信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法有兩種：時(shí)域分析方法和頻域分析方法,。

在連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中，信號(hào)一般用連續(xù)變量時(shí)間t 的函數(shù)表示,，系統(tǒng)用微分方程描述,，其頻域分析方法是拉普拉斯變換和傅立葉變換。在時(shí)域離散信號(hào)與系統(tǒng)中,，信號(hào)用序列表示,，其自變量?jī)H取整數(shù)，非整數(shù)時(shí)無(wú)定義,，系統(tǒng)則用差分方程描述,，頻域分析方法是Z變換和序列傅立葉變換法。

Z變換在離散時(shí)間系統(tǒng)中的作用就如同拉普拉斯變換在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的作用一樣,，它把描述離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)方程,，使其求解大大簡(jiǎn)化,。因此,，對(duì)求解離散時(shí)間系統(tǒng)而言,，Z變換是一個(gè)極重要的數(shù)學(xué)工具。

 

2．2   序列的傅立葉變換（離散時(shí)間傅立葉變換）

一,、序列傅立葉變換：

正變換：DTFT[x(n)]=  （2.2.1）

反變換：DTFT^-1

式（2.2.1）級(jí)數(shù)收斂條件為

||=   (2.2.2)

  上式稱為x(n)絕對(duì)可和。這也是DTFT存在的充分必要條件,。當(dāng)遇到一些絕對(duì)不可和的序列,，例如周期序列,，其DTFT可用沖激函數(shù)的形式表示出來(lái)。

二,、序列傅立葉變換的基本性質(zhì)：

1,、 DTFT的周期性

  ，是頻率w的周期函數(shù),，周期為2p,。

   ∵ = 。

 

問(wèn)題1：設(shè)x(n)=R_N(n),，求x(n)的DTFT,。

      ==

==

設(shè)N為4，畫出幅度與相位曲線,。

2,、 線性

設(shè)=DTFT[x₁(n)]，=DTFT[x₂(n)],，

則：DTFT[a x₁(n)+b x₂(n)]

=  = a+b

 

3,、 序列的移位和頻移

設(shè) = DTFT[x(n)]，

 

則：DTFT[x(n-n₀)] =

           =

 

DTFT[x(n)]  =  

=  =

 

4,、 DTFT的對(duì)稱性

共軛對(duì)稱序列的定義：設(shè)序列滿足下式

      則稱為共軛對(duì)稱序列,。

      共軛對(duì)稱序列的性質(zhì)：

         共軛對(duì)稱序列的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)

   證明：=+j（實(shí)部加虛部）

           ∵

           ∴+j=-j

      ∴=（偶函數(shù)）

           ∴=－（奇函數(shù)）

一般情況下,，共軛對(duì)稱序列用表示：

 

 

共軛反對(duì)稱序列的定義：設(shè)序列滿足下式

      則稱為共軛反對(duì)稱序列,。

      共軛反對(duì)稱序列的性質(zhì)：

       共軛反對(duì)稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)

   證明：=+j（實(shí)部加虛部）

           ∵

           ∴+j=+j

      ∴=（奇函數(shù)）

           ∴=（偶函數(shù)）

一般情況下,，用來(lái)表示

一個(gè)序列可用共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)稱序列之和表示,。即：

x(n)= +     (2.2.16)

 

問(wèn)題1： =？

=+

=－

∴= －    (2.2.17)

 

      =(+)

=(－)

 

  對(duì)于頻域函數(shù),，也可分解成共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和：

式中,，是共軛對(duì)稱分量，是共軛反對(duì)稱分量,，它們滿足：

    =,，=

且：

       

：共軛對(duì)稱分量，它的實(shí)部是偶函數(shù),，虛部是奇函數(shù),；：共軛反對(duì)稱分量，它的實(shí)部是奇函數(shù),，虛部是偶函數(shù),。

 

下面研究DTFT的對(duì)稱性，按下面兩部分進(jìn)行分析

a）      將序列x(n)分成實(shí)部與虛部,，即：

=+j（,、都是實(shí)數(shù)序列）

           則：

 

 

式中：=DTFT[]=，

      =DTFT[j]=j,。

結(jié)論：序列分成實(shí)部與虛部?jī)刹糠?，?shí)部對(duì)應(yīng)于中的，虛部和j一起對(duì)應(yīng)于中的,。

 

b）     將序列分成共軛對(duì)稱部分和共軛反對(duì)稱部分,，x(n)= +

      ∵=(+)

=(－)

      將上面兩式分別進(jìn)行DTFT,，得到：

   DTFT[]=(+)=Re[]=

   DTFT[]=()=jIm[]=j

 

        ∴=+j

            x(n)= +

結(jié)論：序列的共軛對(duì)稱部分對(duì)應(yīng)于的實(shí)部,，而序列的共軛反對(duì)稱部分對(duì)應(yīng)于的虛部加j。

 

應(yīng)用：利用DTFT的對(duì)稱性討論當(dāng)h(n)是實(shí)序列時(shí),，其DTFT的特性,。

 

 

 

 

∵h(n)是實(shí)序列,，所以它所對(duì)應(yīng)的DTFT：=，具有共軛對(duì)稱性,，的實(shí)部偶對(duì)稱,，虛部奇對(duì)稱。

 

5,、 時(shí)域卷積定理

設(shè) y(n)=x(n)*h(n)

則：=×=  (2.2.32)

 

證明：y(n)= x(n)*h(n)=

      =DTFT[y(n)]

= =

=

=

=

 

6,、 頻域卷積定理

設(shè)y(n) = x(n) h(n)

則=*=

      =

 

證明：==

=

=

=

=*

 

7、 Parseval(帕斯維爾)（帕塞瓦爾）定理

= (2.2.34)

 

 

 

 

 證明：

==

=

=

=

2．5  Z變換的定義與收斂域

一,、 Z變換的定義

若序列為x(n),，則冪級(jí)數(shù)

           （2.5.1）

稱為序列x(n)的Z變換，也稱為雙邊Z變換,。式中z為復(fù)變量,，它所在的復(fù)平面稱為z平面。亦可將x(n)的Z變換表示為

ZT[x(n)] = X(z)

二,、Z變換的收斂域

我們知道,，是一冪級(jí)數(shù)，只有收斂時(shí)Z變換才有意義,。X(z)收斂的條件是：

      (2.5.3)

X(z)能夠收斂的z取值集合稱為X(z)的收斂域,。

一般收斂域用環(huán)狀域表示,。即：

        

∴Z變換的公式

         （2.5.1）

 

常見(jiàn)的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，表示為：

    分子多項(xiàng)式的根是的零點(diǎn),，分母多項(xiàng)式的根是的極點(diǎn),。在極點(diǎn)處Z變換不存在。因此收斂域中沒(méi)有極點(diǎn),，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界,。

 

1、 有限長(zhǎng)序列Z變換的收斂域

 

有限長(zhǎng)序列是指在有限區(qū)間n₁≤n≤n₂之間序列具有非零的有限值,，在此區(qū)間外,，序列值皆為零。有限長(zhǎng)序列Z變換為,，所以收斂域?yàn)?/span>

 

 

0<|z|<∞,。

 

 

 

如n₁≥0，收斂域?yàn)?/span>0<|z|≤∞,。

如n₂≤0,，收斂域?yàn)?/span>0≤|z|<∞。

 

2,、 右邊序列Z變換的收斂域

右邊序列是指在n≥n₁時(shí),，x(n)有值，在n＜n₁時(shí),， x(n)=0,。其Z變換為

此式右端第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列的Z變換，它的收斂域?yàn)?/span>0≤|z|<∞,，而第二項(xiàng)是z的負(fù)冪級(jí)數(shù),，它的收斂域?yàn)?/span>。綜合此兩項(xiàng),，只有兩項(xiàng)都收斂時(shí)級(jí)數(shù)才收斂,。所以右邊序列Z變換的收斂域?yàn)?/span>。

因果序列是最重要的一種右邊序列,，即n₁=0的右邊序列,。收斂域?yàn)?/span>（也可以寫成），所以,，|z|=∞處Z變換收斂是因果序列的特征,。

 

3、 左邊序列Z變換的收斂域

左邊序列是指在n≤n₂時(shí),，x(n)有值,，n＞n₂時(shí)，x(n)=0。其Z變換為

       

此式第二項(xiàng)是有限長(zhǎng)序列的Z變換,，收斂域?yàn)?/span>0<|z|≤∞,，第一項(xiàng)是正冪級(jí)數(shù)，收斂域?yàn)?/span>0≤|z|<R_x+,。綜合此兩項(xiàng),，只有兩項(xiàng)都收斂時(shí)級(jí)數(shù)才收斂，所以左邊序列Z變換的收斂域?yàn)?/span>0<|z|<R_x+,。

 

4、 雙邊序列Z變換的收斂域

這類序列是指n為任意值時(shí)x(n)皆有值的序列,。雙邊序列的收斂域?yàn)?/span>

 

問(wèn)題1：求序列x(n)= R_N(n)的Z變換及收斂域,，并畫出收斂域。

解：X(z)==,。因?yàn)檫@是有限長(zhǎng)序列,，所以收斂域?yàn)?/span>0<|z|≤∞。

思考：R_N(n)的DTFT存在嗎,？

 

問(wèn)題2：x(n)=aⁿu(n),，求其Z變換及收斂域，并畫出收斂域,。

解：這是右邊序列,，且是因果序列，其Z變換為X(z)=,。收斂域?yàn)?/span>（或?qū)懗?/span>）

思考：aⁿu(n)的DTFT存在嗎,？

 

問(wèn)題3：x(n)=-aⁿu(-n-1)，求其Z變換及收斂域,，并畫出收斂域,。

解：這是一個(gè)左邊序列。其Z變換為

      ,，

收斂域?yàn)?/span>0≤|z|<|a|（或?qū)懗?/span>|z|<|a|）,。

     思考：-aⁿu(-n-1)的DTFT存在嗎？

 

結(jié)論：當(dāng)Z變換的收斂域中包含單位圓時(shí),，用Z變換可求出DTFT,。

                            =  （2.5.4）

上式稱為單位圓上的Z變換就是離散時(shí)間傅立葉變換。

回顧：觀察零極點(diǎn),。

結(jié)論：零點(diǎn)可以在復(fù)平面的任意處,，但極點(diǎn)在收斂域的邊緣或收斂域的外面。

 

 

 

2.5.3  Z反變換

已知序列的Z變換及其收斂域,，求序列稱為Z反變換,。表示為x(n)=ZT^-1[X(z)]

            

    

其中，c是X(z)收斂域中一條逆時(shí)針的閉合曲線。

求Z反變換的方法通常有三種：圍線積分法（留數(shù)法）,、部分分式展開(kāi)法和長(zhǎng)除法,。

 

一、   圍線積分法（留數(shù)法）

直接計(jì)算圍線積分比較麻煩,，一般都采用留數(shù)定理來(lái)求解,。按留數(shù)定理，若函數(shù)F(z)=X(z)z^n-1在圍線c上連續(xù),，在c以內(nèi)有K個(gè)極點(diǎn)z_k,，則有

（2.5.6）

 

   設(shè)z_r是X(z)z^n-1的單極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理：

     如果z_k是L階極點(diǎn),，則根據(jù)留數(shù)定理,，

（2.5.8）

    (2.5.8)表明，對(duì)于L階極點(diǎn),，需要求L-1次導(dǎo)數(shù),，這是比較麻煩的。如果c內(nèi)有多階極點(diǎn),，而c外沒(méi)有多階極點(diǎn)時(shí),，可根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外所有極點(diǎn)之和，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化,。

   若函數(shù)F(z)=X(z)z^n-1在圍線c上連續(xù),，在c以內(nèi)有K個(gè)極點(diǎn)z_k，而在c以外有M個(gè)極點(diǎn)z_m,，（K,，M為有限值）。現(xiàn)在c內(nèi)有多階極點(diǎn),，而c外沒(méi)有多階極點(diǎn),，根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外所有極點(diǎn)之和。得：

 

                                  （2.5.9）                                            （2.5.9）應(yīng)用條件是X(z)z^n-1在z=∞有兩階或二階以上零點(diǎn),，即要分母多項(xiàng)式z的階次比分子多項(xiàng)式z的階次高二階或二階以上,。

 

 

 

問(wèn)題1：已知X(z)=z²/[(4-z)(z-1/4)]，1/4<|z|<4,，

求Z反變換,。

解：               c ，c為X(z)的收斂域

 

內(nèi)的閉合圍線,，畫出收斂域及c,。

X(z)z^n-1=。現(xiàn)在來(lái)看極點(diǎn)在圍線c內(nèi)部及外部的分布情況及極點(diǎn)階數(shù),。

當(dāng)時(shí),，函數(shù)在圍線c內(nèi)只有z=1/4處一個(gè)一階極點(diǎn),，

=，

 

當(dāng)時(shí),，函數(shù) 在圍線外部只有一個(gè)一階極點(diǎn)z=4,，而在圍線的內(nèi)部則有z=1/4處一階極點(diǎn)及z=0處一（n+1）階極點(diǎn)，所以采用圍線外部的極點(diǎn)較方便,。

     =,，

∴

 

問(wèn)題2：已知X(z)=z²/[(4-z)(z-1/4)]， |z|>4,，

求Z反變換,。

解：  c，c為X(z)的收斂域

 

內(nèi)的閉合圍線,。

X(z)z^n-1=?，F(xiàn)在來(lái)看在圍c內(nèi)部及外部的分布情況及極點(diǎn)階數(shù)。

當(dāng)時(shí),，

函數(shù)在圍線c內(nèi)z=1/4處有一個(gè)一階極點(diǎn),，z=4處有一個(gè)一階極點(diǎn),，

 +

=,，

當(dāng)n=-1時(shí)，x(n)=0,，∴x(n)= ,，

 

當(dāng)時(shí)，函數(shù) 在圍線外部沒(méi)有一個(gè)極點(diǎn),，所以采用圍線外部的極點(diǎn)較方便,。由于圍線外部沒(méi)有一個(gè)極點(diǎn)，∴x(n)=0,。

∴x(n)= （）u(n)

 

二,、   部分分式展開(kāi)法

對(duì)于大多數(shù)單極點(diǎn)的序列，常常用這種部分分式展開(kāi)法求Z反變換,。

X(z)=B(z)/A(z)= X₁(z)+ X₂(z)+…+ X_K(z),，則

= ZT^-1[X₁(z)]+ ZT^-1 [ X₂(z)]+…+ ZT^-1 [X_K(z)]

ZT^-1[X₁(z)]、ZT^-1 [ X₂(z)],、…ZT^-1 [X_K(z)]可從Z變換表中直接查表得出

 

問(wèn)題1：設(shè)X(z)=z²/[(z-2)(z-0.5)],，|z|>2，

求Z反變換,。

解：X(z) =z²/[(z-2)(z-0.5)]

A₁=,，A₂=

∴，

∵收斂域?yàn)?/span>|z|>2,，∴x(n)=

 

三,、   冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法

因?yàn)?/span>的Z變換定義為z^-1的冪級(jí)數(shù)，即

所以只要在給定得收斂域內(nèi)，把X(z)展成冪級(jí)數(shù),，則級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列,。

當(dāng)X(z)的收斂域?yàn)?/span>|z|>Rx-時(shí)，則必為因果序列,，此時(shí)應(yīng)將X(z)展成z的負(fù)冪級(jí)數(shù),，為此，X(z)的分子分母應(yīng)按z的降冪排列,；

當(dāng)X(z)的收斂域?yàn)?/span>|z|<Rx-時(shí),，則必為左邊序列， X(z)的分子分母應(yīng)按z的升冪排列,；

問(wèn)題1：已知，|z|>3

解：因?yàn)槭諗坑?/span>|z|>3,，所以這是因果序列,，因此，X(z)分子分母按z的降冪排列,。

 

  進(jìn)行長(zhǎng)除

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5.4  Z變換的基本性質(zhì)和定理

一,、   線性

線性就是要滿足比例性和可加性。若

X(z) = ZT [x(n) ],，

Y(z) = ZT [y(n) ],，

則ZT [ax(n)+by(n)]=a X(z)+b Y(z)，

,，,。

 

二、   序列的移位

若X(z) = ZT [x(n) ],，

則有ZT [x(n-m) ] =z^-mX(z),，

 

三、   乘以指數(shù)序列

若X(z) = ZT [x(n) ],，

則ZT [aⁿx(n) ]=X(),，

 

四、   序列乘以n

若X(z) = ZT [x(n) ],，

則ZT [n x(n) ]=－z,，

 

五、   復(fù)序列取共扼

一個(gè)復(fù)序列x(n)的共扼序列為x^*(n)

若ZT [x(n) ] =X(z) ,，

則ZT [x^*(n) ] =X^*(z^*) ,，

 

六、   翻轉(zhuǎn)序列

若ZT [x(n) ] =X(z) ,，

則ZT [x(－n) ] =X() ,，

 

七,、   （因果序列）初值定理

對(duì)于因果序列x(n)，即x(n)=0,，n<0,，ZT[x(n) ] =X(z)有

 

八、   （因果序列）終值定理

設(shè)x(n)為因果序列,，且X(z) = ZT [x(n) ]的極點(diǎn)處于單位圓|z|=1以內(nèi)（單位圓上最多在z=1處可有一階極點(diǎn)）,，則

 

九、   序列的卷積和（時(shí)域卷積和定理）

設(shè)y(n)為x(n)與h(n)的卷積和

y(n)= x(n)*h(n)=     

X(z) = ZT [x(n) ],，

H(z) = ZT [h(n) ],，

則Y(z) = ZT [y(n) ]= X(z) H(z)，

 

十,、   序列相乘（z域卷積定理）

若y(n)= x(n)·h(n),，且

X(z) = ZT [x(n) ]，

H(z) = ZT [h(n) ],，

則Y(z) = ZT [y(n) ]= ZT [x(n)·h(n)]

      =,，

    其中c是v平面上，與H(v)的公共收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條反時(shí)針旋轉(zhuǎn)的單封閉圍線,。

v平面收斂域?yàn)?/span>

 

 

 

或Y(z) = ZT [y(n) ]= ZT [x(n)·h(n)]

=,，

其中c是v平面上，與X(v)的公共收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條反時(shí)針旋轉(zhuǎn)的單封閉圍線,。

v平面收斂域?yàn)?/span>

 

 

十一,、           帕斯維爾(Parseval)定理

若X(z) = ZT [x(n) ],，

H(z) = ZT [h(n) ],，

且

      則

v平面上，c所在的收斂域?yàn)?/span>

     

 

證明：Y(z) = ZT [x(n)·h^*(n)]

      =

      =,，

因?yàn)?/span>,，所以z=1在收斂域中。令z=1代入上式,，

=

v平面上,，c所在的收斂域?yàn)?/span>

     

 

 

如果X(z)，H(z)在單位圓上都收斂,，則c可取為單位圓,，即，則

如果h(n)=x(n),，則進(jìn)一步有,。

 

2.5.5 利用Z變換解差分方程

     在第一章中介紹了差分方程的遞推解法，下面介紹Z變換解法,。這種方法將差分方程變成了代數(shù)方程,，使求解過(guò)程簡(jiǎn)單

     設(shè)N階線性常系數(shù)差分方程為

               (2.5.30)

 

一,、    求及

對(duì)(2.5.30)求雙邊Z變換：

     =

=/=，   h(n)= ZT^-1[]

=,，  y(n)= ZT^-1[]

 

 

2.6  離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

信號(hào)和系統(tǒng)的頻率特性一般用序列的傅立葉變換和Z變換進(jìn)行分析。

 

一,、   傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)

設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零,，輸出端對(duì)輸入為單位抽樣序列d(n)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n),。對(duì)h(n)進(jìn)行傅立葉變換得到：=,，一般稱為為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率特性,。

      將h(n)進(jìn)行Z變換,，得到，一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性,。

如已知系統(tǒng)的N階線性常系數(shù)差分方程，進(jìn)行雙邊Z變換,，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式：

如果的收斂域包含單位圓|z|=1則,，與的關(guān)系：=。即單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的傳輸函數(shù)

 

二,、   用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性

因果（可實(shí)現(xiàn)）系統(tǒng)其單位脈沖響應(yīng)h(n)一定滿足：當(dāng)n<0時(shí),，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)的收斂域一定包含¥點(diǎn),。

系統(tǒng)穩(wěn)定要求,，對(duì)照ZT定義，系統(tǒng)穩(wěn)定要求收斂域包含單位圓,。

所以系統(tǒng)因果且穩(wěn)定,，收斂域包含¥點(diǎn)和單位圓，那么收斂域表示為：r<|z|≤∞,，0<r<1,。也就是說(shuō)系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。

 

問(wèn)題1：一個(gè)因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為=,，其中a為實(shí)數(shù),，問(wèn)：a在哪些范圍內(nèi)才能使系統(tǒng)穩(wěn)定？

解：因?yàn)橄到y(tǒng)因果,，所以收斂域?yàn)?/span>|a|<|z|≤∞,，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須要求收斂域包含單位圓,，即要求|a|<1,。

 

三,、   利用系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性

      =

           將上式因式分解，得到：

                    =A

式中,，是的零點(diǎn),，是其極點(diǎn)。A參數(shù)影響傳輸函數(shù)的幅度大小,，影響系統(tǒng)特性的是零點(diǎn)和極點(diǎn)的分布,。下面采用幾何方法研究系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響。

          =A

設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定,，將z=代入,，得：

=A

     在z平面上，-用一根由零點(diǎn)指向單位圓上點(diǎn)B的向量表示,。同樣-用由極點(diǎn)指向點(diǎn)B的向量表示,，如圖2.6.2。

將向量用極坐標(biāo)表示：=,，=,，得到：

          =A=

= |A|   (2.6.8)

    =   （N=M）  (2.6.9)

當(dāng)頻率w從零變化到2p時(shí)，這些向量的終點(diǎn)B沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,，按照(2.6.8)和(2.6.9)分別估算出系統(tǒng)的幅度特性和相位特性,。

按照(2.6.8)知道零極點(diǎn)的分布后，可以很容易地確定零極點(diǎn)位置對(duì)系統(tǒng)特性的影響,。當(dāng)B點(diǎn)轉(zhuǎn)到極點(diǎn)附近時(shí),，極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度最短因而幅度特性可能出現(xiàn)峰值，且極點(diǎn)愈靠近單位圓,，極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度愈短,，峰值愈高愈尖銳。如果極點(diǎn)在單位圓上,，則幅度特性為¥,，系統(tǒng)不穩(wěn)定,。對(duì)于零點(diǎn),，情況相反，當(dāng)B點(diǎn)轉(zhuǎn)到零點(diǎn)附近,，零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度變短,，幅度特性將出現(xiàn)谷值，零點(diǎn)愈靠近單位圓,，谷值愈接近零,。當(dāng)零點(diǎn)處在單位圓上時(shí)，谷值為零,?？偨Y(jié)以上結(jié)論：極點(diǎn)位置主要影響頻響的峰值位置及尖銳程度,，零點(diǎn)位置主要影響頻響的谷點(diǎn)位置及形狀。
1．5 模擬信號(hào)數(shù)字處理方法

數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)優(yōu)于模擬信號(hào)處理技術(shù),，故人們將模擬信號(hào)數(shù)字化,，即經(jīng)過(guò)采樣、量化編碼最終形成數(shù)字信號(hào),。

 

連續(xù)時(shí)間信號(hào)變?yōu)殡x散時(shí)間信號(hào)是由“采樣”這一過(guò)程完成的,。采樣是將模擬信號(hào)數(shù)字化的第一個(gè)環(huán)節(jié)。它是利用周期性抽樣脈沖序列(常用p(t)表示)從連續(xù)信號(hào)中抽取一系列的離散值來(lái)得到抽樣信號(hào)的,。如下圖,，根據(jù)每個(gè)脈沖寬度的不同，可將抽樣分為兩種:

     理 想 抽 樣         實(shí) 際 抽 樣
       

 

我們要研究的是,，信號(hào)被抽樣后其頻譜將會(huì)有什么變化,？在什么條件下，可從抽樣信號(hào)中不失真地恢復(fù)原來(lái)信號(hào)x_a(t)?

 

設(shè)：x_a(t)的傅立葉變換為：,，抽樣脈沖序列p(t)的傅立葉變換為：，抽樣信號(hào)的傅立葉變換為：,，

∵= x_a(t)p(t),，∴。

 

 

由上圖得,，抽樣脈沖序列p(t)的周期為T,，則抽樣頻率。則周期信號(hào)p(t)的傅立葉變換,，其中,。

 

的傅立葉變換為：

 

一、理想抽樣

p(t)=

=

=

∴

=

 

= x_a(t) p(t) ,，  p(t)=

= x_a(t) p(t)= x_a(t)

   ==

 

 

 

 

 

 

 

 

二,、抽樣定理

要想抽樣后能不失真的還原出原信號(hào), 則抽樣頻率必須大于兩倍的信號(hào)譜最高頻率即，這就是抽樣定理,。

對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣形成采樣信號(hào),，采樣信號(hào)的頻譜是原連續(xù)信號(hào)的頻譜以采樣頻率為周期進(jìn)行周期性的延拓形成的。

     =    (1.5.5)

 

三,、抽樣的恢復(fù)

       如果滿足抽樣定理,，則抽樣后不會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊，故將通過(guò)如圖所示的理想低通濾波器,，就可得到信號(hào)頻譜,。

雖然理想低通濾波器是不可實(shí)現(xiàn)的，但在一定精度范圍內(nèi)可以用可實(shí)現(xiàn)的濾波器來(lái)逼近

下面討論如何由抽樣值來(lái)恢復(fù)原來(lái)的模擬信號(hào),。即通過(guò)H(jW)系統(tǒng)的響應(yīng)特性,。理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為

由與h(t)的卷積積分,，即得理想低通濾波器的輸出為

＝

＝

這就是內(nèi)插值公式，即由信號(hào)的抽樣值經(jīng)此公式而得到連續(xù)信號(hào),，而稱為內(nèi)插函數(shù),，如圖所示，在抽樣點(diǎn)mT上,，函數(shù)值為1,，其余抽樣點(diǎn)上，函數(shù)值為0,。

在每個(gè)抽樣點(diǎn)上,，只有該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)不為零，這使得各抽樣點(diǎn)上信號(hào)值不變,，而抽樣點(diǎn)之間的信號(hào)則由各加權(quán)抽樣函數(shù)波形的延伸疊加而成,，如下圖所示。這個(gè)公式說(shuō)明了只要抽樣頻率高于兩倍信號(hào)最高頻率,，則整個(gè)連續(xù)信號(hào)就可完全用它的抽樣值來(lái)代表,，而不會(huì)丟掉如何信息。這就是抽樣定理的意義,。

 

 

 

 

 

 

總結(jié)：如果序列是通過(guò)對(duì)模擬信號(hào)采樣得到的,，有關(guān)系：x(n)=x_a(nT)，即序列值對(duì)于對(duì)模擬信號(hào)的采樣值,，或者說(shuō)對(duì)于采樣信號(hào)在t=nT時(shí)的幅度,。

 

例：= sin(W t)，理想抽樣后,，

x(n)= =sin(WnT)= sin(nω₀)

∴ ω₀= WT 數(shù)字域頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系,。

ω₀= WT= W/f_s=2pf/f_s  
2. 4時(shí)域離散信號(hào)的傅立葉變換與模擬信號(hào)傅立葉變換之間的關(guān)系

連續(xù)信號(hào)的傅立葉變換及反變換公式如下：

=

 

理想抽樣后的抽樣信號(hào)為，

= x_a(t) p(t) =

則抽樣信號(hào)的傅立葉變換

 =

 

 

離散時(shí)間信號(hào)x(n)=x_a(nT),，x(n)的傅立葉變換為：        （2.2.1）

 

抽樣信號(hào)的傅立葉變換與有什么關(guān)系,？

可以證明，也可寫成：

=,，對(duì)照

 = ,，都是以周期進(jìn)行周期延拓。

 

畫時(shí),，以w為橫軸,，以周期進(jìn)行周期延拓。

畫時(shí),，以W為橫軸，以周期進(jìn)行周期延拓,。

坐標(biāo)軸之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下圖所示,。

在一些文獻(xiàn)中經(jīng)常使用歸一化頻率,，因?yàn)?/span>，和都是無(wú)量綱量,，刻度是一樣的,。

 

所以數(shù)字頻率0、2p處是低頻,，p附近代表高頻,。

當(dāng)抽樣頻率是信號(hào)最高頻率4倍時(shí)，最高頻率所對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率為,。