與概率，請寫出您認(rèn)為最重要的核心詞,。 2．在《標(biāo)準(zhǔn)》中,，統(tǒng)計與概率的學(xué)習(xí)包括哪些內(nèi)容？這些內(nèi)容與過去相比有哪些變化,？這種變化的意義是什么,？四個部分之間的關(guān)系是什么？ 3．在這部分教學(xué)中,，請寫出您印象最深刻的教學(xué)現(xiàn)象,？您還有哪些困惑的問題？ 以下列舉教師在教學(xué)中的困惑： 1．從低年級開始,，現(xiàn)在所有的實驗教材都已經(jīng)加強(qiáng)了統(tǒng)計與概率的內(nèi)容,，老師在教學(xué)過程當(dāng)中稍不留意就出現(xiàn)一個問題就是越位的現(xiàn)象。本來二年級要達(dá)到的目標(biāo)一年級就完成了,。教師對統(tǒng)計與概率的教學(xué)要求到底到什么程度上,，還不是很清楚。 ——統(tǒng)計與概率內(nèi)容不同階段的要求,。 2．一方面,，統(tǒng)計與概率的最大特點是應(yīng)用性非常廣泛，也有很多新穎的例子,；另一方面,，出現(xiàn)在教學(xué)過程當(dāng)中的例子還是不夠?qū)嶋H，對孩子的吸引力不夠大,。 ——學(xué)生感興趣的統(tǒng)計與概率學(xué)習(xí)或應(yīng)用的例子,。 3．教師都認(rèn)同應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計的過程,但感覺課堂上挺熱鬧,也不知道是否培養(yǎng)了學(xué)生的統(tǒng)計觀念? ——什么是統(tǒng)計觀念,？如何在統(tǒng)計過程中發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計觀念,？ 4．在概率實驗時，有時會出現(xiàn)頻率與概率差別比較大的情況,，學(xué)生糊涂了,，老師也不知如何處理？ ——教師如何指導(dǎo)學(xué)生做概率實驗,；是否要做概率實驗,。 5．到底什么是統(tǒng)計，什么是概率,？干嗎把這兩個內(nèi)容放在一起,？ ——對統(tǒng)計,、概率、統(tǒng)計與概率之間聯(lián)系的理解,。 雖然有很多困惑,，就這些困惑跟新課程開始的時候困惑確實是不太一樣了，那時候可能老師們更多關(guān)注要不要花那么長時間去經(jīng)歷這個過程,，現(xiàn)在老師們開始關(guān)注更深刻的問題了,，怎么讓學(xué)生愿意經(jīng)歷這個過程？學(xué)生在這個過程中有沒有收獲,？包括我們怎么去評價這個過程,？包括到底什么是統(tǒng)計與概率，課程的整體設(shè)計等更深層次的問題,。 第一節(jié) “統(tǒng)計與概率”內(nèi)容的教育價值 統(tǒng)計與概率的內(nèi)容,，跟過去相比得到了大大的增強(qiáng)，這樣一來我們就要思考這么一個問題：增強(qiáng)的原因是什么,？實際上,，就是它的教育價值是什么？下面是采訪小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師華應(yīng)龍和中學(xué)特級教師張思明老師時,，他們的發(fā)言,。 華應(yīng)龍(北京第二實驗小學(xué)特級教師):統(tǒng)計與概率的價值主要是，孩子沒有學(xué)統(tǒng)計概率這個部分的時候,，學(xué)數(shù)與代數(shù),、空間與圖形時，所積淀下來的基本上都是一種確定性的思維,。通過統(tǒng)計概率的學(xué)習(xí),，可以幫助學(xué)生來形成一種統(tǒng)計的觀念和隨機(jī)的思想。 張思明（北京大學(xué)附屬中學(xué)特級教師）：作為一個老師,，自己當(dāng)學(xué)生的時候也沒有感覺到數(shù)據(jù)這么重要,。但是現(xiàn)在我們的生活已經(jīng)使每一個學(xué)生都感覺到，我們生活在一個數(shù)據(jù)的世界里,，每一天從早晨到晚上所面對的大量的信息,，有很大一部分是用數(shù)據(jù)來表現(xiàn)的，我們希望孩子從小的時候,，面對這樣一個數(shù)據(jù)的世界,，應(yīng)該能理解數(shù)據(jù)中是有信息的，信息是可以加工和提取的,，信息是能夠為人服務(wù)的,。信息的加工的方法好，或者是不好，可能會得出是有利或者是不利的信息,，當(dāng)然這是根據(jù)人的統(tǒng)計方向來決定的,。從小學(xué)設(shè)立這種課程最重要的不是學(xué)了更多數(shù)據(jù)統(tǒng)計的方法，也不是把那些概念做成像知識點那樣訓(xùn)練,，最重要的是通過給孩子定性的數(shù)據(jù)的分析的感覺,，模擬這種過程，讓孩子體會到數(shù)據(jù)是有信息的,，信息是可以通過我們加工提煉出來的,、為我們的生活和學(xué)習(xí)服務(wù)的。 具體來說,，“統(tǒng)計與概率”增強(qiáng)的主要原因有： 1．統(tǒng)計與概率在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用 實際上,，生活先于課程把統(tǒng)計推到了學(xué)生面前。比如我們現(xiàn)在一打開報紙就會看到很多很多的統(tǒng)計圖,。下面就是一個例子： 【案例1】報紙上的統(tǒng)計圖 前一段時間翻報紙,，報紙上有這么一條信息（見下圖）：今春北方沙塵暴天氣預(yù)計會減少。在這條新聞當(dāng)中,，利用了一個折線統(tǒng)計圖反映了1954年到2006年春季,，也就是3到5月份北方沙塵過程的變化曲線，當(dāng)然他在預(yù)測的時候可能會參照這個折線統(tǒng)計圖,。  圖給我們很大的沖擊力,，如果沒有這個圖的話，剛才這一段文字大家看起來會很枯燥,，但有了圖我們就非常直觀,。 以上我們看到了在日常生活中“統(tǒng)計與概率”通過報刊雜志這種形式體會到它的存在，實際上“統(tǒng)計與概率”與各個學(xué)科也得到了迅速的融合,。 【案例2】統(tǒng)計在文學(xué)著作權(quán)中的應(yīng)用,。 我們比較關(guān)注的一個問題，《紅樓夢》前80回后40回是一個人所作還是兩個人所作,，也就是文學(xué)著作權(quán)的問題,。乍一想，感覺這個事情跟統(tǒng)計沒有太大的關(guān)系,，但經(jīng)過思考覺得也是有聯(lián)系的,。對《紅樓夢》書稿進(jìn)行了統(tǒng)計，把前80回和40回的某些東西進(jìn)行了統(tǒng)計,，發(fā)現(xiàn)有不同,。舉個例子,，就是在前80回中有很多下人丫鬟,，他們的自稱都是“小的”，而在后40回里就改變了自稱為“小的”，這就有一定的理由認(rèn)為是不同的人寫的,。 當(dāng)然,，我們也可以看到，統(tǒng)計推斷跟確定性的事物不太一樣,，并不是說一定就能通過判定一定是不同人寫的,，但最起碼統(tǒng)計提供了一個依據(jù)，提供了一個思路,。所以統(tǒng)計在跟別的學(xué)科的應(yīng)用,，實際上為別的學(xué)科的研究方法提供了一個新的思路。 北京大學(xué)謝衷潔教授講過應(yīng)用統(tǒng)計與概率的實例,，他舉了很多很多的例子,，我們把這個例子的名字念一念，你會感到統(tǒng)計與概率無所不在,。比如說：他提到了工程設(shè)計中,、勞動保護(hù)中、工業(yè)質(zhì)量控制中,、犯罪足跡的判斷中,，還有耶穌的裹尸布之迷、天王星光環(huán)的發(fā)現(xiàn)等,。 2.“統(tǒng)計與概率”提供了一種不確定的（隨機(jī)的）思維方式 統(tǒng)計與概率的思維方式,，和邏輯推理不一樣，它是不確定的,，也就是隨機(jī)的思想,。這也是在小學(xué)階段增加統(tǒng)計與概率的一個重要理由。也就是為學(xué)生打開了一扇窗,，讓他感覺到除了我們天天學(xué)習(xí)的確定性之外,，數(shù)學(xué)里也有不確定的東西，這很重要,，而且這個不確定性的東西不是因為數(shù)學(xué)造成的,，而是因為確實生活中有很多這樣的現(xiàn)象，在扔這個硬幣之前誰也沒有辦法知道扔出以后會得到正面還是反面,。有人說這種思維,，你不用教到大學(xué)就自然知道了，但是我們會有這種感覺,，一旦什么東西根深蒂固了,，就很難改變了。所以,，隨機(jī)的思維需要從小通過適當(dāng)?shù)幕顒邮箤W(xué)生體會,。 統(tǒng)計與概率又是義務(wù)教育階段唯一培養(yǎng)學(xué)生從不確定的角度來觀察世界的數(shù)學(xué)內(nèi)容.不確定思維與確定性思維的差別,需要盡早去體會. 3．有助于學(xué)生解決問題能力,、情感態(tài)度價值觀等方面的發(fā)展 統(tǒng)計與概率有助于學(xué)生形成尊重事實、用數(shù)據(jù)說話的態(tài)度,；使學(xué)生體會用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷的思維方式,；使學(xué)生提高綜合運用知識解決問題以及實踐能力；有助于學(xué)生形成對數(shù)學(xué)的積極的情感體驗,，體會數(shù)學(xué)的作用,。 通過前面一段分析，可以認(rèn)識到,，統(tǒng)計與概率在小學(xué)的加強(qiáng)主要原因就是它的廣泛應(yīng)用和思維特點,。我們的教學(xué)需要培養(yǎng)一個能適應(yīng)未來生活，能夠適應(yīng)未來所從事職業(yè)的人,，更需要從小為他提供基礎(chǔ),。 第二節(jié) 案例研討 對于統(tǒng)計與概率，在小學(xué)階段無需質(zhì)疑,，“統(tǒng)計”的分量應(yīng)該是大于概率,。所以我們首先來看統(tǒng)計。 一,、統(tǒng)計 1.“平均數(shù)”教學(xué)的討論 吳正憲老師曾經(jīng)對平均數(shù)一課進(jìn)行過反思：平均數(shù)教學(xué),，我原來也教過而且教的非常好，怎么教的呢,？無非就是出示例題,，然后分析一下條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生開始列式計算,，通過列式就總結(jié)出一些規(guī)律：平均數(shù)等于總數(shù)除以總份數(shù),。數(shù)量關(guān)系來了以后，就像一根救命稻草一樣,，就可以反復(fù)的練習(xí)了,。有一次她上完課以后，老師們握著她的手說：說吳老師說像您這樣上課,，學(xué)生學(xué)的太扎實了,，考試成績準(zhǔn)保高。 但是,，吳正憲老師不滿足于此,，很善于反思。有一次她做了一個測試：某一個公司招工,，告訴月平均工資是800元,，有一位員工，在開工資的時候只拿到600塊錢,，這個員工就不服,，不是說平均工資是800元嘛,？那么請問學(xué)生，這個員工如果去狀告這個老板的話,，會不會贏？對于這個問題,，全班的正確率只有28％,，學(xué)生顯然沒有明白平均數(shù)是什么？它的意義是什么,？所以,，吳老師說她經(jīng)過了痛苦的反思，癥結(jié)是什么,？癥結(jié)不在于孩子癥結(jié)在于教師,。她用這段話描述她的心情：我們天真的以為孩子只要掌握了這個數(shù)量關(guān)系就能夠解決平均數(shù)的所有的問題，或者平均數(shù)的實際問題了,。所以她提出一個問題：我們的樁,，到底該打在哪？是打在對數(shù)量關(guān)系的反復(fù)的演練上,，還是對平均數(shù)的價值,、平均數(shù)的意義的理解上？正是這個思考,，吳老師就進(jìn)行了鉆研,，形成了一節(jié)我們認(rèn)為還是很具有借鑒意義的一節(jié)平均數(shù)的課（請見拓展資源1）。 進(jìn)一步,，我們還想對平均數(shù)教學(xué)提出一些思考,，看下面的一個案例： [案例1] 孩子的想法有道理嗎 案例描述： 在教學(xué)平均數(shù)時，課前教師以組為單位統(tǒng)計了這個班同學(xué)一分鐘踢毽子的情況,，并從中引用了以下兩組數(shù)據(jù)在課上討論： 第三小組：25,、23、34,、30,、47、25,、26 第五小組：25,、31、40,、33,、29、31 然后提出問題：請你來評判一下,，哪個小組踢的好,？ 我們以為學(xué)生肯定會想到用第三小組平均數(shù)和第五小組的平均數(shù)來比較,，然而學(xué)生卻出現(xiàn)了很多想法，下面列舉出來： （1）我可以比較兩個隊中踢的最高的,，也就是拿第三小組最多的那個和第五小組踢最多的去比,，所以第三個小組踢得好。 （2）比較總數(shù),，這個觀點很容易就被其他同學(xué)反對,，覺得不公平。 （3）我可以一個一個的比,，把最高的比完了,，比第二高的。就是第三小組的第一名和第五小組的第一名倆倆比,，然后第二名兩兩比,，就是一個一個的對應(yīng)的去比。 （4）既然人數(shù)不一樣,，就把第五小組再增加一個或者是把第三小組去掉一個,。 （5）跟前面那個一個一個比差不多，比完了以后發(fā)現(xiàn)第三小組只有前兩名比第五小組的好,，其他的都不如第五小組的好,。 （6）當(dāng)然其中也有一部分孩子提到要用總數(shù)除以每個組的人數(shù)，也就是用平均數(shù)來比,。 案例問題： （1）學(xué)生這么多方法都有道理嗎,？ （2）有老師說這節(jié)課的目標(biāo)還是要講平均數(shù) ，而且平均數(shù)確實在統(tǒng)計中是非常重要的一個統(tǒng)計量,，孩子也不存在困難,，那么我們是不是有必要來花那么長時間，反而會沖淡了對平均數(shù)的理解,，也就是你對這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)的一個理解,？換句話說就是這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)的定位到底是什么？ （3）假設(shè)你的學(xué)生確實有這些想法,，你準(zhǔn)備怎么辦,？ 2．收集數(shù)據(jù)教學(xué)的討論 我們先進(jìn)入到一個課例（清華大學(xué)附屬小學(xué)安華），是關(guān)于一年級的統(tǒng)計圖的教學(xué),。這個課例主要的內(nèi)容是讓學(xué)生了解一下條形統(tǒng)計圖,，會從條形統(tǒng)計圖中獲取一些信息，比如說誰多誰少等等,。 【案例2】安華老師的一年級統(tǒng)計圖教學(xué),。 案例描述： 安老師開始設(shè)立了這么一個情境，有4部動畫片,，想要統(tǒng)計一下班里人最喜歡看的那個動畫片是什么,，人數(shù)是什么,。學(xué)生討論得出是用舉手方法來統(tǒng)計比較好。突然有學(xué)生說起立比舉手好,，老師就詢問學(xué)生們你們誰覺得哪個好,，大多數(shù)同學(xué)們都認(rèn)為起立好，那最終就采取“起立”的方法統(tǒng)計數(shù)據(jù)了,。 統(tǒng)計過后又出現(xiàn)問題了,，通過統(tǒng)計算合計后的總?cè)藬?shù)，與班里實際的總?cè)藬?shù)不相等,。他們這個班是32個人,，結(jié)果統(tǒng)計完總?cè)藬?shù)變成了35個人,，有人重復(fù)多站了,，一般老師處理就是問問剛才誰沒站起來、或者站了多次,，然后修改一下數(shù)據(jù),。最多是再重新起立一次，而安華老師則組織學(xué)生進(jìn)行了討論：采用哪種收集數(shù)據(jù)的方法好,。孩子們想到了很多方法,，比如全體按最喜歡看的4部動畫片站成四列，比如每人寫一個紙條然后進(jìn)行統(tǒng)計,。最后,，老師組織大家先獨立從4部動畫片中任選一部（從四個紙條中任選一個），然后分別貼在黑板上,，自然地形成了一個條形統(tǒng)計圖,。 案例問題： （1）遇到統(tǒng)計合計后的總?cè)藬?shù)與班級實際總?cè)藬?shù)不同的時候，你會如何處理,？ （2）安華老師的處理有什么不同,？這種不同是否有價值？ （3）除了畫圖,、閱讀簡單的統(tǒng)計圖外,，統(tǒng)計圖的學(xué)習(xí)中還有哪些重要的內(nèi)容？ 二,、概率 1.學(xué)生對概率實驗數(shù)據(jù)的看法 概率教學(xué),，現(xiàn)在老師們都指導(dǎo)學(xué)生做一些實驗，在實驗過程中,，學(xué)生就會出現(xiàn)一些困惑,，怎么來幫助學(xué)生消除這些困惑呢？他們到底有什么想法和困惑呢,？先我們來看一看學(xué)生對一個實驗數(shù)據(jù)的討論,。 【案例3】學(xué)生對實驗數(shù)據(jù)的想法 案例描述： 教師首先鼓勵學(xué)生猜想,，一個均勻的硬幣隨機(jī)拋出后，正面朝上的可能是多少,。所有的學(xué)生都認(rèn)為是1/2,。教師接著提出問題，那么拋10次硬幣,，正好5次正面朝上的可能性大不大,，大部分學(xué)生都認(rèn)為比較大。接著,，教師就呈現(xiàn)了下面一組學(xué)生做實驗的數(shù)據(jù)：
學(xué)生的一些想法和困惑是： （1）我們猜想的是5正5反,，結(jié)果卻出現(xiàn)了9正1反，這是為什么,？（有的學(xué)生認(rèn)為是投的手法不同：沒投時如果是正面朝上,，落下就是正面朝上；沒投時如果是反面朝上,，落下就是反面朝上,。） （2）我覺得10次中出現(xiàn)5次的概率應(yīng)該挺大的，現(xiàn)在看12次中只有2次,，不知是由于不確定造成的還是我的想法有錯誤,？ （3）一個學(xué)生認(rèn)為實驗次數(shù)不能太少，如果把所有組的數(shù)據(jù)加起來,，正面朝上的次數(shù)和反面朝上的差不多,，所以1/2還是有意義的。 （4）不是說實驗次數(shù)越多,，越接近1/2嗎,，我怎么覺得就取前兩組的數(shù)據(jù)和，正好是1/2,，再加后面的反而不是1/2了,？ （5）這些都是不確定因素造成的。 案例問題： （1）擲10次硬幣,，正好5次正面朝上的可能性到底有多大,？如果能精確算出來更好，如果算不出來的話,，請老師們猜想一下是會特別大像80％,，還是50％，還是說比50％小,，還是說比10％還要?。?/span> （2）既然是1/2，那么一會是9正1反,，一會又1正9反,，那么怎么來理解1/2呢？ 2.是否需要做概率實驗 老師們在概率教學(xué)中,，有一個比較大的爭論：在教學(xué)概率時,，我們到底要不要做概率實驗。認(rèn)為不做或少做實驗的老師,主要是基于這樣幾個原因： (1)實驗中,，頻率和概率之間的確是有一些差距的,可能就會造成孩子實驗完之后反而有些糊涂了,。比如，像上面學(xué)生的討論,，本來所有學(xué)生都猜想1/2,，實驗后反而產(chǎn)生了一些困惑。 (2)第二學(xué)段的一個目標(biāo)是用分?jǐn)?shù)去刻劃一些事件發(fā)生可能性的大小,。由于學(xué)生對頻率和概率的混淆,，實驗之后由于頻率的不確定性，學(xué)生反而認(rèn)為概率也是不確定的了,。 （3）從二年級就開始做可能性實驗,，比如摸球,，一直到五年級都在摸,，有的孩子就覺得興趣越來越淡薄了，因為摸之前他已經(jīng)能猜測到了,。 堅持做概率實驗的老師也是有理由的,，主要如下： （1）在實驗過程當(dāng)中，孩子能夠不斷的去體會事情發(fā)生的不確定性,。 （2）做實驗可以改變孩子當(dāng)初的一些誤解,。比如袋中中有一些紅色有一些白色，有的孩子可能認(rèn)為,，我這次摸到了白色下次就應(yīng)該摸到紅色,，其實這是他對這隨機(jī)現(xiàn)象的一種誤解。孩子在實驗的過程當(dāng)中,，他會不斷的去修正自己的這種誤解,。 （3）做實驗的教育價值。比如有的學(xué)生為了得到“1/2“,，或者有的學(xué)生故意想摸到可能性小的球,，所以他們經(jīng)常在摸球時偷看。如果教師能正確處理這些情況,，反而能培養(yǎng)學(xué)生求實求真的態(tài)度,。 看了老師們的討論，我覺得也挺有啟發(fā)的，確實不是簡單的要做或不做實驗的問題,，我們可能就要思考,，比如說我們要做實驗怎么來保證數(shù)據(jù)的隨機(jī)性；包括孩子確實出現(xiàn)了混淆的時候,，教師如何引導(dǎo)學(xué)生,。所以，這個討論不是簡單的得出要做還是不做,，而是由此來引發(fā)對概率更深層次的思考,。所以提出幾個問題： 1．從您這個角度來說，您認(rèn)為需不需要做概率實驗,？說明理由,。 2．在做概率實驗中，您有什么經(jīng)驗,？比如剛才提到了您是不是設(shè)計了一些學(xué)生感興趣的實驗,？當(dāng)出現(xiàn)頻率概率相差很大的時候，您是如何引導(dǎo)學(xué)生討論的,？ 3．頻率和概率有什么差別和聯(lián)系,？ |
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