一,、選擇題

1.集合A= {x∣ },，B={x∣x<1}，則 =                   （D）

（A）{x∣x>1}   (B)  {x∣x≥  1}     (C)  {x∣  }      (D) {x∣ } 

2.復(fù)數(shù) 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于                                   （A）

 （A）第一象限       （B）第二象限        （C）第三象限       （D）第四象限 

3.對(duì)于函數(shù) ,，下列選項(xiàng)中正確的是                        （B）

  （A） f（x）在（ ,， ）上是遞增的          （B） 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

   （C） 的最小正周期為2                      （D） 的最大值為2

4. （ ）展開式中 的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a等于                  （D）

（A）-1             （B）              (C)  1          (D)   2

5.已知函數(shù) = ,，若 =4a,，則實(shí)數(shù)a=          （C）

（A）         （B）         (C) 2        (D)  9

6.右圖是求樣本x ₁，x₂,，…x₁₀平均數(shù) 的程序框圖,，圖中空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容為【A】

(A) S=S+x _n         (B) S=S+          

(C) S=S+ n          (D) S=S+

7. 若某空間幾何體的三視圖如圖所示，   

則該幾何體的體積是【C】

(A)             (B)                 

(C) 1              (D) 2

8.已知拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與圓x²+y²－6 x－7=0相切,，則p的值為【C】

(A)    (B) 1      (C) 2      (D) 4

9.對(duì)于數(shù)列｛a _n｝,，“a _n+1＞∣a _n∣（n=1，2…）”是“｛a _n｝為遞增數(shù)列”的【B】

(A) 必要不充分條件              (B) 充分不必要條件

(C) 必要條件                    (D) 既不充分也不必要條件

10.某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì),，規(guī)定各班每10人推選一名代表,，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表。那么,，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）可以表示為【B】

(A) y=    (B) y=       (C) y=       (D) y=

二,、填空題：把答案填在答題卡相應(yīng)題號(hào)后的橫線上（本大題共5小題，每小題5分,，共25分）,。

11.已知向量α  =（2，-1）,，b=(-1,m),，c=(-1,2),若（a+b）‖c, 則m=_-1_____

12. 觀察下列等式：1³+2³⁼3²，1³+2³+3²=6²,，1³+2³+3³+4³=10²,，……，

根據(jù)上述規(guī)律,，第五個(gè)等式為­­­­­­­­­­­ _1³+2³⁺__3²__+4³____+5³__=21²___________.

13.從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M（x,y）,則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為

14.鐵礦石A和B的含鐵率a,冶煉每萬噸鐵礦石的 的排放量b及每萬噸鐵礦石的價(jià)格c如下表：

某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵,若要求 的排放量不超過2(萬噸),則購買鐵礦石的最少費(fèi)用為_15_ (百萬元)

15.(考生注意:請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評(píng)分)

A.(不等式選做題)不等式 的解集為 .

B.(幾何證明選做題)如圖,已知 的兩條直角邊AC,BC的長(zhǎng)分別為3cm,4cm,以AC為直徑的圖與AB交于點(diǎn)D,則 .               

C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知圓C的參數(shù)方程為 以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線 的極坐標(biāo)方程為 則直線 與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

三.解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,、證明過程或演算步驟(本大題共6小題,共75分)

16.(本小題滿分12分)

已知 是公差不為零的等差數(shù)列, 成等比數(shù)列.

求數(shù)列 的通項(xiàng);        求數(shù)列 的前n項(xiàng)和

解 由題設(shè)知公差

由 成等比數(shù)列得

解得 (舍去)

故 的通項(xiàng)

,

由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得

17．（本小題滿分12分）

     如圖，A,，B是海面上位于東西方向相聚5（3+ ）海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn),，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°,，B點(diǎn)北偏西60°且與B點(diǎn)相距 海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí),，該救援船達(dá)到D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間,？

解   由題意知AB= 海里，

∠ DAB=90°—60°=30°,，∠ DAB=90°—45°=45°,，∴∠ADB=180°—（45°+30°）=105°，在△ADB中,，有正弦定理得

18.（本小題滿分12分）

如圖,，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形,，PA  ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 √  2,，E，F分別是AD,，PC的重點(diǎn)

（Ⅰ）證明：PC  ⊥平面BEF,；

（Ⅱ）求平面BEF與平面BAP夾角的大小。

 解法一  （Ⅰ）如圖,，以A為坐標(biāo)原點(diǎn),，AB，AD,，AP算在直線分別為x,，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,。

∵AP=AB=2,BC=AD=2√  2,四邊形ABCD是矩形。

∴A,，B,，C，D的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √  2,0),，D(0,，2 √  2，0),，P(0,0,2)

又E,，F分別是AD，PC的中點(diǎn),，

∴E(0,，√  2，0),F(1,，√  2,，1),。

∴ =（2，2 √  2,，-2） =（-1,，√  2，1） =（1,0,1）,，

∴ · =-2+4-2=0,， · =2+0-2=0，

∴ ⊥ ,， ⊥ ,，

∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩  EF=F,

∴PC⊥平面BEF

（II）由（I）知平面BEF的法向量

平面BAP 的法向量

  設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為 θ ，

則

∴ θ=45℃,， ∴ 平面BEF與平面BAP的夾角為45

解法二  （I）連接PE,，EC在

PA=AB=CD, AE=DE,

∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形，

又F是PC 的中點(diǎn),，∴EF⊥PC,

又 ,，F是PC 的中點(diǎn)，

∴BF⊥PC.

又

19 （本小題滿分12分）

為了解學(xué)生身高情況,，某校以10%的比例對(duì)全校700名學(xué)生按性別進(jìn)行出樣檢查,，測(cè)得身高情況的統(tǒng)計(jì)圖如下：

（ ）估計(jì)該小男生的人數(shù)；

（ ）估計(jì)該校學(xué)生身高在170~185cm之間的概率,；

（ ）從樣本中身高在165~180cm之間的女生中任選2人,，求至少有1人身高在170~180cm之間的概率。

解 （ ）樣本中男生人數(shù)為40 ,，由分層出樣比例為10%估計(jì)全校男生人數(shù)為400,。

（ ）有統(tǒng)計(jì)圖知，樣本中身高在170~185cm之間的學(xué)生有14+13+4+3+1=35人,，樣本容量為70 ,，所以樣本中學(xué)生身高在170~185cm之間的頻率 故有f估計(jì)該校學(xué)生身高在170~180cm之間的概率

（ ）樣本中女生身高在165~180cm之間的人數(shù)為10，身高在170~180cm之間的人數(shù)為4,。

設(shè)A表示事件“從樣本中身高在165~180cm之間的女生中任選2人,，求至少有1人身高在170~180cm之間”，

則

20.（本小題滿分13分）

如圖,，橢圓C： 的頂點(diǎn)為A₁,A₂,B₁,B₂,焦點(diǎn)為F₁,F₂, | A₁B_1| = ,

(Ⅰ)求橢圓C的方程,；

(Ⅱ)設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn),、與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)的直線,， ，是否存在上述直線l使 成立？若存在,，求出直線l的方程,；若不存在，請(qǐng)說明理由,。

解 （1）由 知a²+b²=7,      ①

由 知a=2c,    ②

又b²=a²-c²                                    ③

由 ①②③解得a²=4,b²=3,

故橢圓C的方程為 ,。

（2）設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）(x₂,y₂)

假設(shè)使 成立的直線l不存在，

（1）       當(dāng)l不垂直于x軸時(shí),，設(shè)l的方程為y=kx+m,

由l與n垂直相交于P點(diǎn)且 得

,，即m²=k²+1.

∵ ,

21、(本小題滿分14分)

已知函數(shù)f（x）= ,，g（x）=alnx,，a R。

（1）       若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交,，且在交點(diǎn)處有相同的切線,，求a的值及該切線的方程；

（2）       設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)- g(x),當(dāng)h(x)存在最小之時(shí),，求其最小值 （a）的解析式,；

（3）       對(duì)（2）中的 （a），證明：當(dāng)a （0,，+ ）時(shí),， （a） 1.

解 （1）f’(x)= ,g’(x)= (x>0),

由已知得  =alnx，

= ,，     解德a= ,x=e²,

兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（e²,e）   切線的斜率為k=f’(e^{2)= ,}

切線的方程為y-e= (x- e₂).

（1）       當(dāng)a.>0時(shí),，令h (x)=0,解得x= ,

所以當(dāng)0 < x< 時(shí) h (x)<0，h(x)在（0,， ）上遞減,；

當(dāng)x> 時(shí)，h (x)>0,，h(x)在（0,， ）上遞增。

所以x> 是h(x)在（0,， +∞ ）上的唯一極致點(diǎn)，且是極小值點(diǎn),，從而也是h(x)的最小值點(diǎn),。

所以Φ （a）=h( )= 2a-aln =2

（2）當(dāng)a  ≤   0時(shí)，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0,，+∞）遞增,，無最小值。

故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式為2a(1-ln2a) (a>o)

（3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a)

則 Φ ¹（a ）=-2ln2a，令Φ ¹（a ）=0 解得 a =1/2

當(dāng)  0<a<1/2時(shí),，Φ ¹（a ）>0,，所以Φ （a ）  在(0,1/2) 上遞增

當(dāng)  a>1/2  時(shí)， Φ ¹（a ）<0,，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上遞減,。

所以Φ（a ）在(0, +∞)處取得極大值Φ（1/2 ）=1

因?yàn)?/span>Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一個(gè)極致點(diǎn)，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值

所當(dāng)a屬于 (0, +∞)時(shí),，總有Φ（a）  ≤  1