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作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)的數(shù)學(xué)解題 陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 羅增儒 羅新兵 一、對數(shù)學(xué)解題的基本認(rèn)識 1,、重要性 作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)的解題與數(shù)學(xué)家的解題既有聯(lián)系又有區(qū)別,。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為：“數(shù)學(xué)家存在的主要理由就是解問題，數(shù)學(xué)的真正的組成部分是問題和解”.對于職業(yè)數(shù)學(xué)工作者來說,，“題”是研究的對象,，“解”是研究的目標(biāo)，解題是其數(shù)學(xué)活動的基本形式和主要內(nèi)容,，也是其自身的存在目的和興奮中心,。而對數(shù)學(xué)教學(xué)而言,，不僅要把“題”作為研究的對象,，把“解”作為研究的目標(biāo)，而且也要把“解題活動”作為對象,，把學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”,、促進(jìn)“人的發(fā)展”作為目標(biāo)。解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中有其不可替代的重要作用：（1)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容,；（2)解題是掌握數(shù)學(xué),，學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”的基本途徑；（3）解題是評價學(xué)習(xí)的重要方式,。 2,、基本問題 （l）作為數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)解題理論需要回答兩個基本問題：①怎樣解題？②怎樣學(xué)會解題,？波利亞《怎樣解題》一書直接提出了第①個問題,，也在努力回答第②個問題。但我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)既未直接提出這些問題,，也未正面回答這些問題,，表現(xiàn)為一種默會知識的內(nèi)隱學(xué)習(xí)，或有意無意地將其簡單化為“模仿＋練習(xí)十?dāng)?shù)學(xué)事實的接受”,。 (2)以上兩個基本問題觸及數(shù)學(xué)教育的3個基本矛盾：一是數(shù)學(xué)與教育的矛盾,。數(shù)學(xué)教育學(xué)應(yīng)是一門具有數(shù)學(xué)特征的教育學(xué)科，數(shù)學(xué)是前提，教育是本質(zhì),；解釋數(shù)學(xué)解題首先要有數(shù)學(xué)特點,，區(qū)別于物理解題、化學(xué)解題,、語文解題,、歷史解題；同時又要體現(xiàn)教育特點,，有別于純粹數(shù)學(xué)形式的運(yùn)演并應(yīng)進(jìn)人心理層面,。二是綜合性與獨(dú)立性的矛盾。數(shù)學(xué)教育學(xué)應(yīng)是一門具有綜合性的獨(dú)立學(xué)科,，數(shù)學(xué)解題廣泛涉及數(shù)學(xué)教育觀,、數(shù)學(xué)知識、心理活動,、思維方法,、計算機(jī)技術(shù)等，表現(xiàn)為多學(xué)科的交叉,；同時又不是這些相關(guān)學(xué)科內(nèi)容的簡單相加,，而是有機(jī)融合后相對獨(dú)立的實體。三是實踐性與理論性的矛盾,。數(shù)學(xué)教育學(xué)應(yīng)是一門具有實踐性的理論學(xué)科,，解題首先是一種實踐活動。波利亞說：“你想學(xué)會游泳,，你就必須下水,，你想成為解題的能手，你就必須去解題,。”弗里德曼也說：“尋找解題不能教會,，而只能靠自己學(xué)會。”數(shù)學(xué)教學(xué)的最終成果之一,，應(yīng)使學(xué)生會解題,。但是實踐不能流于盲目或簡單重復(fù)，需要理論來做指導(dǎo),。為什么學(xué)校里會有這么多的數(shù)學(xué)后進(jìn)生,？原因可能是多方面的，但與我們對數(shù)學(xué)解題的思維規(guī)律認(rèn)識不清有關(guān),，與解題理論尚未完善或尚未發(fā)揮指導(dǎo)作用有關(guān),。 (3)長期以來，解題活動存在一些弊端,。①用現(xiàn)成的觀點說明現(xiàn)成的例子,，或用現(xiàn)成的例子說明現(xiàn)成的觀點,；②長期徘徊在一招一式的歸類上，缺少理論上的提高或?qū)嵸|(zhì)性的突破,，有時候,，只是解題方法的簡單堆積或解題技巧的神秘出現(xiàn)；③多說“這樣解”,，少說或不說“為什么這樣解”,；④解題研究多停留在操作層面，未能深人到心理層面,；⑤更關(guān)注現(xiàn)成,、形式化問題的求解，對問題的“提出”和“應(yīng)用”研究不足,。因此,，盡管解題有豐富的資料積累（還曾獲imo和iaep的雙料冠軍），而公認(rèn)具有中國特色的數(shù)學(xué)解題理論尚待創(chuàng)建,。 3,、理論建設(shè) （1)要把解題理論建設(shè)為數(shù)學(xué)教育的一個獨(dú)立分支，其標(biāo)志應(yīng)該是：①有自己獨(dú)立的研究對象,。數(shù)學(xué)解題理論的研究對象可以界定為“解題活動”,，研究解題活動需要回答的基本問題是：怎樣解題？怎樣學(xué)會解題,？②有自己獨(dú)立的研究方法,。一方面要對數(shù)學(xué)解題實踐進(jìn)行經(jīng)驗歸納，在實證基礎(chǔ)上提煉理論,；另一方面要對教育心理學(xué)做理論演繹,，改造為有數(shù)學(xué)特征的行動指南。數(shù)學(xué)和心理學(xué)應(yīng)是數(shù)學(xué)解題理論的兩大支柱,，這兩個學(xué)科研究方法的綜合，應(yīng)產(chǎn)生對解題過程進(jìn)行專業(yè)分析的特有方法,。③有自己獨(dú)立的概念體系和基本原理,。解題研究已初步積累有趣、解題,、解題過程,、解題程序、解題力量,、解題方法,、解題策略、數(shù)學(xué)問題解決基本框架等成果,，為理論建立奠定了基礎(chǔ),。 (2)建立解題理論對其建設(shè)者有較高的要求,，基本素質(zhì)包括：①具備較寬厚的數(shù)學(xué)知識和較豐富的解題實踐經(jīng)驗。②具備數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論的知識,，掌握規(guī)范的心理學(xué)研究方法和工具,，使得解題研究能夠深人到心理層面。③具有數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐經(jīng)驗,，并與學(xué)生有經(jīng)常接觸和直接交流的環(huán)境,。沒有課堂基礎(chǔ)和學(xué)生基礎(chǔ)，解題理論只能是上不著天,、下不著地的“空中樓閣”,。 二、解題概念的初步界定 1,、數(shù)學(xué)題 （1)數(shù)學(xué)題（簡稱題）是指數(shù)學(xué)上要求回答或解釋的題目,，需要研究或解決的矛盾。 數(shù)學(xué)家把結(jié)論未知的題目才稱為題,，如“哥德巴赫猜想”,，而一旦解決了就稱為“定理”（公式），這更多地體現(xiàn)了“需要研究或解決的矛盾”,，更多地體現(xiàn)了問題的本質(zhì)：現(xiàn)有水平與客觀需要的矛盾,。 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，則把結(jié)論已知的題目也稱為題,，因為它對學(xué)生而言,，與數(shù)學(xué)家所面臨的問題，情景是相似的,、性質(zhì)是相同的,，這時候的數(shù)學(xué)題是指：為實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)而要求師生解答的問題系統(tǒng)。重點在“要求回答或解釋的題目”,，包括一個待計算的答案,、一個待證明的結(jié)論（含定理、公式）,、一個待做出的圖形,、一個待判斷的命題、一個待建立的概念,、一個待解決的實際問題等,。其中有課堂上的提問、范例,、練習(xí)和所解決的概念,、定理、公式,，有學(xué)生的課外作業(yè)和測驗試題,，有師生共同進(jìn)行的研究性課題等,。 (2）傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)題具有接受性、封閉性和確定性的特征,。學(xué)生通過對教材的簡單模仿和操作練習(xí),，基本就能完成；其結(jié)構(gòu)是常規(guī)的,，答案確定,、條件不多不少，可以按照現(xiàn)成的公式或常規(guī)的思路獲得解決,，主要目的在于鞏固和變式訓(xùn)練,。有時，題目也有挑戰(zhàn)性,，但數(shù)量不多,、難度不大，這類題目可以稱為“練習(xí)題”（exercise）,。 作為數(shù)學(xué)教育口號的“問題解決”,，對問題的障礙性和探究性提出了較高的要求。波利亞將問題理解為“有意識地尋求某一適當(dāng)?shù)男袆?，以便達(dá)到一個被清楚地意識到但又不能立即達(dá)到的目的,。解決問題是尋找這種活動”。1986年第6屆國際數(shù)學(xué)教育大會的一份報告指出：“一個（數(shù)學(xué)）問題是一個對人具有智力挑戰(zhàn)特征的,、沒有現(xiàn)成的直接方法,、程序或算法的尚未解決的情境。”這類題目可以稱為“問題”（problem）,。這里所強(qiáng)調(diào)的是,，從初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)之間的障礙，由現(xiàn)有水平到客觀需要之間的矛盾,，正是問題的實質(zhì),。 2、解題 解題就是“解決問題”,，即求出數(shù)學(xué)題的答案,，這個答案在數(shù)學(xué)上也叫做“解”，所以,，解題就是找出題解的活動。小至一個學(xué)生算出作業(yè)的答案,、一個教師講完定理的證明,，大至一個數(shù)學(xué)課題得出肯定或否定的結(jié)論、一個數(shù)學(xué)技術(shù)應(yīng)用于實際構(gòu)建出適當(dāng)?shù)哪Ｐ偷?，都叫做解題,。數(shù)學(xué)家的解題是一個創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的過程,，教學(xué)中的解題更多的是一個再創(chuàng)造或再發(fā)現(xiàn)的過程，解題教學(xué)的基本含義是,，通過典型數(shù)學(xué)題的學(xué)習(xí),，去探究數(shù)學(xué)問題解決的基本規(guī)律，學(xué)會像數(shù)學(xué)家那樣“數(shù)學(xué)地思維”,。 波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中說：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練,。”他還有一句膾炙人口的名言：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題。” 中國是一個解題大國,，重視解題教學(xué),、擅于變式訓(xùn)練是中國數(shù)學(xué)教育的一個特色，已在國際數(shù)學(xué)輿林匹克競賽（imo）和相關(guān)國際比較測試（iaep）中取得舉世矚目的成績,。但是,，傳統(tǒng)意義上的解題，比較注重結(jié)果,，強(qiáng)調(diào)答案的確定性,，偏愛形式化的題目。而現(xiàn)代意義上的“問題解決”,，則更注重解決問題的過程,、策略以及思維的方法，更注重解決問題過程中情感,、態(tài)度,、價值觀的培養(yǎng)。近年興起的數(shù)學(xué)情景題,、數(shù)學(xué)應(yīng)用題,、數(shù)學(xué)開放題等正在改變中國解題教學(xué)的環(huán)境和格局。 3,、解題的一般過程 解題過程是指人們尋找問題答案的活動,，它包括從接觸問題到完全解出的所有環(huán)節(jié)與每一步驟，經(jīng)過規(guī)范化而成為可操作的解題過程就成為解題程序（有宏觀與微觀之分）,。 (1)波利亞在“怎樣解題表”中給出了一個宏觀解題程序,，分成4步：弄清問題、擬定計劃,、實現(xiàn)計劃,、回顧。在每一步中都配有許多問句或提示,，從而體現(xiàn)出模式識別,、聯(lián)系轉(zhuǎn)化、特殊化與一般化,、歸納,、類比等思維策略的指導(dǎo),，舍恩費(fèi)爾德又在“知識＋啟發(fā)法”之外提出“調(diào)節(jié)”與“信念”。 (2)國內(nèi)一些相關(guān)研究也對“解題過程”進(jìn)行了程序化的總結(jié),。 文〔9〕認(rèn)為,，解題過程是在解題思想的指導(dǎo)下，運(yùn)用合理的解題策略（或原則）,，制訂科學(xué)的解題程序,，進(jìn)行解題行動的思維過程；而解題行動主要是指從題目初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的轉(zhuǎn)化,，這種轉(zhuǎn)化的解題力量是基礎(chǔ)理論與基本方法的運(yùn)用,；作為完整的解題過程還包括解法研究，如解后的回顧,、反思以及自始至終的調(diào)控等,，這是一個最容易被忽視的環(huán)節(jié)。 文〔10〕給出了一個解題的動態(tài)流程,，面對一個問題,，我們首先審題，進(jìn)行模式識別,。如果有現(xiàn)成的模式,，則直接給出解答，如果沒有現(xiàn)成的模式,，則運(yùn)用解題策略,，考慮階梯問題（或輔助問題），有效就得出解答,，無效再次回到審題,。無論由何種情況得出解答，最后都有檢驗的步驟,。 從信息論的觀點探討解題思維過程,，可以從一個初中的例子得出說明。 定理等腰三角形的兩個底角相等,。 已知：如圖1,，在△ABC中，AB＝AC,。求證： 分析 欲證兩角相等，根據(jù)所學(xué)知識,，我們可以設(shè)想它們?yōu)槿热切蔚膶?yīng)角（全等法應(yīng)用）,，再根據(jù)等腰三角形的特征，又可以將等腰三角形拿起來,、作一個空中翻轉(zhuǎn),，使其與原來的位置重合（這正是全等形的定義， AB=AC（己知）,， AC=AB（已知）,， （或BC=CB）（公共邊）,， 得 從而 從書寫順序看，這個定理的證明過程可以分成3步（解題過程的結(jié)構(gòu)分析）： ①根據(jù)題意畫出圖形,，根據(jù)圖形寫出己知,、求證。這是認(rèn)識自己所面臨的問題并對問題進(jìn)行心理表征的過程,。 ②尋找解題思路,，溝通已知與求證的聯(lián)系。這調(diào)動了全等三角形的知識,，數(shù)形結(jié)合地運(yùn)用了直覺思維（空中翻轉(zhuǎn),、圖形重合、角重合）,。這實際上是應(yīng)用解題策略,，并進(jìn)行資源的提取與分配的過程。 ③給出證明,。用到了三角形全等的判定定理與性質(zhì)定理,，這是一個嚴(yán)格的推理論證過程。 這個分析表明,，數(shù)學(xué)解題有形象思維,、直覺思維和邏輯思維的綜合作用。 從信息論的觀點分析此定理的證明過程,，則是兩個維度上相關(guān)信息的有效組合,，即從理解題意中捕捉有用的信息，從記憶網(wǎng)絡(luò)中提取有關(guān)的信息，并把這兩組信息組成一個和諧的邏輯結(jié)構(gòu)（如圖2所示）,。 可見,，數(shù)學(xué)解題的思維過程是一個“三位一體”的工作： （1)有用捕捉。即通過觀察從理解題意中捕捉有用的信息,，主要是弄清條件是什么,？結(jié)論是什么？各有幾個,？如何建立條件與結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系,？由圖2可見，通過理解題意找出了3條信息,，一條是符號信息ab=ac,，由題目直接告訴我們；另兩條是由圖形顯示出來的：兩個三角形（ (2)有關(guān)提取,。即在“有用捕捉”的刺激下,，通過聯(lián)想而從解題者頭腦中提取出解題依據(jù)與解題方法。由圖2可見,，從記憶網(wǎng)絡(luò)中檢索出了3條信息：等式的對稱性,，全等三角形的判別定理，全等三角形的性質(zhì)定理,。良好的認(rèn)知構(gòu)結(jié)和機(jī)智的策略選擇是連續(xù)提取,、不斷捕捉的基礎(chǔ)。 (3)有效組合,。將上述兩組信息資源,，加工配置成一個和諧的邏輯結(jié)構(gòu)。邏輯思維能力是有效組合的基礎(chǔ),。本例中6條信息的組織,，詳細(xì)過程如圖2，簡潔過程為“證明”的書寫,。其基本要求應(yīng)能說服自己,、說服朋友、說服論敵 4,、解題方法 這里說的解題方法,，是指中學(xué)階段用于解答數(shù)學(xué)題的方法。此處將其分為3類,，即具有創(chuàng)立學(xué)科功能的方法,，體現(xiàn)一般思維規(guī)律的方法,，具體進(jìn)行論證演算的方法。 （1)具有創(chuàng)立學(xué)科功能的方法,。如公理化方法,、模型化方法、結(jié)構(gòu)化方法,，以及集合論方法,、極限方法、坐標(biāo)方法,、向量方法等。在具體解題中,，具有統(tǒng)率全局的作用,。 (2)體現(xiàn)一般思維規(guī)律的方法。如觀察,、試驗,、比較、分類,、猜想,、類比、聯(lián)想,、歸納,、演繹、分析,、綜合等,。在具體解題中，有通理通法,、適應(yīng)面廣的特征,，常用于解題思路的探求。 (3)具體進(jìn)行論證演算的方法,、這又可以依其適應(yīng)面分為兩個層次,，第一層次是適應(yīng)面較廣的求解方法，如消元法,、換元法,、降次法、待定系數(shù)法,、反證法,、同一法、數(shù)學(xué)歸納法（及遞推法）,、坐標(biāo)法,、三角法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法,、配方法等,；第二層次是適應(yīng)面較窄的求解技巧，如因式分解法以及因式分解中的“裂項法”,，函數(shù)作圖中的“描點法”,，以及三角函數(shù)作圖中的“五點法”，幾何證明中的“截長補(bǔ)短法”“補(bǔ)形法”,，數(shù)列求和中的“拆項相消法”等,。 僅僅是不等式的證明，我們就可以列舉出一長串的解法或技巧：比較法,、放縮法,、綜合法、分析法（及遞推法）,、反證法,、基本不等式法、疊加法,、連乘法,、數(shù)學(xué)歸納法、判別式法,、求極值法,、配方法、輔助函數(shù)法,、構(gòu)造法,、微分法等，而微分法又可以有求極值,、確定單調(diào)性,、中值定理、凹凸性質(zhì)等形式,。 5,、解題策略 注重解題策略的研究已經(jīng)構(gòu)成中國解題教學(xué)的一個特色，它可以看成是對波利亞現(xiàn)代啟發(fā)性解題策略研究的繼承與發(fā)展,， （1)策略是指導(dǎo)行動的方針（戰(zhàn)略性的），同時也是增強(qiáng)效果,、提高效率的藝術(shù),，它區(qū)別于具體的途徑或方式（戰(zhàn)術(shù)性的）。數(shù)學(xué)解題的策略是為了實現(xiàn)解題目標(biāo)而采取的方針,。解題策略的思維基礎(chǔ)是邏輯思維,、形象思維,、直覺思維的共同作用，離開邏輯是不行的,，單靠邏輯是不夠的,。 文〔9〕提出了10個解題策略：模式識別、映射化歸,、差異分析,、分合并用、進(jìn)退互化,、正反相輔,、動靜轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合,、有效增設(shè),、以美啟真；文〔10〕提出了8個解題策略：枚舉法,、模式識別、問題轉(zhuǎn)化,、中途點,、以退求進(jìn)、推進(jìn)到一般,、從整體看問題,、正難則反；文〔11〕提出了10個解題策略：以簡馭繁,、進(jìn)退互用,、數(shù)形遷移、化生為熟,、正難則反,、倒順相通、動靜轉(zhuǎn)換,、分合相輔,、引參求變、以美啟真,，并且認(rèn)為數(shù)學(xué)思維策略的研究就是數(shù)學(xué)解題策略的研究,；文〔12〕對解題策略進(jìn)行了理論分析。 (2)解題策略介于具體的求解方法與抽象的解題思想之間,，是思想轉(zhuǎn)化為操作的橋梁作為方法,，一方面它是用來具體指導(dǎo)解題的方法，另一方面它又是運(yùn)用解題方法的方法,、尋找解題方法的方法,、創(chuàng)造解題方法的方法,。 如果把解題策略理解為選擇與組合的一系列規(guī)則，那么這些規(guī)則應(yīng)該具有迅速找到較優(yōu)解題操作的基本功能,，能夠減少嘗試或失敗的次數(shù),，能夠節(jié)省探索的時間和縮短解題的長度，體現(xiàn)出選擇的機(jī)智和組合的藝術(shù),。 6,、學(xué)會解題 學(xué)會解題通常需要經(jīng)歷4個階段。 （1)簡單模仿,。即模仿著教師或教科書的示范去解決一些識記性的問題,。這是一個通過被模仿者的行為，獲得相應(yīng)的表象,，從而產(chǎn)生類似的過程,。這里已有體驗性的初步理解。 (2)變式練習(xí),。即在簡單模仿的基礎(chǔ)上邁出主動實踐的一步,，主要表現(xiàn)為做數(shù)量足夠、形式變化的習(xí)題,，本質(zhì)是進(jìn)行操作性活動與初步應(yīng)用,。其作用首先是通過變換方式或添加次數(shù)而增強(qiáng)效果、鞏固記憶,、熟練技能（使之達(dá)到自動化反應(yīng)的程度）,；其次是通過必要的實踐來積累理解所需要的操作數(shù)量、活動強(qiáng)度和經(jīng)驗體會,。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能單靠模仿和練習(xí),，但缺少這兩步又是不行的。沒有親身體驗,、沒有足夠的過程,、沒有過硬的雙基，數(shù)學(xué)理解就被架空了,。模仿和變式練習(xí)應(yīng)是學(xué)生獲得本質(zhì)領(lǐng)悟的基礎(chǔ)或必要前提,。但對解題學(xué)習(xí)來說，更重要的是跨越這兩步而產(chǎn)生理解,。 (3)自發(fā)領(lǐng)悟,。即在模仿與練習(xí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生理解。指當(dāng)事者在解題實踐中領(lǐng)悟到知識的深層結(jié)構(gòu),，表現(xiàn)為豁然開朗,、恍然大悟，但這種領(lǐng)悟常常是直覺的,，“只可意會,、不可言傳”,。因而，這是一個潛意識與顯意識交錯,，由“雙基”升華為能力的過程,，也是各人自己去體會“解題思路的探求”“解題能力的提高”“解題策略的形成”，從而獲得能力的自身性增長與實質(zhì)性提高過程,。這一階段中會存在高原現(xiàn)象,。 (4)自覺分析。這是一個理解從自發(fā)到自覺,、從被動到主動,、從感性到理性、從內(nèi)隱到外顯的飛躍階段,，表現(xiàn)為解題思路的主動設(shè)計,、知識資源的理性分配、解題策略的自覺調(diào)控,。盡快進(jìn)人這個階段的一個基本途徑是對解題過程進(jìn)行自覺的分析（元認(rèn)知開發(fā)）,，弄清問題的知識基礎(chǔ)、邏輯結(jié)構(gòu),、信息流程,，弄清題解中用到哪些知識、哪些方法,，這些知識和方法又是怎樣組成一個和諧的邏輯結(jié)構(gòu)的。這是一個通過已知學(xué)未知通過分析“怎樣解題”而領(lǐng)悟“怎樣學(xué)會解題”的過程,。 參考文獻(xiàn) 〔1〕halmos p. r.數(shù)學(xué)的心臟.數(shù)學(xué)通報,，1982.4 〔2〕波利亞.怎樣解題.閻育蘇譯.北京：科學(xué)出版社，1982 〔3〕波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn).歐陽絳譯.北京：科學(xué)出版社,，1982 〔4〕弗里德曼.怎樣學(xué)會解數(shù)學(xué)題.陳淑敏,，嚴(yán)世超譯.哈爾濱：黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社，1981 〔5〕聶必凱,，汪秉彝,，呂傳漢.關(guān)于數(shù)學(xué)問題提出的若干思考.數(shù)學(xué)教育學(xué)報2003.2 〔6〕夏小剛，汪秉彝,，數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)與數(shù)學(xué)問題的提出.數(shù)學(xué)教育學(xué)報,，2003.1 〔7〕何小亞.解決數(shù)學(xué)問題的心理過程分析.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2004.3 〔8〕楊騫.波利亞數(shù)學(xué)教育理論的現(xiàn)代啟示.數(shù)學(xué)教育學(xué)報,，2002.2 〔9〕羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論.西安：陜西師范大學(xué)出版社,，2001 〔10〕戴再平.數(shù)學(xué)習(xí)題理論.上海：上海教育出版社，1996 〔11〕任樟輝.數(shù)學(xué)思維論.桂林：廣西教育出版社,，1990 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