幾何畫板教程綱要

第1講  幾何畫板基本功能

隨著計(jì)算機(jī)在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與發(fā)展，各種計(jì)算機(jī)軟件相繼推出,。“幾何畫板”作為其中的佼佼者得到越來(lái)越多有識(shí)之士的青睞,。幾何畫板“The Geometers Sketchpad”是美國(guó)優(yōu)秀的教育軟件,，由人民教育出版社漢化并獨(dú)家出版發(fā)行，命名為《幾何畫板－21世紀(jì)的動(dòng)態(tài)幾何》,。它也是教育部?jī)?yōu)先推廣的教育軟件之一,。它的特點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合的準(zhǔn)確度高，動(dòng)態(tài)演示功能強(qiáng),，非常適合教學(xué)使用,。

第一課  幾何畫板簡(jiǎn)介

一、運(yùn)行幾何畫板程序：

1,、菜單欄——文件、編輯,、顯示,、構(gòu)造,、變換,、度量、圖表,、窗口,、幫助。

2,、工具欄——選擇,、畫點(diǎn)、畫圓,、畫線,、文本、自定義,。

工具組

3,、工作畫面——制作內(nèi)容的地方。

二．畫簡(jiǎn)單的圖形：

1、用畫圖工具畫圖形,。

2．“撤銷”,、“選擇”、“移動(dòng)”

3．“標(biāo)注”,、“文本框”

4．“線型”,、“顏色”和“隱藏對(duì)象”

5．“追蹤”和“擦除追蹤蹤跡”

第二課  用構(gòu)造菜單構(gòu)造圖形

在幾何畫板的工具欄內(nèi)有畫圓工具和畫線工具，相當(dāng)于是我們平常畫圖時(shí)用的圓規(guī)和直尺,。根據(jù)平面幾何中尺規(guī)作圖的原則,，已經(jīng)可以作出非常多的圖形。為了減少作圖時(shí)不必要的重復(fù),，并使作圖準(zhǔn)確,、合理，幾何畫板中設(shè)置了一個(gè)“構(gòu)造” 菜單,。下拉構(gòu)造菜單,，可以看到如下一些命令：

對(duì)象上的點(diǎn)——在選定的對(duì)象上構(gòu)造一個(gè)點(diǎn)

中點(diǎn)——構(gòu)造選定線段的中點(diǎn)

交點(diǎn)——構(gòu)造兩個(gè)對(duì)象的交點(diǎn)

線段——構(gòu)造過兩個(gè)或更多的點(diǎn)的線段

射線——構(gòu)造過兩個(gè)或更多的點(diǎn)的射線

直線——構(gòu)造過兩個(gè)或更多的點(diǎn)的直線

垂線——構(gòu)造過一點(diǎn)與一條直線型對(duì)象垂直的直線

平行線——構(gòu)造過一點(diǎn)與一條直線型對(duì)象平行的直線

角平分線——構(gòu)造順序選定的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成角的平分線

以圓心和圓周上的點(diǎn)畫圓——構(gòu)造以圓心和圓周上的點(diǎn)（兩個(gè)點(diǎn)）的圓

以圓心和半徑畫圓——構(gòu)造以一點(diǎn)為圓心某線段為半徑的圓

圓上的弧——構(gòu)造過圓上選定的兩點(diǎn)的弧

過三點(diǎn)的弧——構(gòu)造過選定的三個(gè)點(diǎn)的弧

內(nèi)部——構(gòu)造一組點(diǎn)、一個(gè)圓,、一條弧內(nèi)部

軌跡——構(gòu)造一對(duì)象隨路徑上的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡

例1：過C點(diǎn)的線段AB的垂線

構(gòu)造垂線：選定線段AB | 選定點(diǎn)C | 選“垂線”

制作線段：選定C,、D兩點(diǎn) | 選“線段”得到線段CD。

隱藏垂線：選定垂線CD | 選“隱藏”（注：不能刪除）

例2：構(gòu)造一個(gè)正方形,。

1,、畫一邊（線段）

2、作垂線

3,、畫圓在垂線上截取等長(zhǎng)

4,、作平行線或垂線

5、作三條邊隱藏直線

例3：作圓的割線中點(diǎn)的軌跡,。

解：1. 在畫面上畫一個(gè)圓O和圓外一點(diǎn)D,；

2．選中圓O，用構(gòu)造菜單中的“對(duì)象上的點(diǎn)”功能得到一個(gè)點(diǎn)P,；

3．作線段DP,，選中它，用構(gòu)造菜單中的“中點(diǎn)”功能得到DP的中點(diǎn)M,；

4．先后選中M點(diǎn)和P點(diǎn),，用構(gòu)造菜單中的“軌跡”功能，得到一個(gè)軌跡,，軌跡為一個(gè)圓,。             圖2－6

這個(gè)軌跡是當(dāng)P點(diǎn)在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DP的中點(diǎn)M的軌跡,。運(yùn)用軌跡功能一定要注意,，動(dòng)點(diǎn)P應(yīng)是由路徑(圓O)上用“對(duì)象上的點(diǎn)”功能得到的,，軌跡上的點(diǎn)M應(yīng)是由動(dòng)點(diǎn)P與其它條件聯(lián)立得到的，這樣就可以使用“軌跡”功能了,。

構(gòu)造軌跡的例子

例4：構(gòu)造圓的垂直于直徑的半弦的中點(diǎn)的軌跡

作圓

作直徑

作垂處于直徑的弦

構(gòu)造半弦中點(diǎn)

構(gòu)造軌跡

也可設(shè)置動(dòng)畫并跟蹤點(diǎn)來(lái)畫出軌跡,。

l        動(dòng)畫：選擇點(diǎn)，“編輯”|“操作類按鈕”|“動(dòng)畫”| 設(shè)置動(dòng)畫性質(zhì),。

例5：按橢圓定義構(gòu)造一個(gè)橢圓

利用橢圓的定義,，先作一定長(zhǎng)線段AB，在線段上取一點(diǎn)C將AB分為AC和BC,，當(dāng)C在AB上移動(dòng)時(shí)其和AB不變,。

分別以兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以AC和CB為半徑畫圓其交點(diǎn)的軌跡即是橢圓,。

例6：橢圓的另一種畫法

1,、作兩同心圓，作過圓心的直線l

2,、作外圓的半徑AB交內(nèi)圓于H

3,、過B作l的垂線k

4、過H作k的垂線交k于P

5,、拖動(dòng)B點(diǎn)觀察P點(diǎn)的軌跡

6,、設(shè)置B點(diǎn)動(dòng)畫跟蹤P點(diǎn)看軌跡

7、選中P點(diǎn)和B點(diǎn)“構(gòu)造”“軌跡”

如何證明它是橢圓可以指導(dǎo)學(xué)生完成,。

例7：拋物線的一種畫法

1,、畫出X軸和Y軸

2、畫出準(zhǔn)線L和焦點(diǎn)P

3,、在準(zhǔn)線L上取一點(diǎn)A,，過A點(diǎn)作準(zhǔn)線L的垂線

4、連接AP并作AP的垂直平分線交L于B

5,、選中B和A,，構(gòu)造軌跡

6、也可設(shè)置A在L上動(dòng)畫,，并設(shè)置跟蹤點(diǎn)B,。

l          求動(dòng)點(diǎn)軌跡的一般方法如下：

(1)   畫出一條直線或曲線(或其中的一段),，用作圖菜單中的“對(duì)象上的點(diǎn)”功能在直線或曲線上取一個(gè)點(diǎn)P,；

(2)   使這個(gè)點(diǎn)P與其它的已知條件相關(guān)聯(lián)，得到我們所要求的點(diǎn)M,，要求盡可能多用作圖菜單或變換菜單來(lái)完成,，少用或不用畫圖工具，以減少人為因素的影響,；

(3)   選中這個(gè)點(diǎn)M,，用作圖菜單中的“追蹤點(diǎn)”功能定義M點(diǎn)；

(4)   選中P點(diǎn)和已知直線或曲線(或其中的一段)，用編輯菜單中的“操作類按鈕……動(dòng)畫”功能定義一個(gè)動(dòng)畫,，使點(diǎn)P在已知直線或曲線(或其中的一段)上運(yùn)動(dòng),；

(5)   雙擊動(dòng)畫圖標(biāo)，觀察動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡,；

(6)   先后選中M點(diǎn),、P點(diǎn)，用作圖菜單中的“軌跡”功能,，得到M點(diǎn)的軌跡,。

第三課  “度量”“圖表”菜單的使用和解析式的圖像

1．             度量菜單功能。

注：度量的結(jié)果可以用于顯示,，也可以用它進(jìn)一步運(yùn)算,，還可以用度量的結(jié)果再構(gòu)造圖形，這是一個(gè)很有用的功能,。

長(zhǎng)度——度量線段的長(zhǎng)度,。（選中線段，度量 | 長(zhǎng)度）

距離——度量?jī)牲c(diǎn)間或點(diǎn)到直線的距離,。（選中兩點(diǎn)或點(diǎn)和直線,，度量 | 距離）

周長(zhǎng)——度量圓、多邊形,、扇形或弓形的周長(zhǎng),。（選中對(duì)象，度量 | 周長(zhǎng)）

圓周長(zhǎng)——度量圓,、扇形或弓形的周長(zhǎng),。（選中對(duì)象，度量 | 周長(zhǎng)）

角度——度量三點(diǎn)構(gòu)成的角的角度,。（選中三點(diǎn),，第二點(diǎn)為頂點(diǎn)，度量 | 角度）

面積——度量圓,、多邊形,、扇形或弓形的面積。（選中對(duì)象,，度量 | 面積）

弧度角——度量弧,、扇形或弓形的圓心角。（選中弧,，度量 | 弧度角）

弧長(zhǎng)——度量弧,、扇形或弓形的弧長(zhǎng)。（選中弧,，度量 | 弧長(zhǎng)）

半徑——度量圓,、弧的半徑,。（選中弧或圓，度量 | 半徑）

比——度量?jī)蓷l線段的比,。（選中兩線段,，度量 | 比）

計(jì)算——用計(jì)算器或公式（函數(shù)）進(jìn)行計(jì)算。（對(duì)數(shù)值和度量值進(jìn)行公式或函數(shù)運(yùn)算）

坐標(biāo)——度量點(diǎn)的坐標(biāo),。（選中點(diǎn),，度量 | 坐標(biāo)。若是在極坐標(biāo)狀態(tài)下顯示極坐標(biāo)值）

橫坐標(biāo)——度量點(diǎn)的橫坐標(biāo),。（選中點(diǎn),，度量 | 橫坐標(biāo)）

縱坐標(biāo)——度量點(diǎn)的縱坐標(biāo)。（選中點(diǎn),，度量 | 縱坐標(biāo)）

坐標(biāo)距離——度量?jī)牲c(diǎn)間的距離,。（注：?jiǎn)挝皇亲鴺?biāo)單位，不是長(zhǎng)度單位）

斜率——度量直線（線段）的斜率,。（選中直線或線段,，度量 | 斜率）

方程——度量直線的方程。（選中直線,，度量 | 方程）

當(dāng)你生成了一個(gè)度量值時(shí),，此值出現(xiàn)在系統(tǒng)設(shè)定的位置上?？梢杂眠x擇箭號(hào)工具把度量值移到你要放的任何地方,。用顯示菜單中的“字型”和“字體”功能改變文字的特征。

2．度量菜單中的“計(jì)算”功能,。它可以作為一個(gè)常用的計(jì)算器來(lái)進(jìn)行常規(guī)運(yùn)算,，更重要的是它可以把我們前面度量得到的度量值進(jìn)行進(jìn)一步的計(jì)算，從而得到更多的數(shù)值,。

例如我們得到了一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)X=1,，選中這個(gè)坐標(biāo)值，用度量菜單中的“計(jì)算”功能,，選定“3*數(shù)值X^2+2*X-6”（表示：3X²+2X-6）,，按“確定”后得到

   在計(jì)算器中用“*”表示乘號(hào)，用“/”表示除號(hào),，用“^”表示乘方,。

在計(jì)算器的函數(shù)功能中設(shè)置了若干常用的函數(shù)，可以供我們?cè)谟?jì)算時(shí)使用,，其中有：

正弦函數(shù)sin(x)         余弦函數(shù)cos(x)         正切函數(shù)tan(x) 

反正弦函數(shù)arcsin(x)    反余弦函數(shù)arccos(x)    反正切函數(shù)arctan(x)

絕對(duì)值函數(shù)abs(x)       平方根函數(shù)sqrt(x)      自然對(duì)數(shù)函數(shù)ln(x)

以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)log(x)   截尾函數(shù)trunc(x)   取整函數(shù)round(x)

符號(hào)函數(shù)signum(x)

函數(shù)的圖象舉例

用度量菜單中的“計(jì)算”功能可以作出很多常見函數(shù)的圖像,。

例1：畫函數(shù)y=2x²的圖像。

2．選中x軸(若只有函數(shù)的圖象在某個(gè)給定的定義域內(nèi),，則在x軸上取相應(yīng)的線段)，用構(gòu)造菜單中的“對(duì)象上的點(diǎn)”功能得到一個(gè)點(diǎn)X（或指向Ｘ軸待顏色發(fā)生變化時(shí)畫點(diǎn)）,；

3．選定X點(diǎn),，用度量菜單中的“橫坐標(biāo)”功能求出X點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

4．選定這個(gè)橫坐標(biāo),，用度量菜單中的“計(jì)算”功能,，求2*x^2的值作為y的值；

5．先,、后選中橫坐標(biāo),、縱坐標(biāo)，用圖形菜單中的“繪制點(diǎn)(x, y)”功能生成一個(gè)點(diǎn)M,；

6．選中這個(gè)點(diǎn)M,，用顯示菜單中的“追蹤點(diǎn)”功能定義M點(diǎn)；

7．選中原來(lái)的X點(diǎn),用編輯菜單中的“操作類按鈕……動(dòng)畫”功能定義一個(gè)動(dòng)畫,，得到一個(gè)匹配路徑對(duì)話框,，選擇好運(yùn)動(dòng)方式后按“動(dòng)畫”得到一個(gè)“動(dòng)畫”圖標(biāo)，使X點(diǎn)在x軸（或x軸上的線段）上運(yùn)動(dòng),；

8．單擊動(dòng)畫圖標(biāo),，觀察動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡；

9．先后選中M點(diǎn),、X點(diǎn),，用作圖菜單中的“軌跡”功能，得到M點(diǎn)的軌跡,。

例2：畫三角函數(shù)y=sin(x)的圖像,。

1．定義直角坐標(biāo)系。

2．在x軸上選定一條線段MN,，在MN上任取一點(diǎn)X,，計(jì)算點(diǎn)X的橫坐標(biāo)；

3．選中x的值,，計(jì)算y=sin(x)的值,，作為y的值；

4．先后選中x,、y,，用“圖表”菜單中的“繪制點(diǎn)(x, y)”生成對(duì)應(yīng)點(diǎn)P；

5．選中這個(gè)點(diǎn)P,，用“顯示”菜單中的“追蹤點(diǎn)”定義這個(gè)點(diǎn),；

6．選中X點(diǎn)和線段MN，用“編輯”菜單中的“動(dòng)畫”工具,，得到一個(gè)動(dòng)畫圖標(biāo),；

7．單擊《動(dòng)畫》使X點(diǎn)在線段MN上運(yùn)動(dòng),，得到函數(shù)y=sin(x)的圖象；

8．選中P點(diǎn),、X點(diǎn),，用“構(gòu)造”菜單中的“軌跡”工具，得到函數(shù)y=sin(x)的圖象,。

擴(kuò)展：作函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)的圖像,。

解：在三角函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)的圖像中有三個(gè)參數(shù)，A,、ω,、φ，我們可以取定值,，

也可以分別取三個(gè)點(diǎn),，A點(diǎn)、ω點(diǎn),、φ點(diǎn),，使它們對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)分別表示這三個(gè)參數(shù)，這樣當(dāng)A點(diǎn),、ω點(diǎn)或φ點(diǎn)移動(dòng)時(shí),，參數(shù)的值也同時(shí)變化。

在三角函數(shù)的運(yùn)算中,，要使用角度,。為了與函數(shù)的表達(dá)式盡可能一致，角度的選擇應(yīng)改為弧度值,。下拉顯示菜單,，用“參數(shù)選擇”功能，打開對(duì)象參數(shù)選擇對(duì)話框,，將角度的單位改為弧度,。

1．在y軸上取A點(diǎn)，計(jì)算它的縱坐標(biāo)作為A的值,；在x軸上取ω,、φ點(diǎn)，計(jì)算它們的橫坐標(biāo)作為ω,、φ的值,。

2．在x軸上選定一條線段MN，在MN上任取一點(diǎn)X,，計(jì)算點(diǎn)X的橫坐標(biāo),；

3．選中A、ω、φ,、x,，計(jì)算y=Asin(ωx＋φ)的值，作為y的值,；

4．先后選中x,、y,，用“圖表”菜單中的“繪制點(diǎn)(x, y)”生成對(duì)應(yīng)點(diǎn)P,；

5．選中這個(gè)點(diǎn)P，用“構(gòu)造”菜單中的“追蹤點(diǎn)”定義這個(gè)點(diǎn),；

6．選中X點(diǎn)和線段MN,，用“編輯”菜單中的“動(dòng)畫”工具，得到一個(gè)動(dòng)畫圖標(biāo),；

7．“雙擊”《動(dòng)畫》使X點(diǎn)在線段MN上運(yùn)動(dòng),，得到函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)的圖像；

8．選中P點(diǎn),、X點(diǎn),，用“作圖”菜單中的“軌跡”工具，得到函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)的圖像,。

當(dāng)拖動(dòng)A點(diǎn)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)振幅發(fā)生變化,，其它亦然。

例3：按橢圓方程 作其圖像（a,、b為常數(shù)）

1,、在X軸上取A點(diǎn)度量其橫坐標(biāo)（常數(shù)a）。

2,、在Y軸上取B點(diǎn)度量其縱坐標(biāo)（常數(shù)b）,。

3、在X軸上取X點(diǎn)度量其橫坐標(biāo),。

4,、由X、a,、b“計(jì)算”出Y的值,。

5、選中X和Y的值從“圖表”菜單中選“繪制（x,y）”得到P點(diǎn)和P’點(diǎn),。

6,、分別選中P、X和P,、X’“構(gòu)造”“軌跡”,。

7、也可以設(shè)置X點(diǎn)動(dòng)畫并跟蹤P和P’點(diǎn)畫出圖像,。

在這里可以提示學(xué)生利用已經(jīng)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)進(jìn)一步計(jì)算圓錐曲線中的參數(shù)及與圖像的關(guān)系（如：a,、b,、c、e,、準(zhǔn)線方程,、漸近線方程等）

n         作函數(shù)的圖像的一般方法如下：

(1)   用圖表菜單下的“定義坐標(biāo)系”定義一直角坐標(biāo)系；

(2)   在x軸上任選一點(diǎn)P,，用度量菜單中的“橫坐標(biāo)”功能求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo),；

(3)   選中橫坐標(biāo)，用度量菜單中的“計(jì)算”功能,，算出對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo),；

(4)   先、后選中橫坐標(biāo),、縱坐標(biāo),，用圖表菜單中的“繪制點(diǎn)(x, y)”功能生成一個(gè)點(diǎn)M；

(5)   選中這個(gè)點(diǎn)M,，用作圖菜單中的“追蹤點(diǎn)”功能定義M點(diǎn),；

(6)   選中原來(lái)的點(diǎn)P和x軸（或x軸上的一條線段）用編輯菜單中的“操作類按鈕……動(dòng)畫”功能定義一個(gè)動(dòng)畫，使點(diǎn)P在x軸（或x軸上的一條線段）上運(yùn)動(dòng),；

(7)   雙擊動(dòng)畫圖標(biāo),，觀察動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡；

(8)   先后選中M點(diǎn),、P點(diǎn),，用作圖菜單中的“軌跡”功能，得到M點(diǎn)的軌跡,。

構(gòu)造圓錐曲線的方法很多,，大家可以挖掘教材、整理結(jié)合點(diǎn),、設(shè)計(jì)教學(xué),，充分發(fā)揮幾何畫板的功能輔助教學(xué)。