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例116 有兩個完全相同的長方體恰好拼成了一個正方體,，正方體的表面積是30平方厘米.如果把這兩個長方體改拼成一個大長方體,，那么大長方體的表面積是多少？
?。ū本┦形鞒菂^(qū)） 【分析1】因為正方體有6個相等的面,，所以每個面的面積是30÷6=5平方厘米.拼成一個大長方體要減少一個面的面積，同時增加兩個面的面積.由此可求大長方體的表面積. 【解法1】30-30÷6+30÷6×2 =30-5+10=35（平方厘米）. 或： 30+30÷6×（2-1） =30+5=35（平方厘米）. 【分析2】因為拼成大長方體后,，表面積先減少一個面的面積,，同時又增加兩個面的面積，實際上增加了一個面的面積. 【解法2】 30+30÷6=30+5=35（平方厘米）. 【分析3】把原來正方體的表面積看作“1”.先求出增加的一個面是原來正方體表面積的幾分之幾,，再運用分數(shù)乘法應(yīng)用題的解法求大長方體的表面積. 【分析4】因為原來正方體的表面積是6個小正方形面積的和,，拼成大長方體的表面積是7個小正方形面積的和，所以可先求每個小正方形的面積,，再求7個小正方形的面積. 【解法4】30÷6×（6+1） =30÷6×7=35（平方厘米）. 答：大長方體的表面積是35平方厘米. 【評注】比較以上四種解法,，解法2和解法3是本題較好的解法. 例117 大正方體棱長是小正方體棱長的2倍，大正方體體積比小正方體的體積多21立方分米,，小正方體的體積是多少,？ （北京市東城區(qū)） 【分析1】把小正方體的體積看作“1倍”,，那么大正方體的體積是小正方體的2×2×2=8（倍）,，比小正方體多8-1=7（倍）.由此本題可解. 【解法1】21÷（2×2×2-1） =21÷7=3（立方分米）. 【分析2】把小正方體的棱長看作“ 1”,，那么大正方體棱長就是2.
【分析3】先求出大、小正方體的體積比,，再求21立方分米的對應(yīng)份數(shù),，最后求出每份的體積即小正方體的體積. 【解法3】大、小正方體的體積比,？ ?。?/font>2×2×2）∶（1×1×1）=8∶1 小正方體的體積是多少立方分米？ 21÷（8-1）=3（立方分米） 答：小正方體的體積是3立方分米. 【評注】解法1的思路簡單,，運算簡便. 例118 一個圓錐形麥堆,，底面周長是25.12米，高是3米.把這些小麥裝入一個底面直徑是4米的圓柱形糧囤內(nèi)正好裝滿,，這個圓柱形糧囤的高是多少米,？（天津市和平區(qū)） 【分析1】由題意可知，麥堆的體積等于圓柱糧囤的體積.所以先求出麥堆的體積,，再除以圓柱糧囤的底面積,，即得糧囤的高。 【解法1】麥堆的底面半徑是多少,？ 25.12÷3.14÷2=4（米） 麥堆的體積是多少立方米,？ 圓柱糧囤的高是多少米？ 綜合算式： 【分析2】根據(jù)麥堆的體積和圓柱糧囤體積相等列方程解. 【解法2】設(shè)圓柱糧囤高是h米.
【解法3】設(shè)圓柱糧囤高為h米. 麥堆底半徑：25.12÷3.14÷2=4（米） 糧囤底半徑：4÷2=2（米） 16=4h h＝4 答：這個圓柱形糧國的高是4米. 【評注】解法3的思路最簡單,、最靈活，運算最簡便,，是本題的最佳解法. 例119 一個圓錐體的體積是36立方分米,，高是9分米，比與它等底的圓柱體的體積小12立方分米,，這個圓柱體的高是多少分米,？（天津市河西區(qū)） 【分析1】先求圓錐的底面積即圓柱的底面積，再求圓柱體積,，最后求圓柱的高. 【解法1】圓柱底面積是多少,？ 36×3÷9=12（平方分米） 圓柱的體積是多少？ 36+12=48（立方分米） 圓柱的高是多少,？ 48÷12=4（分米） 綜合算式：（36+12）÷（36×3÷9） =48÷12=4（分米）. 【分析2】如果設(shè)圓柱高為h,，那么它相當(dāng)于高為3h的等底圓錐，而這 【解法2】設(shè)圓柱體的高是h分米. ?。?/font>36+12）∶3h=36∶9 答：這個圓柱體的高是4分米,。 【評注】解法2的思路簡單明白,，運算最為簡便，是本題的較好解法.本題還可用方程解,，讀者試解一下. 例120 如下圖,，求陰影部分的面積（單位：厘米）. （湖北省武漢市）
【分析1】從圖中條件可知,，三角形為等腰直角三角形,，所以兩個銳角都是45°.因此用三角形的面積分別減去三個扇形的面積，即得陰影面積. 【解法1】（10+10）×（10+10）÷2 =20×20÷2-3.14×25-3.14×25 =200-78.5-78.5=43（平方米） 【分析2】因為三個空白扇形恰好拼成180°的扇形,，所以用三角形的面積減去圓心角是180°的扇形面積,，即得陰影部分的面積. 【解法2】（10+10）×（10+10）÷2 =20×20÷2-3.14×10×10÷2 =200-157=43（平方厘米）. 【分析3】同分析2.用三角形的面積減去半圓的面積，即得陰影部分的面積. 【解法3】（10×2）×（10×2）÷2-3.14×10×10÷2 =200-157=43（平方厘米）. 答：陰影部分的面積是43平方厘米. 【評注】 比較以上三種解法,，解法3的思路較靈活,，運算簡便，是本題較好解法. 例121 右下圖是由若干個1立方厘米的正方體木塊擺成的圖形,，它的體積是多少立方厘米,？ ?。◤V東省廣州市越秀區(qū)）
【分析1】把此圖分為三層,，最底層的長是5厘米，寬是4厘米,，高是1厘米,，由此可求底層的體積.同樣可求第一層和第二層的體積,，再將三層的體積加起來即得此形體體積. 【解法1】最底層的體積是多少,？ 5×4×1=20（立方厘米） 第一層和第二層的體積共多少？ 4×2×2=16（立方厘米） 此形體的體積是多少,？ 20+16=36（立方厘米） 綜合算式：5×4×1+4×2×2 =20+16=36（立方厘米）. 【分析2】把這個形體切成一個長4厘米,、寬3厘米,、高1厘米和一個長4厘米、寬2厘米,、高3厘米的兩個長方體,，求其體積和. 【解法2】4×3×1+4×2×3 =12+24=36（立方厘米）. 【分析3】把原形體補充為一個長5厘米、寬4厘米,、高3厘米的長方體,，求出它的體積，再減去多補充的體積4×3×2=24（立方厘米）,，即得原形體的體積. 【解法3】5×4×3-4×3×2 =60-24=36（立方厘米）. 【分析4】因為第一,、二層共有4×2×2=16（塊），第三層有4×5=20（塊）,，三層共36塊,，并且每塊1立方厘米,，由此可求36塊多少立方厘米. 【解法4】1×（4×2×2+4×5） =1×（16+20）=36（立方厘米）. 答：它的體積是36立方厘米. 【評注】以上四種解法各有特色，讀者可根據(jù)自己的實際情況靈活選用. 例122 如圖,，已知圓的直徑是8厘米,，求陰影部分的周長和面積. （陜西省西安市新城區(qū)）
【分析1】圖中陰影部分的周長是大圓半周長與小圓兩個半周長的和,，它的面積是大半圓的面積與小半圓面積的差,，再加小半圓面積的和. 【解法1】 周長：3.14×8÷2+3.14×（8÷2）÷2×2 =25.12÷2+12.56÷2×2 =12.56+12.56=25.12（厘米） =3.14×4×4÷2-3.14×2×2÷2+3.14×2×2÷2 =25.12（平方厘米）. 【分析2】由圖可知兩個小半圓是相等的，因此陰影小半圓恰好補充空白小半圓,，那么陰影面積等于大圓面積減去空白大半圓面積,；陰影周長是小圓周長與大圓半周長的和. =12.56+12.56=25.12（厘米） =3.14×16-3.14×8 =3.14×（16-8）=25.12（平方厘米）. 【分析3】因為大圓直徑是小圓直徑的2倍，所以小圓的周長和大圓的半周長相等,，由此可知陰影部分周長恰是大圓的周長.將陰影小半圓移到空白小半圓使其重合,，那么陰影部分恰是大半圓. 【解法3】周長：3.14×8=25.12（厘米） =3.14×16÷2=25.12（平方厘米）. 答：略. 【評注】比較以上三種解法，解法3的思路最直接最靈活,，運算最簡便,，是最佳解法. 例123 如圖，求陰影部分的面積（單位：厘米）. ?。ㄟ|寧省大連市中山區(qū)）
【分析1】先求出扇形的半徑和圓心角的度數(shù),，再根據(jù)扇形面積公式求陰影的面積. 【解法1】半徑：36÷2=18（厘米）圓心角：360°-60°=300°陰影面積： =847.8（平方厘米）. 【分析2】先求出扇形所在圓的面積，再求陰影部分占圓面積的幾分之幾,，最后運用分數(shù)乘法應(yīng)用題的解法求陰影面積. =3.14×270=847.8（平方厘米）. 【分析3】先求扇形所在圓的面積,，再求空白扇形的面積，用圓面積減去空白扇形面積,，即得陰影扇形的面積. =3.14×18×18-3.14×18×3 =847.8（平方厘米）. 【分析4】把扇形所在圓的面積看作“1”,，那么空白扇形的面積占圓
=3.14×270=847.8（平方厘米）. 答：陰影部分的面積是847.8平方厘米. 【評注】比較以上四種解法，解法1的思路最簡單,，運算最簡便,，是本題最佳解法. 例124 在一個現(xiàn)代化的體育館里鋪設(shè)了30塊長20米、寬3.5米,、厚0.03米的硬塑地板,，這個體育館的面積有多少平方米？ ?。ńK省南京市鼓樓區(qū)） 【分析1】先求出每塊硬塑板的占地面積,，再求30塊硬塑板的面積即體育館占地面積. 【解法1】20×3.5×30 =70×30=2100（平方米）. 【分析2】把這30塊硬塑板平放成寬20米，長是30個3.5米的長方形,，求出這個長方形的面積即體育館的面積. 【解法2】3.5×30×20 =105×20=2100（平方米）. 【分析3】把這30塊硬塑板平放成長是30個20米,、寬是3.5米的長方形，求出這個長方形的面積即體育館的面積. 【解法3】20×30×3.5 =600×3.5=2100（平方米）. 答：這個體育館的面積有2100平方米. 【評注】解法1的思路最直接,，解法最佳. 例125 求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）. ?。质,。?/p>
【分析1】先求平行四邊形的面積，再求空白三角形的面積,，用平行四邊形的面積減去三角形的面積,，即得陰影部分的面積. 【解法1】8×4-8×4÷2 =32-16=16（平方厘米）. 【分析2】假設(shè)AE是6厘米，那么BE的長是8-6=2厘米.由此直接求出兩個陰影三角形的面積,，再求它們的面積和,，即得陰影面積. 【解法2】假設(shè)AE長6厘米，那么BE的長是8-6=2厘米. 6×4÷2+2×4÷2 =12+4=16（平方厘米）. 【分析3】因為三角形DEC和平行四邊形等底等高,，所以三角形DEC的面積是平行四邊形面積的一半.由此求出平行四邊形的面積再除以2即得陰影部分的面積. 【解法3】8×4÷2=16（平方厘米）. 【分析4】把三角形ADE沿AB向右平移,，使AD與BC重合，這樣兩個陰影三角形恰好拼成一個底是8厘米,、高是4厘米的三角形,，求出此三角形的面積即得陰影面積. 【解法4】8×4÷2=16（平方厘米）. 答：陰影部分的面積是16平方厘米. 【評注】解法1和解法2雖然易于理解和掌握，但運算較繁.解法3和解法4的思路直接,，簡單靈活,，運算簡便，是本題最佳解法. 例127 如圖,，求陰影部分的面積（單位：厘米）. ?。ê鲜￠L沙市東區(qū)）
【分析1】先求大半圓的面積，再求小半圓的面積,，用大半圓面積減去小半圓面積即得陰影部分的面積. =1413-39.25 =1373.75（平方厘米）. 【分析2】先求大圓面積,，再求小圓面積，用大圓面積減去小圓面積,，再除以2即得陰影部分的面積. =（2826-78.5）÷2 =2747.5÷2=1373.75（平方厘米）. 【分析3】本題是求半圓環(huán)面積.可先求圓環(huán)面積，再除以2即得.如果設(shè)大圓半徑為R,，小圓半徑為r,，那么圓環(huán)面積=πR2-πr2=π（R2-r2） 【解法3】R=60÷2=30（厘米） r=10÷2=5（厘米） 3.14×（30×30-5×5）÷2 =3.14×（900-25）÷2 =2747.5÷2=1373.75（平方厘米）. 【評注】比較以上五種解法，前四種解法的綜合算式可通過乘法分配律相互轉(zhuǎn)化,，其中解法3的運算簡便,，是本題的較好解法. 例129 從一個長方體上截下一個棱長4厘米的正方體后，剩下的是一個長方體,，它的體積是32立方厘米.原來長方體最長的一條棱是多少厘米,？ （山西省太原市） 【分析1】因為截下的是正方體,，所以剩下長方體的截面是正方形.因此可求出剩下長方體的長,，再加上截下正方體的棱長，即得原來長方體的最長棱. 【解法1】剩下長方體的長,？ 32÷（4×4）=2（厘米） 原來長方體的最長棱,？ 2+4=6（厘米） 綜合算式：32÷（4×4）+4 =32÷16+4=6（厘米）. 【分析2】用剩下長方體的體積加上截下正方體的體積,，即得原來長方體的體積.再根據(jù)“長方體體積=底面積×高”，用原長方體的體積除以底面積即得它的最長棱. 【解法2】截下正方體的體積,？ 4×4×4=64（立方厘米） 原來長方體的體積,？ 64+32=96（立方厘米） 原長方體的最長棱？ 96÷（4×4）=6（厘米） 綜合算式：（4×4×4+32）÷（4×4） =（64+32）÷16=96÷16=6（厘米）. 【分析3】根據(jù)“剩下的長方體體積加上截下的正方體體積等于原來長方體的體積”這一等量關(guān)系,，列方程解. 【解法3】設(shè)原來最長棱x厘米. 32+4×4×4=（4×4）x 32+64=16x x=96÷16 x=6 【分析4】用比例解法.因為長方體的體積÷高=底面積,，底面積一定，所以長方體的體積和高成正比例.即長方體的體積與最長棱成正比例. 【解法4】設(shè)原來最長棱x厘米. ?。?/font>4×4×4）∶4=（32+4×4×4）∶x 64∶4=96∶x 64x=4×96 x=6 答：原來長方體的最長棱是6厘米. 【評注】后三種解法都需要求出原來長方體的體積,，再求原來的最長棱，運算較繁.解法1的思路簡單明白,，且運算簡便,，所以是本題的最佳解法. 例131 把一個高3分米圓柱體的底面分成許多個相等的扇形，然后把圓柱體切開,，拼成一個與它等高的近似長方體,，長方體的表面積比圓柱體的表面積增加12平方分米，原來圓柱體的體積是多少,？ ?。ǜ＝ㄊ「Ｖ菔校?/p>
【分析1】把圓柱體切拼成長方體后，它的表面積實際上增加了兩個長方形S的面積,，即12平方分米.由此可求一個長方形的面積,，再除以它的長（即圓柱的高），即得它的寬（即圓柱底面半徑）.由此可根據(jù)圓柱體積公式求它的體積. 【解法1】3.14×（12÷2÷3）2×3 =3.14×4×3=37.68（立方分米）. 【分析2】先求圓柱底面半徑,，再求圓柱底面半周長,，即長方體的長.最后根據(jù)長方體的體積=長×寬×高，或把S面當(dāng)作底面,，根據(jù)長方體體積=底面積×高,，求出長方體體積，即圓柱的體積. 【解法2】（12÷2÷3×3.14）×（12÷2÷3）×3 =6.28×2×3=37.68（立方分米）. 或： （12÷2）×（12÷2÷3×3.14） =6×6.28=37.68（立方分米）. 【分析3】如圖把長方體的前面（曲面）當(dāng)作底面,，長方體的寬（半徑）當(dāng)作高,，根據(jù)長方體的體積=底面積×高，求出長方體的體積.關(guān)鍵是先求圓柱側(cè)面積的一半（曲面）. 【解法3】（12÷2÷3×3.14×3）×（12÷2÷3） =18.84×2=37.68（立方分米）. 答：原來圓柱體的體積是37.68立方分米. 【評注】比較以上四種解法,，解法1的運算較簡便,，思路也較直接，是本題較好的解法.后兩種解法的運算雖繁些,，但對一些特殊題目的解答,，可起到事半功倍的作用. |
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體積,，而這個圓柱與糧囤的體積相等,，即積一定，根據(jù)圓柱體積=πr2h可知,，圓柱高h與半徑的平方r2成反比例.由此列方程解. 
的高與圓錐的體積成正比例.
